第七章机械能及其守恒定律.docx

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第七章机械能及其守恒定律

第七章机械能及其守恒定律

一．追寻守恒量

［要点导学］

1．寻找规律的基本步骤

（1）观察和实验

观察自然现象和实验现象是物理学研究的基本方法，伽利略通过对小球运动现象的观察和分析（如图），得到牛顿第一定律的基本内容：

“如果斜面是光滑的，小球将一直沿水平直线运动下去。

”同时得到：

“无论斜面B比斜面A陡些或缓些，小球总会在斜面上的某点停下来，这点距斜面低端的竖直高度与它出发时的高度相同”的观察结论。

（2）推理和概括

通过对观察结论的分析和概括，抓住主要矛盾，忽略次要因素或干扰因素，抽象出物理的本质（规律性的东西），完成由感性向理性的上升。

如图所示实验，如果忽略摩擦力这个干扰因素，可推断出此过程中隐含这某种守恒量，此守恒量就是初中物理中接触过的机械能（即动能和势能的总和）。

2．关于“能量”的概念

能量是一个抽象的物理概念，是物理学中研究问题的“工具”，书本并没有对能量下严格的定义，而是将“记得”说成是一个守恒量，这个守恒量叫做能量。

其原因是在本节教材中无法对能量下严格的定义，因此在此不要去追求能量的严格定义，随着学习的深入会逐步得到准确的定义，但应该看到物理学中的守恒量有着十分重要的功能。

3．势能

（1）物体凭借其_________而具有的能量叫做势能（Poctentialenergy）

（2）正确理解势能的概念，必须理解位置的概念，物体（看作质点）所处的位置是一个空间点，在一维空间（数轴）上用（x）表示，在二维空间（平面直角坐标系）中用（x、y）表示；在三维空间中用（x、y、z）表示。

本处不讨论势能的大小到底有哪些因素决定，仅要知道势能与位置有关，当位置改变时，势能也随之改变。

（3）势能和动能可以相互转化，在这种转化时，势能减少的同时，__________在增加，势能增加的同时，_________在减少。

4．动能

（1）物体由于_________而具有的能量叫做动能（Kineticenergy）。

（2）正确理解动能的概念，必须理解运动的相对性，即前面学过的参考系问题，由于牛顿力学仅适用于________参考系，因此本处运动的参考系也是指____________，没有特殊说明，一般指地面参考系。

本处不讨论动能到底由什么因素决定，但要知道当物体的速度大小发生变化时，物体的动能也将发生变化。

（3）动能可以和势能发生转化，在这种转化过程中，动能减少同时，__________在增加，动能增加的同时，_________在减少.

［范例精析］

例题：

如图所示，河道中的水在稳恒地流淌（各处的水流速度不随时间改变），设截面A1B1的面积为S1，流速与截面垂直，速度为V1；截面A2B2的面积为S2，速度为V2，通过观察和分析，本题中位于A1B1A2B2区域中的水的体积是否为一个守恒量？

若是的话，你可以推断出S1、S2、V1、V2满足什么规律？

解析由于水不可压缩，单位时间内流入A1B1的水的体积应等于流出A2B2面的体积，因此位于A1B1A2B2区域中的水的体积是一个守恒量。

考察很短的时间Δt，流入A1B1的水的体积为ΔV1=S1V1Δt，流出A2B2面的的水的体积ΔV2=S2V2Δt，所以S1V1=S2V2，截面积越小的地方，水的流速越大。

拓展截面积和流速的乘积称为流量（单位时间内流过截面的液体的体积，单位为m3/s），通常用Q表示，即Q=SV。

如果各处的流量不等，则水位就升高或降低，为非稳恒流动。

二、功

［要点导学］

1、功的定义式W=F·lcosα，它是计算功的基本公式，不仅适用于恒力做功的计算，同时也适用于变力做功的计算，但由于中学数学知识的限制，中学阶段仅适用于恒力做功的计算，式中l是指以地面为参考系的位移，α是力F位移l的夹角。

