8B数学错题集.docx

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8B数学错题集

1、如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C（1，1/2）处，两直角边分别与x，y轴平行，纸板的另两个顶点A，B恰好是直线y=kx+9/2与双曲线y=m/x

（m＞0）的交点．则m，k的值分别是（　　）

根据题意可设出A、B两点的坐标，把A、B两点的坐标代入直线与双曲线可得到关于mk的方程组，求出m、k的值即可．

∵C（1,1/2）

且AB直线方程为y=kx+9/2，双曲线方程为y=m/x（m大于0）

∴设A（1,y1）,B（x2,1/2）

∵A,B为直线与双曲线的两个交点

∴y1=kx1+9/2

y1=m/x1

将A带入上方程组

y2=kx2+9/2

y2=m/x2

将B带入上方程组

∴得到，m=k+9/2；1=4km+9

∴k=-4,-1/2m=1/2,4

2、如图，四边形ABDC中，∠ABD=∠BCD=Rt∠，AB=AC，AE⊥BC于点F，交BD于点E．且BD=15，CD=9．点P从点A出发沿线段AE方向向E点运动，过点P作PQ⊥AB于Q，连接FQ，设AP=x，（x＞0）．

（1）求证：

BC•BE=AC•CD．

（2）设四边形ACDP的面积为y，求y关于x的函数解析式．

（3）是否存在点P，使△PQF为等腰三角形？

若存在，请求出满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

（1）根据条件由两角对应相等，两三角形相似就可以由相似三角形的性质得出结论，

（2）由条件根据勾股定理求出AB的值，根据等腰三角形的三线合一的性质就可以求出CF的值，由AE∥CD可以得出四边形ACDP的形状为梯形或平行四边形，由其民间公式就可以求出结论；

（3）根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质及直角三角形的性质分类讨论就可以求出结论．

解：

（1）∵∠ABD=∠BCD=Rt∠，AF⊥BC

∴AE∥CD∴∠AEB=∠D

∴△ABE～△BCD

∴AB：

BC=BE：

CD   

∵AB=AC

∴BC•BE=AC•CD； 

（2）∵BD=15，CD=9

∴CB=√152−92=12∵AB=AC，AF⊥BC

∴BF=FC=6

∵AE∥CD

∴BE=ED=1/2

BD=15/2，△ABE∽△BCD

∴AB/BC＝BE/CD

∴AB/12＝7.5/9

∴AB=10 

在Rt△ABF中，由勾股定理，得

 AF=AB2−BF2=√100−36=8∵AE∥CD

∴四边形ACDP是平行四边形或梯形

y＝1/2（CD＋AP）CF=1/2

（x＋9）×6

=3x+27（0＜x＜12.5）

（3）∵点P从点A出发沿线段AE方向向E点运动

∴P在线段AE上，

当P点在AF上时，使△PQF为等腰三角形，只有PQ=PF．

∵∠AQP=∠AFB∠QAP=∠FAB

∴△QAP～△FAB

∴QP/FB＝AP/AB，

∴PQ/6＝x/10，

∴PQ=3/5x

∵PF=8-x

∴3/5x=8-x∴x=5；

当P在FE上时，使△PQF为等腰三角形，有：

①PQ=PF 

∵PQ=3/5x，FP=x-8

∴3/5x=x-8∴x=20＞AE=12.5（舍去），

②PQ=FQ

作高线QG，则PG=1/2

PF=1/2（x-8）

∵△PQG～△BAF，

∴PG/BF＝PQ/AB，

∴1/2（x−8）/6＝3/5x/10，

∴x=200/7＞AE=12.5（舍去）

③PF=FQ

∴∠FQP=∠FPQ，

∵∠AQP=90°．

∴∠FAQ+∠FPQ=∠FQA+∠FQP=90°

∴∠FAQ=∠FQA

∴AF=FQ=PF

∴8=x-8，

∴x=16＞AE=12.5（舍去）．

∴当x=5时，△PQF为等腰三角形．

3、三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=2BC=4．将纸片折叠使点A总是落在BC边上，记为点D，EF是折痕，如图所示．

