数学 第一讲全等三角形的性质及判定一.docx

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数学第一讲全等三角形的性质及判定一

第一讲全等三角形的性质及判定

（一）

一、要点提示

1、全等三角形的概念与表示：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

能够相互重合的顶点、边、角分别叫做对应的顶点、对应边、对应角。

全等符号为“≌”。

2、组成全等三角形的基本图形：

（1）平移型：

如图所示（对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到）

（2）轴对称型：

如图所示（重合的顶点就是全等三角形的对应顶点）。

（3）旋转型：

如图所示。

它们可以看成以某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在对应顶角、某些角的和或差中。

3、全等三角形的性质：

●对应角相等●对应边相等

●对应边上的中线相等●对应边上的高相等

●对应角的角分线相等

4、全等三角形的判定方法：

（1）边角边定理（SAS）：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（2）角边角定理（ASA）：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）边边边定理（SSS）：

三边对应相等的两个三角形全等。

（4）斜边、直角边定理（HL）：

斜边和一条直角边对应相等的两具直角三角形全等。

5、判定三角形全等的基本思路：

6、全等三角形的应用：

运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线。

7、主要考点：

能通过判定两个三角形全等，进而可以证明两条线段间的位置关系和大小关系，而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等，是几何证明的基础，进而还会涉及到数学思想中的转化思想和构造法等。

二、全等三角形的判定公理

1、边角边公理（SAS）

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。

例1已知：

如图，∠1＝∠2，AB＝AD。

求证：

△ABC≌△ADC

变式已知，如图，等腰△ABC与△ADE中，

且

.求证：

思考:

将上图中的△ACB绕点A沿顺时针方向旋转,上述结论是否成立?

例2已知CE=CB，∠1=∠2，AC=DC，求证：

△ABC≌△DEC

2、角边角公理（ASA）

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）。

例3已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD=CF，求证：

△ABC≌△DEF；

变式:

已知:

如图,AB∥CD,AD∥BC,求证:

（1）AB=CD

（2）∠B=∠D

:

3、角角边推论（AAS）

有两角和其中一角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。

例4．已知M是AB的中点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：

△AMC≌△BMD；

例5.已知：

∠B＝∠C，BE＝CF，求证DE＝DF

A

FE

D

BC

变式:

求证:

三角形的一边两端到这边的中线或中线延长线的距离相等

4、边边边公理（SSS）

有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

例6已知：

如图。

A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，

求证：

△ABC≌△DEF

变式:

已知,如图,在△ABC中,M在BC上,D在AM上,AB=AC,DB=DC

求证:

MB=MC

注：

SSA,AAA不能作为判定三角形全等的方法

5、斜边、直角边公理（HL）

有斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

例7．已知：

BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，求证：

①△BEC≌△DAE②DF⊥BC

变式:

已知,如图,AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD

求证:

BE⊥AC

6、针对两个三角形不同的位置关系，总结出寻找对应边，对应角的规律：

①有公共边的，公共边一定是对应边；

②有公共角的，公共角一定是对应角；

③有对顶角的，对顶角一定是对应角；

④两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角）；一对最短的边（或最小的角）是对应边（角）

⑤全等三角形中，对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

⑥全等三角形中，对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角对应角。

三、角平分线

1.角平分线的定义。

（1）如果以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，那么这条射线称作这个角的平分线。

（2）角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

2．角平分线的性质定理和逆定理。

（1）性质定理：

在角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

已知：

OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E；

求证：

PD=PE。

（2）逆定理：

到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

已知：

PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE。

求证：

点P在∠AOB的平分线上。

    证明：

3．三角形角平分线的性质：

三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三条边的距离相等。

4．互逆命题与互逆定理．

定

义

在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题称作互逆命题，如果把其中一个称为原命题，那么另一个则称为它的逆命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么-B也是一个定I必有逆定理。

注意：

1、任何一个命题都有逆命题；

2、任何一个定理来必有逆定理

定理

逆定理

在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上

例8已知：

如图，OD⊥AD，OH⊥AE，DE交GH于O．

（1）若∠1=∠2，求证：

OG=OE．

（2）若OG=OE，求证：

∠1=∠2

变式:

已知:

如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,

求证:

AD⊥EF

一）、补充条件型试题

【例题1】

如图，已知∠ACB=∠DBC，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是_________.（只需填写一个你认为合适的条件即可）

【练习】

①如图，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需要增加的一个条件是__________.

②如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍然无法判断△ABE≌△ACD的是（）

A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC

二）、组合条件型试题

【例题2】

如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，加以证明.①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF.

【练习】

1.如图，给出下列三个式子：

①EC=BD；②∠BDA=∠CEA；③AB=AC

请将其中的两个式子作为题设，一个式子作为结论，构成一个真命题（形式：

如果……，那么……），并给出证明.

2．如图1－10，AB⊥BC，ΔABE≌ΔECD．判断AE与DE的关系，并证明你的结论．

3．已知：

如图4－5，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．

求证：

AD＝AC．

4．已知：

如图4－6，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．

求证：

HN＝PM.

5．已知：

如图5－5，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．

求证：

ED⊥AC．

6．已知：

如图5－6，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.

求证：

AB∥DC.

7．已知：

如图6－8，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．

（1）求证：

AC与BD互相平分；

（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，

求证：

OE＝OF.

课后作业

1．已知：

如图3－1，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．

求证：

∠D＝∠B．

分析：

要证∠D＝∠B，只要证______≌______

证明：

在△AOD与△COB中，

∴△AOD≌△______（）．

∴∠D＝∠B（______）．

2．已知：

如图3－2，AB∥CD，AB＝CD．求证：

AD∥BC．

分析：

要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______，

又需证______≌______．

证明：

∵AB∥CD（），

∴∠______＝∠______（），

在△______和△______中，

∴Δ______≌Δ______（）．

∴∠______＝∠______（）．

∴______∥______（）．

2．已知：

如图4－1，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：

AM＝BN．

分析：

∵PM＝PN，∴要证AM＝BN，只要证PA＝______，

只要证______≌______．

证明：

在△______与△______中，

∴△______≌△______（）．

∴PA＝______（）．

∵PM＝PN（），

∴PM－______＝PN－______，即AM＝______．

3．已知：

如图4－2，AC

BD．求证：

OA＝OB，OC＝OD．

分析：

要证OA＝OB，OC＝OD，只要证______≌______．

证明：

∵AC∥BD，∴∠C＝______．

在△______与△______中，

∴______≌______（）．

∴OA＝OB，OC＝OD（）．