七年级上册第一章有理数.docx

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七年级上册第一章有理数

第一章《有理数》总复习

本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。

重点利用有理数的运算法则解决实际问题.体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣，教师培养学生的观察、归纳与概括的能力，使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。

教师在讲授本章内容时，应该多创设情境，充分体现学生学习的主体性地位。

重点:

**有理数的运算

难点:

1.*相反数的性质及利用相反数的意义进行多重符号的化简.

2.*绝对值概念的理解及其性质.利用数轴对含有的字母的绝对值进行化简.

3.**有理数加减时符号及其绝对值的确定.

4.*有理数的乘方时值的确定.例如2³=8,很多同学就计算为6.

5.**有理数的混合运算时的运算顺序及符号的计算.

一、基本概念

1.1、正数与负数

①表示大小

②在实际中表示意义相反的量

③带“-”号的数并不都是负数

1．正数、负数和零的概念

正数

负数

零

象1、2.5、

、48等大于零的数叫正数

象-1、-2.5，

，-48等小于零的数叫负数

0叫做零，0既不是正数也不是负数

注：

对于正数和负数的概念，不能简单的理解为：

带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。

2﹒引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大为整数，整数也可以分为奇数和偶数两类，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，　　

3﹒到现在为止，我们学过的数细分有五类：

正整数、正分数、0、负整数、负分数，但研究问题时，通常把有理数分为三类：

正数、0、负数，进行讨论。

4﹒通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数；负整数和0统称为非正整数。

分数和小数的区别：

分数（既约分数）都可表示成小数，但不是所有的小数都能表示成分数的。

如圆周率

就不能表示成分数。

5.数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。

0的意义已不仅是表示“没有”.

注：

正、负数表示两种相反意义的量

（1）相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能成为相反意义的量。

（2）具有相反意义的量必须是同类量

（3）用正、负数表示相反意义的量时一定要说明数量和单位

（4）0不再仅仅表示没有，在不同的实际问题中，它具有不同的意义。

1.2有理数

凡能写成

形式的数，都是有理数.

有理数的分类:

①

②

特别提示：

0即不是正数，也不是负数；

-a不一定是负数，+a也不一定是正数；

不是有理数；

注意：

（1）在进行数的分类时，先确定分类标准，分类的标准不同，其结果不同，注意做到不重复，不遗漏。

（2）不管是哪种分类，有理数最终都分为正整数、0、负整数、正分数、负分数五类。

（3）正有理数与正数的区别：

正有理数均为正数，但正数不一定都为正有理数。

1、有理数的有关概念

（1）整数的概念：

正整数，0负整数统称为整数。

（2）分数的概念：

正分数、负分数统称为分数。

（3）有理数的概念：

整数和分数统称为有理数。

特别注意：

（1）有限小数与无限小数都可以化为分数。

（2）无限不循环小数不能化为分数，所以既不是分数也不是有理数。

（3）有时为了需要，整数可以看成分母是1的分数，这时的分数包括整数。

（4）分数都可以表示成n/m的形式。

2、数集

（1）概念：

把一些数放在一起，就叫做数集如：

所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；所有有理数组成有理数集合。

（2）数集的两种表示形式。

一种用圆圈表示，一种用大括号表示。

注：

（1）在圆圈所表示的数集中填数时，数与数之间适当分开，可以不加标点符号，也可以加。

（2）在用大括号表示数集中填数字时，数与数之间必须用逗号隔开。

（3）因为数集中填入的只是几个符合条件的数，只是一部分，所以通常加省略号。

2、数轴

原点

①三要素正方向

单位长度

定义

三要素

应用

数形结合

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴

原点

正方向

单位长度

帮助理解有理数的概念，每个有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点并非都是有理数

比较有理数大小，数轴上右边的数总比左边的数要大

注意：

（1）、数轴有三要素——原点、正方向和单位长度，数轴的三要素缺一不可，只具备其中两个要素或者一个要素的直线不是数轴。

（2）、数轴是一条直线，可以向两端无线延伸。

（3）一般取向右微正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定，都是根据实际需要规定的，单位长度根据具体情况可长可短，但同一数轴的单位长度必须一致。

1．数轴的概念

（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

　　   这里包含两个内容：

一是数轴的三要素：

原点、正方向、单位长度缺一不可．二是这三个要素都是规定的．

（2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数．

　2．数轴的画法

（1）画直线（一般画成水平的）、定原点，标出原点“O”．

（2）取原点向右方向为正方向，并标出箭头．

　　（3）选适当的长度作为单位长度，各点。

　　（4）标注数字时，负数的次序不能写错，

　　3．用数轴比较有理数的大小

（1）在数轴上表示的两数，右边的数总比左边的数大。

（2）由正、负数在数轴上的位置可知：

正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

（3）比较大小时，用不等号顺次连接三个数。

（4）正有理数可以用数轴上原点右边的点表示。

负有理数可以用数轴上原点左边的点表示。

0用原点表示。

（5）原点左边的点表示负数，右边的点表示正数。

注意：

（1）所有的有理数都可以用数轴上的点表示，不能说数轴上的所有的点都表示有理数。

（2）分数也可以用数轴上的点表示。

正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．

　　因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数，所以，我们可以用

，表示

是正数；反之，知道

是正数也可以表示为

。

　　同理，

，表示

是负数；反之

是负数也可以表示为

。

3．正数轴常见几种错误

　　1）没有方向

　　2）没有原点

　　3）单位长度不统一

3、相反数

1、相反数的概念

像3与-3,-0.桉树5和5这样只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数；0的相反数是0.