（1）当△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形时，四边形DFAE为哪种特殊的四边形？

为什么？

（2）在

（1）的条件下，求线段DF的长（结果用根号表示）；

（3）在BC边上是否存在一点D，使以D，E，F为顶点的三角形和以D，E，B为顶点的三角形相似？

若存在，求出相似比；若不存在，说明理由．

分析：

（1）由△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到DE=DF，再根据折叠的性质得DE=EA，FD=FA，因此DE=DF=FA=AF；

（2）设DF=x，则DE=AE=x，而AB=2BC=4，得到∠A=30°，AC=√3BC=2√3

，利用DE∥AC，得DE：

AC=BE：

BA，即x：

2√3=（4-x）：

4，解出即可；

（3）假设存在一点D，使以D，E，F为顶点的三角形和以D，E，B为顶点的三角形相似，则∠FDE=∠A=30°，∠B=60°，分类推论：

当∠BED=∠FDE=30°，得∠BDE=90°，则∠DEF=90°，这与平角为180°相矛盾，同理当∠BDE=∠FDE=30°，也存在矛盾，于是不存在一点D，使以D，E，F为顶点的三角形和以D，E，B为顶点的三角形相似．

解答：

解：

（1）四边形DFAE为菱形．理由如下：

∵△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形，

∴DE=DF，

又∵△DEF由△AEF折叠得到，

∴DE=EA，FD=FA，

∴DE=DF=FA=AF，

∴四边形DFAE为菱形．

（2）设DF=x，

∵四边形DFAE为菱形，

∴DE=AE=x，

而AB=2BC=4，

∴∠A=30°，

∴AC=√3BC=2√3，

而DE∥AC，

∴DE：

AC=BE：

BA，即x：

2√3=（4-x）：

4，解得x=8√3-12，

∴线段DF的长为8√3-12，

（3）不存在．理由如下：

假设存在一点D，使以D，E，F为顶点的三角形和以D，E，B为顶点的三角形相似，

∵∠FDE=∠A=30°，∠B=60°，

当∠BED=∠FDE=30°，

∴∠BDE=90°，

∴∠DEF=90°，

∴∠FEA=90°，这与平角为180°相矛盾，

同理当∠BDE=∠FDE=30°，也存在矛盾，

所以不存在一点D，使以D，E，F为顶点的三角形和以D，E，B为顶点的三角形相似．

4、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/秒的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/秒的速度运动，若P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t．

（1）当t为何值时，线段AB与线段PQ相等；

（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形；

（3）是否存在t值，使PQ把直角梯形分成周长相等的两部分？

若存在，求出t的值；若不存在，请你说明理由．

5、（2012•南通）如图△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．

（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；

（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．

①若a=5/2，求PQ的长；

②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？

若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

6、如图，一条抛物线经过原点和点C（8，0），A、B是该抛物线上的两点，AB∥x轴，

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点F是BC的中点时，求点E的坐标；

（3）当△AEF是等腰三角形时，求点E的坐标．

7、如图，在等腰梯形AOCB中，AB∥x轴,点C（8，0），OA＝5，AB＝2．点E在线段OC上，作∠MEN＝∠AOC，使∠MEN的一边始终经过点A，另一边交线段BC于点F，连接AF．

（1）求点B坐标.

（2）求证：

△AOE∽△ECF

（3）当AE=EF时，求点E坐标（2分）

（4）当AE=AF时，求点E的坐标（3分）

（1）B（5,4）

（2）

角AOE=角AEF=角ECF

角EFB=角ECF+角FEC

又角ECF=角AEF

所以角AEC=角EFB

所以角AEO=角EFC

所以△AOE∽△ECF

（3）当AE=EF时

△AOE全等于△ECF

EC=AO=5，OE=3

E（3，0）

8、如图，直线Y=KX+K与双曲线Y=（M-5）/X在第一象限内相交于点M，与X轴交于点A。

求M的取值范围和点a的坐标；

（2）若点b的坐标为（3，0）AM=5，S△abm=8，求双曲线的函数表达式。

解：

（1）∵y=在第一象限内，

∴m-5＞0，

解得m＞5，

∵直线y=kx+k与x轴相交于点A，

∴令y=0，

则kx+k=0，

即k（x+1）=0，

∵k≠0，

∴x+1=0，

解得x=-1，

∴点A的坐标（-1，0）；

（2）过点M作MC⊥AB于C，

∵点A的坐标（-1，0）点B的坐标为（3，0），

∴AB=4，AO=1，

S△ABM=×AB×MC=×4×MC=8，

∴MC=4，

又∵AM=5，

∴AC=3，OA=1，

∴OC=2，

∴点M的坐标（2，4），

把M（2，4）代入y=（m-5）/x得

4=（m-5）/2，

解得m=13，

∴双曲线的函数表达式为y=8/x．

9、阅读：

如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q,易说明△APD∽△CDQ．

猜想

（1）：

如图2，将含30°的三角板DEF（其中∠EDF=30°）的锐角顶点D与等腰三角形ABC（其中∠ABC=120°）的底边中点O重合，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q．写出图中的相似三角形（直接填在横线上）；