当α=π/2时，W=0，这时F与l垂直，力F不做功；当α＜π/2时，W＞0，力F做正功，F起动力作用；当π/2＜α≤π时，W＜0，力F做负功，F起阻力作用。

2、一个力对物体做负功，也可以说成物体克服这个力做功。

竖直向上抛出的球，在上升过程中，重力对球做了-6J的功，也可以说成。

3、功是标量，没有方向，但有正负。

当物体在几个力作用下发生一段位移l时，这几个力对物体所做的总功，等于代数和，也等于__________所做的功。

4、如果一个物体在变力作用下运动，可以用微元法来计算变力所做的功。

先把轨迹分成___________小段，每小段都足够小，可认为是直线，而且物体通过每小段的_______足够短，在这样短的时间里，力的变化________，可以认为是恒定的。

对每小段可以用公式W=Flcosα计算，最后把物体通过各个小段所做的功加在一起，就是变力在整个过程中所做的功。

［范例精析］

例1如图所示，水平面上有一倾角为θ的斜面，质量为m的物体静止在斜面上，现用水平力F推动斜面，使物体和斜面一起匀速向前移动距离l，求物体所受各力做的功各是多少？

解析先作出示意图，再对斜面上的物体受力分析：

重力mg，弹力N=mgcosθ，静摩擦力f=mgsinθ，它们都是恒力。

WG=mglcosπ/2=0,WN=Nlcos（π/2-θ）=mglsinθcosθ

Wf=flcos（π-θ）=-mglsinθcosθ

拓展这三个力对物体做的总功WG+WN+Wf=0，也可以先求三个力的合力，再求总功，匀速运动时，F合=0，所以W总=0

例2如图所示，小物体m位于光滑的斜面M上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物体沿斜面下滑的过程中，斜面对小物体的作用力（）

A、垂直于接触面，做功为零

B、垂直于接触面，做功不为零

C、不垂直于接触面，做功为零

D、不垂直于接触面，做功不为零

解析由于斜面光滑，所以斜面对物体只有支持力作用，支持力属于弹力，其方向总是垂直于接触面指向被支持的物体，所以此时斜面对小物体的作用力应垂直于接触面；讨论斜面对小物体的作用力是否做功，关键是看小物体是否在此力的方向上发生位移，为此有必要定性画出经过一段时间后小物体发生的对地位移，由于斜面放在光滑的地面上，小物体在斜面上下滑时，斜面将后退，由图可知，此力对小物体是做功的，本正确选为B。

拓展公式W=F·lcosα中“位移”是指对地位移。

斜面是静止时，小物体的对地位移方向平行于斜面，垂直于支持力，所以支持力不做功。

题中指明“斜面位于光滑的水平面上”，隐含条件是：

“当小物体在斜面上下滑时，斜面将后退”，小物体参与两种运动，一是相对于斜面的滑动，二是跟随斜面向右的运动，使得小物体的对地位移与支持力的方向不垂直。

斜面在运动，这一因素并不影响斜面的支持力始终与斜面垂直，但影响支持力是否做功。

例3动滑轮是一种简单机械，如图所示，滑轮和绳子的质量不计，用力开始提升原来静止的质量为10kg的物体，以2m/s2的加速度匀加速上升，求开始运动后3秒内拉力做的功.