（1）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数。

（2）只有0的相反数是它本身，除0外互为相反数的两个数都是一正一负。

注：

①只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，0的相反数是0

②a的相反数-a

③a与b互为相反数a+b=0

相反数的意义

任何一个数都有相反数，而且只有一个相反数，正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0.

几何意义：

互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数。

代数意义：

两个数除了符号不同外其余都相同。

（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数　　

（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。

　　（3）0的相反数是0。

也只有0的相反数是它的本身。

　　（4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。

相反数的表示

　在一个数的前面添上“－”号就成为原数的相反数。

若

表示一个有理数，则

的相反数表示为－

。

在一个数的前面添上“+”号仍与原数相联系同。

例如，＋7=7，特别地，＋0=0，－0=0。

相反数的特性

　　若

互为相反数，则

，反之若

，则

互为相反数。

相反数是它本身的数是0

4．多重符号化简

（1）相反数的意义是简化多重符号的依据。

如

是－1的相反数，而－1的相反数为+1，所以

。

（2）多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。

如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶然数个，则结果为正。

可简写为“奇负偶正”。

　化简一个数就是把多重符号化成单一符号，若结果是“+”号，一般省略不写。

5、绝对值

①一般地，数轴上表示数a的点与原点距离，表示成｜a｜。

a（a≥0）

②｜a｜=

-a（a≤0）

1、绝对值的概念

数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.读作a的绝对值。

（1）一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点与原点的距离，由于距离总是正数或0，所以一个数的绝对值是正数或零，即是一个非负数，这是绝对值的一个重要性质——非负性。

（2）在数轴上，表示这个数的点离原点的距离越远，绝对值越大；反之离原点距离越近，绝对值越小。

一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的。

　1．绝对值的代数定义

　　一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．

　2．绝对值的几何定义

　　在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值．

3．绝对值的主要性质

（2）一个实数的绝对值是一个非负数，即|a|≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零．

（3）任何数都有绝对值，且只有一个，并且任何数的绝对值都是非负数。

　（4）两个相反数的绝对值相等．反之绝对值相等的两个数可能相等，也可能互为相反数。

（5）绝对值是正数的有两个，它们互为相反数。

2、绝对值的求法

（1）在数轴上找到表示这个数a的点，这个点与原点的距离就是这个数a的绝对值。

（2）一个正数在数轴上对应的点与原点的距离恰好等于这个数的本身，所以一个整数的绝对值是它本身。

（3）一个负数在数轴上对应的点与原点的距离是这个数的相反数，所以一个负数的绝对值是它的相反数。

（4）表示0的点就是原点，原点与原点的距离是0。

（5）对于字母或者代数式来说，必须先了解其说对应的符号，如果不能确定符号，则应该分类讨论。

运用绝对值比较有理数的大小

（1）、利用数轴比较有理数的大小：

在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序。

（2）、利用数的性质比较异号两数及与0的大小：

正数大于0,0大于负数，正数大于一切负数。

（3）、利用绝对值比较两个负数的大小：

两个负数，绝对值大的小。

6、倒数:

知识结构

①乘积是1的两个数叫作互为倒数。

即：

，则

互为倒数。

②若a≠0，那么

的倒数是

；

若ab=1a、b互为倒数；

若ab=-1a、b互为负倒数.

关于倒数的求法要注意：

（1）求分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可．

（2）正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数．

（3）负倒数的定义：

乘积是－1的两个数互为负倒数．

（4）0没有倒数

①倒数是它本身的数是±1②绝对值是它本身的数是非负数

平方等于它本身的数是0，1

立方等于经本身的数是±1，0

数轴上表示相反数的两个点和原点的关系：

关于原点对称

7、乘方

1．求

个相同因数的积的运算，叫做乘方．

　　乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同的因数的个数叫做指数．一般地，在

中，

取任意有理数，

取正整数．

　　注意：

乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果．

看作是

的

次方的结果时，也可读作

的

次幂．

（1）当

时，

（

为正整数）；

（2）当

　　（3）当

时，

（

为正整数）；

　　（4）

（

为正整数）；

（

为正整数）；

（

为正整数，

为有理数）．

①乘方和幂的区别．

　　②

与

的区别．

乘方符号法则

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0

8、科学记数法

把一个大于10的数表示成a×10^n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，a是正整数），像这样的记数法叫做科学记数法。

其中1≤a<10.