验证

（2）：

其它条件不变，将三角板DEF旋转至两边分别与线段AB的延长线、边BC相交于点P、Q．上述结论还成立吗？

请你在图3上补全图形,并说明理由．

连结PQ，△APD与△DPQ是否相似？

为什么?

探究（3）：

根据

（1）

（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得

（1）

1.△APD∽△CDQ

2.图你自己画，就用一个30°的三角板比划就能画出来

∵等腰三角形ABC,∠ABC=120°

∴∠DAP=∠DCQ=30°

∴∠CDQ∠PDA=150°

又∵∠ADP∠APD=150°

∴∠CDQ=∠APD

又∵∠DAP=∠QCD

∴△APD∽△CDQ

∴AP/CD=PD/DQ

∵D是AC中点

∴AD=DC

∴AP/AD=PD/QD

∴AP/DP=AD/DQ

又∵∠PDQ=∠PAD

∴△APD∽△DPQ

3.一个三角形有1个30°角,另一个有2个30°角

10、如图，在平面直角坐标系内，已知OA=OB=2，∠AOB=30°．

（1）点A的坐标为（，）；

（2）将△AOB绕点O顺时针旋转a度（0＜a＜90）．

①当a=30时，点B恰好落在反比例函数y=k /x （x＞0）的图象上，求k的值；

②在旋转过程中，点A、B能否同时落在上述反比例函数的图象上？

若能，求出a的值；若不能，请说明理由．

（1）点A的坐标（－1，根号3）

（2）当a=30时，OA落在y轴上，点B和点A关于y轴对称，∴B点坐标（1，根号3），将（1，根号3）代入y＝k／x中，得k＝根号3，∴y＝根号3／x

在旋转过程中，点A、B能同时落在上述反比例函数的图象上，a＝60°

11-1、如图，在平面直角坐标系XOY中,矩形OEFG的顶点E的坐标为（4,0）,顶点G的坐标为（0,2）,将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP,OM与GF交于点A，

（1）判断△OGA和△NPO是否相似，并说明理由；

（2）求过点A的反比例函数解析式；

（3）若

（2）中求出的反比例函数图象与EF交于点B，请探索：

直线AB与OM是否垂直，并说明理由。

解：

（1）△OGA∽△OMN

∵∠OGA=∠M=90°，

∠GOA=∠MON

∴△OGA∽△OMN；

（2）∵△OGA∽△OMN

∴AG/NM=CG/OM

∴AG/2=2/4

∴AG=1，

设反比例函数为y=k/x

把A（1，2）代入得k=2，

∴过点A的反比例函数的解析式为y=2/x

（3）∵点B的横坐标为4，

把x=4代入y=2/x，y=1/2

故B（4,1/2）

设直线AB的解析式是y=mx+n，

把A（1，2），B（4，1/2）代人

得，m+n=2

4m+n=1/2

解得，m=-1/2

n=5/2

∴直线AB的解析式为y=-1/2x+5/2

11-2如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E坐标为（4，2），OG边与y轴重合。

将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A．

（1）判断△OGA和△NPO是否相似，并说明理由；

（2）求过点A的反比例函数解析式；

（3）若

（2）中求出的反比例函数的图象与EF交于B点，请探索：

直线AB与OM是否垂直，并说明理由

（2）MN=OG=2,OM=OE=4,

显然△OAG与△ONM相似

GA/MN=OG/OM

GA/2=2/4

GA=1,A（1,2）

反比例函数:

y=2/x

（3）

B的横坐标为4,B（4,1/2）

AB的解析式:

（y-1/2）/（2-1/2）=（x-4）/（1-4）

y=（5-x）/2

与x轴交于D（5,0）

OD²=25

OA²=1²+2²=5

AD²=（1-5）²+（2-0）²=20

OD²=OA²+AD²

直线AB与OM垂直

13、如图①，将直角梯形OABC放在平面直角坐标系中，已知OA=5，OC=4，BC∥OA，BC=3，点E在OA上，且OE=1，连接OB、BE．

（1）求证：

∠OBC=∠ABE；

（2）如图②，过点B作BD⊥x轴于D，点P在直线BD上运动，连接PC、PE、PA和CE．

①当△PCE的周长最短时，求点P的坐标；

②如果点P在x轴上方，且满足S△CEP：

S△ABP=2：

1，求DP的长．

14、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点F坐标为（4，2），OG边与y轴重合。

将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A.

1.判断△OGA和△NPO是否相似，并说明理由；

2.求过点A的反比例函数解析式；

3.若

（2）中求出的反比例函数的图象与EF交于B点，请探索：

直线AB与OM的位置关系，并说明理由.

4.在GF所在直线上,是否存在一点Q,使△AOQ为等腰三角形.若存在,请直接写出所有满足要求的Q点坐标.

 1.∵∠OGA=∠M=90°，

∠GOA=∠MON

∴△OGA∽△OMN；

2.∵AG：

OP=OG：

NP，∵OP=OG=2、PN=OM=OE=4，

∴AG=1

∴A（1，2）                             ………………3分

∴

3.AB⊥OM                               ………………5分

代入得B（4，

），                      ………………6

∵AG：

BF=OG：

AF=2：

3，∠AGO=∠BFA=900

△OGA∽△AFB                             ………………7分

∴∠AOG=∠BAF  ∵∠AOG+∠OAG=900

∴∠BAF+∠OAG=900

∴∠OAB=900                             

∴AB⊥OM                                 ………………8分

（其它方法酌情给分）

4.Q（1+

2）或Q（1－

2）                  ………………9分

Q（-1,2）或 Q（-1.5,2）

解析:

（1）根据两个角对应相等，即可证明两个三角形相似；

（2）要求反比例函数的解析式，则需求得点A的坐标，即要求得AG的长，根据旋转的两个图形全等的性质以及相似三角形的对应边的比相等可以求解

（3）求出B点坐标，通过△OGA∽△AFB，求得∠OAB=900，从而得出结论

（4）分别有四种情况符合条件：

AQ=OA（由两种情况），OQ=OA,QA=OQ

15、如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．

（1）求反比例函数的解析式；

（j）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=1/2x+b过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；

（f）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．

解：

（1）设反比例函数的解析式y= k/x ，

∵反比例函数的图象过点E（3，4），

∴4=k/3，即k=12．

∴反比例函数的解析式y=12/k；

（2）∵正方形AOCB的边长为4，

∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．

∵点D在反比例函数的图象上，

∴点D的纵坐标为3，即D（4，3）．

∵点D在直线y=1/2×x+b上，

∴3=1/2×4+b，解得b=5．

∴直线eF为y=1/2×x+5，

将y=4代入y=1/2×x+5，得4=-1/2×x+5，解得x=2．

∴点F的坐标为（2，4）．

（h）∠AOF=1/2∠EOC．

证明：

在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H．

∵AO=zO=4，∠OAF=∠OzG=90°，AF=zG=2，

∴△OrF≌△OCG（SrS）．

∴∠AOF=∠COG．

∵∠EGB=∠HGo，∠B=∠GoH=90°，BG=oG=2，

∴△EGB≌△HGC（ASA）．

∴EG=HG．

设直线EG：

y=mx+n，

∵E（3，4），G（4，2），

∴4=3m+n 2=4m+n    

解得，m=-2  n=10  

∴直线EG：

y=-2x+10．

令y=-2x+10=0，得x=5．

∴H（5，0），OH=5．

在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5．

∴OC=OE．

∴OG是等腰三角形底边EF上的中线．

∴OG是等腰三角形顶角的平分线．

∴∠EOG=∠GOH．

∴∠EuG=∠GuC=∠AuF，即∠AuF=1/2∠EOC．

16、如图,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A出发,沿AB以4cm/s的速度向点B运动:

同时点Q从C点出发,沿CA以3cm/s的速度向A点运动，设运动时间为x（s）

（1）当x为何值时，PQ‖BC

（2）当S△BCQ：

S△ABC=1：

3，求S△BPQ：

S△ABC的值

（3）△APQ能否与△CQB相似，若能，求出AP的长，若不能，请说明理由

解：

（1）AP=4x,QC=3x.AB=BC=20,AC=30,所以：

AQ=30-3x

当PQ‖BC时，有AP/AB=AQ/AC

即：

4x/20=（30-3x）/30

解得：

x=10/3

即：

当运动时间是10/3秒时，PQ‖BC

（2）由S△BCQ：

S△ABC=1：

3得知：

QC=（1/3）AC=10,且S△BCQ=（1/3）S△ABC

所以：

Q,P的运动时间为10/3

由

（1）题知，此时PQ与BC恰好平行。

所以：

△ABC∽△APQ

所以：

S△APQ/S△ABC=（20/30）^2=4/9

即：

S△APQ=（4/9）S△ABC

所以：

S△PBQ=S△ABC-S△APQ-S△BQC=S△ABC-（4/9）S△ABC-（1/3）S△ABC=（2/9）S△ABC

所以：

S△BPQ：

S△ABC=2：

9

（3）能。

当△APQ∽△CQB时，有AP/CQ=AQ/BC=4/3

由于：

BC=20,

所以：

可求得AQ=80/3

所以：

QC=30-（80/3）=10/3

所以：

P,Q两点运动的时间为（10/3）/3=10/9

所以：

此时AP=4*（10/9）=40/9

即AP的长是40/9厘米

17、

已知直线Y=1/2X+2与X轴交于点A，与Y轴交于点B，与双曲线Y=M/X交于点C，CD垂直X轴于D，三角形ACD的面积等于9，（双曲线在第一象限）求：

（1）双曲线的解析式；

（2）在双曲线上是否有一点E，使得三角形EOC为以O顶角的顶点的等腰三角形？

若存在，请直接写出E点的坐标

1、y=x/2+2

y=0,x=-4

所以A（-4,0）

C（a,b）在y=m/x

所以b=m/a

C（a,m/a）

所以D（a,0）

则AD=a-（-4）=a+4

CD=m/a

所以三角形ACD面积=（a+4）（m/a）/2=9

m+4m/a=18

C也在y=x/2+2上

所以b=m/a=a/2+2

所以m=a²/2+2a

代入m+4m/a=18

a²/2+2a+4（a/2+2）=18

a²+8a-20=0

（a+10）（a-2）=0

第一象限a>0

a=2

m=a²/2+2a=6

y=6/x

2、C（2,3）

所以E和C关于y=x对称

所以E（3,2）

18、已知点P是函数y=1/2x（x>0）图像上的一点，PA⊥x轴于点A，交函数Y=1/x（x>0）图像于点M，PB⊥y轴于点B，交函数y=1/x（x>0）于点N（点MN不重合）

（1）当点P的横坐标为2时，求△PMN的面积；

（2）证明：

MN‖AB；（如图7）

（3）试问：

△OMN能否为直角三角形？

若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由.

解：

（1）点P横的坐标是2，那么纵坐标是1

点P（2，1），A（2，0），B（0，1）

将x=2代入y=1/x，y=1/2，那么点M的坐标（2，1/2）

将y=1代入y=1/x，x=1，那么点N的坐标为（1，1）

PM=1-1/2=1/2

PN=2-1=1

S△PMN=1/2×PM×PN=1/2×1/2×1=1/4

（2）直线AB的斜率=（0-1）/（2-0）=-1/2

直线MN的斜率=（1/2-1）/（2-1）=-1/2

二者斜率相等，那么AB‖MN

（3）设点P的坐标为（2a，a）

则点M的坐标为（2a，1/2a）点N的坐标为（1/a，a）

直线AB的斜率是-1/2，∠MON明显不是直角

与直线AB垂直的直线方程是y=2x

y=2xy=1/x联立x²=1/2x=√2/2或-√2/2（舍去）y=√2

点N的坐标就是（√2/2，√2）

点P的纵坐标就是√2，横坐标就是2√2

此时点M的坐标就是（2√2，√2/4）

此时ON垂直MN，三角形OMN是直角三角形

点P的坐标是（2√2.，√2）

19、操作：

在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．将一块足够大的等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①②③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．

（1）三角板绕点P旋转，当PD⊥AC时，如