解析设挂住物体的绳子中的拉力为大小F1，

则F1-mg=ma┄┄①

物体在开始运动后三秒内上升的位移为S=at2/2┄┄②

拉力的功为W=Flcos00┄┄③

代入数据得W=1080J┄┄④

拓展利用简单机械来做功时，可以抓住简单机械省力但不能省功的特点。

动滑轮是一种简单机械，拉力F做的功等于挂住物体的绳子对物体做的功，就可以解决本题所要求的问题。

［能力训练］

1、关于功的概念，以下说法正确的是（B）

A.力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量；

B.功有正、负之分，所以功也有方向性；

C.若某一个力对物体不做功，说明该物体一定没有位移；

D.一个力对物体做的功等于这个力的大小、物体位移大小及力和位移间夹角的余弦三者的乘积。

2、用400N的力在水平地面上拉车行走50m，拉力与车前进的方向成30°角。

那么，拉力对车做的功是（B）

A.2.0×104JB.1.0×104JC.1.7×104JD.以上均不对

3、运动员用2000N的力把质量为0.5kg的球踢出50m，则运动员对球所做的功是（D）

A．200JB.10000JC.25JD.无法确定

4、关于功的正负，下列叙述中正确的是（CD）

A．正功表示功的方向与物体运动方向相同，负功为相反

B．正功表示功大于零，负功表示功小于零

C．正功表示力和位移两者之间夹角小于90°，负功表示力和位移两者之间夹角大于90°

D．正功表示做功的力为动力，负功表示做功的力为阻力

5、以初速度v0竖直向上抛出一个质量为m的小球，上升最大高度是h．如果空气阻力Ff的大小恒定，则从抛出到落回出发点的整个过程中，空气阻力对小球做的功为（D）

A．0B．－FfhC．-2mghD．-2Ffh

6、起重机以a=1m/s2的加速度，将重G=104N的货物由静止匀加速向上提升。

那么，在1s内起重机对货物做的功是（g=10m/s2）（D）

A.500J；B.5000J；C.4500J；D.5500J

7、有以下几种情况

①用水平推力F推一质量为m的物体在光滑的水平面上前进l

②用水平推力F推一质量为2m的物体在粗糙的水平面上前进l

③用与水平面成60°角的斜向上的拉力F拉一质量为m的物体在光滑平面上前进2l

④用与斜面平行的力F拉一质量为3m的物体在光滑的斜面上前进l

这几种情况下关于力F做功多少的正确判断是（D）

A、②做功最多B、④做功最多

C、①做功最少D、四种情况，做功相等

8、两个互相垂直的力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动，如图5-2-5所示，物体通过一段位移时，力F1对物体做功4J，力F2对物体做功3J，则力F1和F2的合力对物体做功为（A）

A、7JB、2JC、5JD、3.5J

9、火车头用F=5×104N的力拉着车厢向东开行S=30m，又倒回来以同样大小的力拉着车厢向西开行30m，在整个过程中，火车头对车厢所做的功是（A）

A、3×106JB、2×106JC、1.5×106JD、0

10、质量为m的物体，在水平力F的作用下，在粗糙的水平面上运动，下列说法中正确的是（ACD）

A、如果物体做加速直线运动，F一定对物体做正功

B、如果物体做减速直线运动，F一定对物体做负功

C、如果物体做减速直线运动，F可能对物体做正功

D、如果物体做匀速直线运动，F一定对物体做正功

11、重为400N的物体放在水平地面上，与地面的滑动摩擦因数为μ=0.2，在大小为F=500N，方向与水平面成α=37°斜向上的拉力作用下前进l=10m。

在此过程中力F做功为J，摩擦力做功为J，重力做功J，合力所做的功为J。

4000，－200，0，3800

12、如图所示，物体质量为2kg，光滑的定滑轮质量不计，滑轮两侧保持绳竖直，若拉着绳使物体上升2m，则拉力做功为J；若竖直向上拉力为50N，使物体上升2m，拉力做功J，重力对物体做功J。

40，200，－40

13、下列说法正确的是（D）

A、有力有位移，该力一定做功

B、有加速度的物体一定有力对它做功

C、静摩擦力一定不做功，滑动摩擦力一定做负功

D、静摩擦力和滑动摩擦力都可能做正功

14、关于作用力和反作用力做功的关系，下列说法正确的是（D）

A、当作用力做正功时，反作用力一定做负功

B、当作用力不做功时，反作用力也不做功

C、作用力和反作用力所做的功大小一定相等，一正一负

D、作用力做正功时，反作用力也可以做正功

15、某人利用如图所示的装置，用100N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端，将物体从水平面上的A点移到B点。

已知α1=30°,α2=37°，h=1.5m，不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦，求绳的拉力对物体所做的功？