①把一个绝对值大于10的数表示成a×10n（其中1≤｜a｜＜10，n为正整数）

②指数n与原数的整数位数之间的关系。

a把科学记数法a×10^n中的指数加上1就得到原数的整数位数，从而确定原数。

b科学记数法a×10^n中的n是多少，就把a中的小数点向右移动多少位，不够的添0,。

9、近似数与有效数字

①准确数、近似数、精确度

（1）准确数：

是生活中可以用自然数表示的人物或物体的个数等。

（2）近似数：

在实际问题中有的量不可能或者没有必要用准确数表示，而用有理数近似的表示出来，这个数就是这个量的近似数。

精确到万位

②精确度精确到0.001

保留三个有效数字

③近似数的最后一位是什么位，这个数就精确到哪位。

④有效数字

⑤如何求较大数的近似数，有两种方法，一种用单位，一种用科学记数法

10、有效数字：

一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字．

明确近似数的有效数字需注意的两点：

一是从左边第一个不是零的数起；二是从左边第一个不是零的数起，到精确的位数止，所有的数字，

如果是整数有效数字是构成整数的个数

如果是小数，有效数字是这个小数从左边的第一个非0的数字数起到未位为止

二、有理数的分类

1、按整数与分数分

正整数

整数0

负整数

有理数

正分数

分数

负分数

2、按正负分

正整数

正有理数

正分数

有理数0

负整数

负有理数

负分数

三、有理数的运算

知识结构

1有理数加法法则：

把两个有理数合并成为一个有理数的运算，叫做有理数的加法。

（1）、同号两数相加：

同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加。

（2）、异号两数相加：

绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0.

（3）、一个数同0相加：

一个数同0相加，仍得这个数。

注：

如果是同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

如果是异号两数相加，应先判别绝对值的大小关系，如果绝对值相等，则和为0；如果绝对值不相等，则和的符号取绝对值较大的加数的符号，和的绝对值就是较大的绝对值与较小的绝对值的差。

一个数与0相加，仍得这个数。

加法交换律：

a+b=b+a

加法结合律:

（a+b）+c=a+（b+c）

2有理数减法法则：

1、有理数的减法法则

（1）把减法转化成加法再计算，减去一个数，等于加这个数的相反数.a－b=a+（－b）

（2）注意符号的变化。

（3）减法没有交换律。

（4）0减去任何数得这个数的相反数。

2、有理数加减混合运算

（1）、运用减法法则将有理数混合运算中的减法化为加法。

（2）、运用加法法则等进行运算。

引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算

a+b－c=a+b+（-c）

知识结构

知识结构

3有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘

任何数同0相乘，都得0.

方法规律

先确定积的符号，再把各个乘数的绝对值相乘，作为积的绝对值

1．有理数乘法法则，实际上是一种规定。

行程问题是为了了解这种规定的合理性。

　　2．两数相乘时，确定符号的依据是“同号得正，异号得负”．绝对值相乘也就是小学学过的算术乘法．

3．基础较差的同学，要注意乘法求积的符号法则与加法求和的符号法则的区别。

4．几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么，至少有一个因数为0．

5.几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数个数是奇数时，积是负数，积的绝对值是各因数绝对值的积。

　　6．小学学过的乘法交换律、结合律、分配律对有理数乘法仍适用，需注意的是这里的字母a、b、c既可以是正有理数、0，也可以是负有理数。

7．如果因数是带分数，一般要将它化为假分数，以便于约分。

乘法交换律：

ab=ba两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

乘法结合律：

（ab）c=a（bc）三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

分配律：

a（b+c）=ab+ac一个数同的和相等，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

4有理数除法法则：

1除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.

2两数相除，同号得+，异号得-，并把绝对值相加。

0除以任何一个不等于0的数，都得0.

有理数除法有两种法则。

法则1：

除以一个数等于乘以这个数的倒数。

是把除法转化为乘法来解决问题。

法则2是把有理数除法纳入有理数运算的统一程序：

一确定符号；二计算绝对值。

5乘方符号法则：

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0

2、有理数的乘除混合运算。

有理数的除法可以转化成为乘法，所以有理数的乘除混合运算可以统一成为乘法运算，步骤为：

（1）、将所有的除法为乘法。

（2）、确定积的符号。

（3）、运用乘法运算律，简化运算，求出最后结果。

五种运算：

　　运算：

加、减、乘、除、乘方；

　　运算结果：

和、差、积、商、幂；

混合运算顺序：

（1）、先乘方，再乘除，最后加减。

（2）、同级运算，从左到右进行。

（3）、如有括号，先算括号内的运算，按照小括号，中括号，大括号一次进行。

（4）、乘方次数打时，可借助计算器进行计算。

（5）、能简便运算的应尽量简便。

注：

、

（1）必须按运算顺序进行运算。

（2）混合运算中，分配律既可正用，也可逆用。