专题22 函数的单调性与最值 高考数学一轮复习对点提分文理科通用原卷版.docx

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专题22函数的单调性与最值高考数学一轮复习对点提分文理科通用原卷版

第二篇函数及其性质

专题2.02　　函数的单调性与最值

【考试要求】

1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值。

2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义．

【知识梳理】

1.函数的单调性

（1）单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f（x）的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1

当x1f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数

图象

描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

（2）单调区间的定义

如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数y＝f（x）的单调区间.

2.函数的最值

前提

设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

（1）对于任意x∈I，都有f（x）≤M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M

（3）对于任意x∈I，都有f（x）≥M；

（4）存在x0∈I，使得f（x0）＝M

结论

M为最大值

M为最小值

【微点提醒】

1.

（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.

（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值（或最小值）.

2.函数y＝f（x）（f（x）>0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝

的单调性相反.

3.“对勾函数”y＝x＋

（a>0）的增区间为（－∞，－

），（

，＋∞）；单调减区间是[－

，0），（0，

].

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）对于函数f（x），x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0，则函数f（x）在区间D上是增函数.（　　）

（2）函数y＝

的单调递减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）.（　　）

（3）对于函数y＝f（x），若f

（1）

（4）函数y＝f（x）在[1，＋∞）上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞）.（　　）

【教材衍化】

2.（必修1P39B3改编）下列函数中，在区间（0，＋∞）内单调递减的是（　　）

A.y＝

－xB.y＝x2－x

C.y＝lnx－xD.y＝ex

3.（必修1P31例4改编）函数y＝

在区间[2，3]上的最大值是________.

【真题体验】

4.（2019·广东省际名校联考）设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（　　）

A.y＝

在R上为减函数

B.y＝|f（x）|在R上为增函数

C.y＝－

在R上为增函数

D.y＝－f（x）在R上为减函数

5.（2019·青岛调研）若函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是增函数，则f（m）与f

（1）的大小关系是（　　）

A.f（m）>f

（1）B.f（m）

（1）

C.f（m）≥f

（1）D.f（m）≤f

（1）

6.（2017·全国Ⅱ卷）函数f（x）＝ln（x2－2x－8）的单调递增区间是（　　）

A.（－∞，－2）B.（－∞，1）

C.（1，＋∞）D.（4，＋∞）

【考点聚焦】

考点一　确定函数的单调性（区间）

【例1】

（1）（2019·石家庄质检）若函数y＝log

（x2－ax＋3a）在区间（2，＋∞）上是减函数，则a的取值范围为（　　）

A.（－∞，－4）∪[2，＋∞）B.（－4，4]

C.[－4，4）D.[－4，4]

（2）判断并证明函数f（x）＝ax2＋

（其中1

【规律方法】1.

（1）求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1

（1）.

（2）单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.

2.

（1）函数单调性的判断方法有：

①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

（2）函数y＝f[g（x）]的单调性应根据外层函数y＝f（t）和内层函数t＝g（x）的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.

【训练1】（一题多解）试讨论函数f（x）＝

（a≠0）在（－1，1）上的单调性.

考点二　求函数的最值　

【例2】

（1）已知函数f（x）＝ax＋logax（a>0，且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为（　　）

A.

B.

C.2D.4

（2）已知函数f（x）＝

则f[f（－3）]＝________，f（x）的最小值是________.

【规律方法】　求函数最值的四种常用方法

（1）单调性法：

先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

（2）图象法：

先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

（3）基本不等式法：

先对【解析】式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

（4）导数法：

先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

【训练2】

（1）（2019·烟台调研）函数f（x）＝

－

在x∈[1，4]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值是（　　）

A.

B.2C.

D.