50J

16、如图，小球在大小不变的拉力F的作用下，在水平槽内做圆周运动。

如果圆半径为R，拉力F的方向恒与小球瞬时速度方向一致，则在小球运动一周过程中，拉力F所做的功多大？

2πFR

三、功率

【要点导学】

1、功率是表示的物理量，功率是量，在国际单位制中功率的单位是。

3、P=W/t是功率的定义式，它普遍适用，不管是恒力做功，还是变力做功，不管是机械功还是电功等它都适用。

但由它求得的一般是功率。

公式P=Fvcosα，式中α为F与v的夹角。

v为物体的对地速度。

当v为平均速度时，求得的功率为功率，当v为瞬时速度时，求得的功率为功率。

4、汽车等交通工具的动力学分析：

（设汽车受到的摩擦阻力大小保持恒定）

当保持功率恒定时，由P=Fv可以看出，F与v成反比，牵引力是变力，汽车作变加速运动，根据牛顿定律F-f=ma（f为汽车受到的阻力），随着速度的变大，将导致减小（对应的加速度也相应减小），但只要有加速度，汽车的速度将进一步增大，导致牵引力进一步减小，直至牵引力F等于阻力f，汽车作匀速直线运动，此时的最大速度为，汽车在不同的输出功率下能够达到的最大速度是不同的，其中的最大值对应汽车以最大输出功率（一般认为等于额定功率）。

要提高汽车在给定路面上的最大速度值，应选用额定功率的发动机。

当牵引力F不变时，根据牛顿定律F-f=ma，汽车作匀变速运动，P与v成正比，当瞬时功率达到最大功率时，汽车的功率将保持不变，汽车改作运动，直至达到最大速度。

【范例精析】

例1一个质量为m的物体，在几个与水平面平行的力作用下静止在水平面上，在t=0时刻，将其中的一个力从F增大到3F，其他力不变，则在t=t1时刻，该力的功率为多大？

解析由于仅一个力大小变化，则其改变量即为物体受到的合外力，应用牛顿定律算出加速度，并应用匀变速运动速度公式求出此时的瞬时速度，在根据瞬时功率的定义式就可以求出此力的功率。

P=Fvcosα=3F×2Ft/m=6F2t/m

拓展涉及功率的计算时一定要区分平均功率和瞬时功率，因为这两种功率的计算公式不同，审题时必须十分仔细。

一质量为m的木块静止在光滑的水平地面上，从t=0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t=t1时刻力F的功率和这段时间内的功率分别为多大？

例2汽车的质量为m=6.0×103kg，额定功率为Pm=90Kw,沿水平道路行驶时，阻力恒为重力的0.05倍（取g=10m/s2）。

求：

（1）汽车沿水平道路匀速行驶的最大速度；

（2）设汽车由静止起匀加速行驶，加速度为a=0.5m/s2,求汽车维持这一加速度运动的最长时间。

解析

（1）汽车匀速运动时F-0.05mg=0┄┄①

汽车的额定功率Pm=Fvm┄┄②

代入数据得vm=30m/s。

汽车匀加速行驶时，动力学方程为F-0.05mg=ma┄┄③

汽车的瞬时功率为P=Fv┄┄④

汽车的瞬时速度为v=at┄┄⑤

要求瞬时功率小于或等于额定功率P≤Pm┄┄⑥

代入数据得t≤30s┄┄⑦.

拓展有些同学计算匀加速运动可维持的时间时，用汽车在水平路面上的最大速度除以加加速度，得到时间为60s，这种做法是认为汽车可以一直以匀加速达到最大速度，显然是错误的。

在用公式P=Fv时，必须结合具体的物理过程作细致的分析，应弄清是什么物理量保持恒定，例如在匀加速运动中，是牵引力F保持恒定；而在达到额定功率后，是汽车的功率保持恒定。

本题中汽车的速度—时间图象如图所示，图中V1=at=15m/s。

【能力训练】

1、关于功率,下列说法正确的是（B）

A功率是描述力做功多少的物理量B功率是描述力做功快慢的物理量

C做功时间长,功率一定小D力做功多,功率一定大

2、关于功率，以下说法正确的是（C）

A、据P=W/t可知，机器做功越多，其功率就越大。

B、据P=Fv可知，汽车的牵引力一定与其速率成反比。

C、据P=Fv可知，发电机的功率一定时，交通工具的牵引力与运动速率成反比。

D、据P=W/t可知，只要知道时间t内机器所做的功，就可求得这段这段时间内任一时间机器做功的功率。

3、汽车上坡时，司机必须换档，其目的是（C）

A.减小速度，得到较小的牵引力B.增大速度，得到较小的牵引力

C.减小速度，得到较大的牵引力D.增大速度，得到较大的牵引力

4、质量为m的物体，在水平力F的作用下，在光滑水平面上从静止开始运动，则有（BC）

A．若时间相同，则力对物体做功的瞬时功率跟力F成正比

B．若作用力相同，则力对物体做功的瞬时功率跟时间t成正比

C．某时刻力F的瞬时功率大于这段时间内力F的平均功率

D．某时刻力F的瞬时功率等于这段时间内力F的平均功率

5、某同学进行体能训练,用了1000s时间跑上20m高的高楼,试估测他登楼的平均功率最接近的数值是（A）

A10WB100WC1kWD10kW

6、火车在一段水平的直线轨道上匀加速运动，若阻力不变，则牵引力F和它的瞬时功率P的变化情况是（A）

A、F不变，P变大B、F变小，P不变

C、F变大，P变大D、F不变，P不变

7、同一恒力按同样方式施在物体上，使它分别沿着粗糙水平地面和光滑水平地面移动相同的一段距离，恒力的功和功率分别为W1、P1和W2、、P2，则两者的关系是（B）

A、W1>W2P1>P2B、W1=W2P1

C、W1=W2P1>P2D、W1

8、设在平直公路上以一般速度行驶的自行车，所受阻力约为车、人总重力的0.02倍，则骑车人的功率最接近于（A）

A、10-1kwB、10-3kwC、1kwD、10kw

9、物体质量为2kg,作自由落体运动，3秒末重力的瞬时功率为W，前3s内重力的平均功率为W，第3s内重力的平均功率为W。

600300500

10、汽车发动机的额定功率为100kw，所受的阻力为5000N，其在水平路面上运动的最大速度为m/s，当汽车的速度为10m/s时，其牵引力为N，若汽车的质量为2t，此时汽车的加速度为m/s2。