（2）（2019·湖南怀化质检）定义max{a，b，c，}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x，2x－3，6－x}，则M的最小值是（　　）

A.2B.3C.4D.6

考点三　函数单调性的应用

角度1　利用单调性比较大小

【例3－1】已知函数f（x）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）<0恒成立，设a＝f

，b＝f

（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

角度2　求解函数不等式

【例3－2】（2018·全国Ⅰ卷）设函数f（x）＝

则满足f（x＋1）

A.（－∞，－1]B.（0，＋∞）

C.（－1，0）D.（－∞，0）

角度3　求参数的值或取值范围

【例3－3】已知f（x）＝

满足对任意x1≠x2，都有

>0成立，那么a的取值范围是________.

【规律方法】

1.利用单调性求参数的取值（范围）的思路是：

根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

2.

（1）比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.

（2）求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.

【训练3】

（1）（2017·天津卷）已知奇函数f（x）在R上是增函数，若a＝－f

，b＝f（log24.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（　　）

A.a

C.c

（2）若函数f（x）＝－x2＋2ax与g（x）＝

在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（　　）

A.（－1，0）∪（0，1）B.（－1，0）∪（0，1]

C.（0，1）D.（0，1]

【反思与感悟】

1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤：

（1）取值；

（2）作差；（3）定号；（4）判断.

2.确定函数单调性有四种常用方法：

定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.

3.求函数最值的常用求法：

单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式.

【易错防范】

1.区分两个概念：

“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.

2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f（x）在区间（－1，0）上是减函数，在（0，1）上是减函数，但在（－1，0）∪（0，1）上却不一定是减函数，如函数f（x）＝

.

【分层训练】

【基础巩固题组】（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.函数f（x）＝－x＋

在

上的最大值是（　　）

A.

B.－

C.－2D.2

2.（2019·广州模拟）下列函数f（x）中，满足“∀x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2，（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]<0”的是（　　）

A.f（x）＝2xB.f（x）＝|x－1|

C.f（x）＝

－xD.f（x）＝ln（x＋1）

3.（2019·济宁一模）已知函数f（x）＝loga（－x2－2x＋3）（a>0且a≠1），若f（0）<0，则此函数的单调递增区间是（　　）

A.（－∞，－1]B.[－1，＋∞）

C.[－1，1）D.（－3，－1]

4.函数y＝

，x∈（m，n]的最小值为0，则m的取值范围是（　　）

A.（1，2）B.（－1，2）C.[1，2）D.[－1，2）

5.（2019·蚌埠模拟）已知单调函数f（x），对任意的x∈R都有f[f（x）－2x]＝6，则f

（2）＝（　　）

A.2B.4C.6D.8

二、填空题

6.（2019·北京杨镇一中月考）已知f（x）和g（x）在定义域内均为增函数，但f（x）·g（x）不一定是增函数，请写出一对这样的函数：

例如当f（x）＝________，且g（x）＝________时，f（x）·g（x）不是增函数.

7.设函数f（x）＝

在区间（－2，＋∞）上是增函数，那么a的取值范围是________.

8.（一题多解）（2019·天津河东区模拟）对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝

设函数f（x）＝－x＋3，g（x）＝log2x，则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是________.

三、解答题

9.已知函数f（x）＝

－

（a>0，x>0）.

（1）求证：

f（x）在（0，＋∞）上是增函数；

（2）若f（x）在

上的值域是

，求a的值.

10.函数f（x）＝loga（1－x）＋loga（x＋3）（0

（1）求方程f（x）＝0的解.

（2）若函数f（x）的最小值为－1，求a的值.

【能力提升题组】（建议用时：

20分钟）

11.已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数.若f

（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（　　）

A.[－2，2]B.[－1，1]C.[0，4]D.[1，3]

12.已知函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g（x）＝

在区间（1，＋∞）上一定（　　）

A.有最小值B.有最大值

C.是减函数D.是增函数

13.已知f（x）＝

不等式f（x＋a）>f（2a－x）在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________.

14.已知函数f（x）＝a－

.

（1）求f（0）；

（2）探究f（x）的单调性，并证明你的结论；

（3）若f（x）为奇函数，求满足f（ax）

（2）的x的范围.

【新高考创新预测】

15.（多填题）设函数f（x）＝

若f[f

（1）]＝4a，则实数a＝________，函数f（x）的单调增区间为________.