201045

11、一质量为m=10kg的物体，自水平地面由静止开始用一竖直向上的拉力F将其以a=0.5m/s2的加速度向上拉起。

求在向上拉动的10s内，拉力F做功的功率。

262.5w

12、额定功率为80kW的汽车，在平直公路上行驶的最大速度为20m/s，汽车的质量m=2×103kg。

如果汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2m/s2。

运动过程中阻力不变，求：

（1）汽车所受的恒定阻力；

（2）3s末汽车的瞬时功率；

（3）经过多长时间汽车功率达到额定值？

4000，48000w，5s

四、重力势能

【要点导学】

1、物体由于而具有的能量叫做重力势能，表达式EP=。

重力势能是量，有正负之分。

重力势能具有相对性，与参考面选择有关，式中的h是指物体重心到的高度。

通常选择作为参考面，也可以选物体系中的最低点为重力势能零点，这样可以避免出现负势能问题。

2、重力做功的特点是。

重力做正功，物体的重力势能，重力做负功（也称物体克服重力做正功）时，物体的重力势能。

用公式表示可写成。

3、势能也叫，是由决定的，因而重力势能是物体和地球组成的系统共有的。

【范例精析】

例1在高处的某一点将三个质量相同的小球以相同的速率v0分别上抛、平抛、下抛，那么以下说法正确的是（）

A、从抛出到落地过程中，重力对它们所做的功都相等

B、从抛出到落地过程中，重力对它们做功的平均功率都相等

C、三个球落地时，重力的瞬时功率相同

D、如果考虑空气阻力，则从抛出到落地过程中，重力势能变化不相等

解析由于重力做功与路径无关，只是与初末位置高度差有关，三个小球初末位置高度差相同，所以重力做功都相等，A正确。

三个球在空中运动时间不一样，它们时间关系是t上抛＞t平抛＞t下抛，而平均功率F=W/t，所以平均功率不相等，B错。

落地时三个球的速率相等，但速度方向不同，瞬时功率P瞬=Fvcosα=mgvcosα，上抛和下抛α=00，而平抛物体落体时α≠00，故瞬时功率不相等，C错。

重力势能的变化只与重力做功有关，重力做功相等，三个球的重力势能变化应该相等，故D也错。

正确答案：

A。

拓展竖直上抛一球，球又落回原处，已知空气阻力的大小正比于小球的速度（）

A、上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功

B、上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功

C、上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率

D、上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力的平均功率（BC）

例2如图所示，粗细均匀的U形管内装有总质量为m、总长度为3h的同种液体，开始时两边液面的高度差是h,管底阀门T处于关闭状态，现将阀门打开，当两管液面相等时，液体的重力势能变化了多少？

解析液体的重力势能变化对应着其重心的位置的变化，如图所示，左右液面等高时，等效于h/2高度的液体柱下降了h/2，而其它的液体的重心没有变化。

h/2的液体柱的质量为m/6，由于重力做正功，故重力势能减少，-ΔEP=（mg/6）×h/2=mgh/12.

拓展本题利用了等效原理，即认为整体中只有局部液体的重心发生了变化，可以使问题简化。

某海湾共占面积1.0×107m2，涨潮时平均水深20m，此时关上水坝闸门，可使水位保持20m不变。

退潮时，坝外水位降至18m，（如图所示），利用此水坝建立一座水力发电站，重力势能转化为电能的效率为10%，每天有两次涨潮，该电站每天能发出多少电能？

[答案：

4×1010J]

【能力训练】

1、下列关于重力势能的说法中正确的是（AB）

A、重力势能是物体和地球所共有的

B、重力势能的变化，只跟重力做功有关系，和其它力做功多少无关

C、重力势能是矢量，在地球表面以下为负

D、重力势能的增量等于重力对物体做的功

2、在一足够高的地方，将一质量为2kg的小球以4m/s的初速度竖直上抛，在没有空气阻力的情况下，从开始抛出到小球下落的速度达到4m/s的过程中，外力对小球做的功为（D）

A、32JB、16JC、8JD、0

3、当重力对物体做正功时，下列说法中正确的是（ACD）

A.物体的重力势能一定增加

B.物体的重力势能一定减少

C.物体的动能可能增加

D.物体的动能可能减少

4、物体在斜面上做加速运动时，下列说法哪个正确（C）

A、它的动能一定增大，重力势能也一定增大

B、它的动能一定增大，重力势能则一定减小

C、它的动能一定增大，重力势能一定发生变化

D、如果加速度逐渐减小，则物体的动能也逐渐减小

5、关于重力做功和物体重力势能的变化，下列说法中正确的是（ABC）

A、当重力对物体做正功时，物体的重力势能一定减少

B、当物体克服重力做功时，物体的重力势能一定增加

C、重力做功的多少与参考平面的选取无关

D、重力势能的变化量与参考平面的选取有关

6、如图所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，假设桌面处重力势能为零，则小球落地前瞬间的重力势能为（A）

A.-mghB.mgH

C.mg（H+h）D.mg（H-h）

7、若物体m沿不同的路径Ⅰ和Ⅱ从A滑到B，如图5-4-4所示，则重力所做的功为（C）

A．沿路径Ⅰ重力做功最大

B．沿路径Ⅱ重力做功最大

C．沿路径Ⅰ和Ⅱ重力做功一样大

D．条件不足不能判断

8、一实心的正方体铁块与一实心的正方体木块质量相等，将它们放在水平地面上，下列结论正确的是（以地面处重力势能为零）（C）

A．铁块的重力势能大于木块的重力势能

B．铁块的重力势能等于木块的重力势能

C．铁块的重力势能小于