要使A(∁RB),结合数轴分析(如图),可得a≤1.
课堂归纳小结
1.全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象,含有任何元素的集合,它是对于研究问题而言的一个相对概念,它仅含有所研究问题中涉及的所有元素,如研究整数,Z就是全集,研究方程的实数解,R就是全集.因此,全集因研究问题而异.
(2)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的,因此,它们是互相依存、不可分割的两
个概念.
(3)∁UA的数学意义包括两个方面:
首先必须具备A⊆U;其次是定义∁UA={x|x∈U,且x∉A},补集是集合间的运算关系.
2.补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想,即已知全集U,求子集A,若直接求A困难,可先求∁UA,再由∁U(∁UA)=A求A.
1.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合
∁U(A∪B)=( )
A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}D.{x|0[解析] ∵A={x|x≤0},B={x|x≥1},
∴A∪B={x|x≤0或x≥1},
∴∁U(A∪B)={x|0[答案] D
2.已知三个集合U,A,B之间的关系如图所示,则(∁UB)∩A=( )
A.{3}B.{0,1,2,4,7,8}
C.{1,2}D.{1,2,3}
[解析] 由Venn图可知U={0,1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},B={3,5,6},所以(∁UB)∩A={1,2}.
[答案] C
3.设全集U={x∈N|x≤8},集合A={1,3,7},B={2,3,8},则(∁UA)∩(∁UB)=( )
A.{1,2,7,8}B.{4,5,6}
C.{0,4,5,6}D.{0,3,4,5,6}
[解析] ∵U={x∈N|x≤8}={0,1,2,3,4,5,6,7,8},
∴∁UA={0,2,4,5,6,8},∁UB={0,1,4,5,6,7},
∴(∁UA)∩(∁UB)={0,4,5,6}.
[答案] C
4.全集U={x|0[解析] ∁UA={x|5≤x<10},如图所示.
[答案] {x|5≤x<10}
5.设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},且∁UA={5},求实数a的值.
[解] ∵∁UA={5},∴5∈U,但5∉A,
∴a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4.
当a=2时,|2a-1|=3,
这时A={3,2},U={2,3,5}.
∴∁UA={5},适合题意.∴a=2.
当a=-4时,|2a-1|=9,这时A={9,2},U={2,3,5},A⃘U,∴∁UA无意义,故a=-4应舍去.
综上所述,a=2.
课内拓展 课外探究
空集对集合关系的影响
空集是不含任何元素的集合,它既不是有限集,也不是无限集.空集就像一个无处不在的幽灵,解题时需处处设防,提高警惕.
空集是任何集合的子集,其中“任何集合”当然也包括了∅,故将会出现∅⊆∅.而此时按子集理解不能成立,原因是前面空集中无元素,不符合定义,因此知道这一条是课本“规定”.
空集是任何非空集合的真子集,即∅A(而A≠∅).既然A≠∅,即必存在a∈A而a∉∅,∴∅A.
由于空集的存在,关于子集定义的下列说法有误,如“A⊆B,即A为B中的部分元素所组成的集合”.因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A的子集”、“∅⊆∅”等结论.
在解决诸如A⊆B或AB类问题时,必须优先考虑A=∅时是否满足题意.
【典例1】 已知集合A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0},求满足B⊆A的a的值组成的集合.
[解] 由已知得A={-2,4},B是关于x的一元二次方程x2+ax+a2-12=0(*)的解集.方程(*)根的判别式Δ=a2-4(a2-12)=-3(a2-16).
(1)若B=∅,则方程(*)没有实数根,即Δ<0,∴-3(a2-16)<0,
解得a<-4或a>4.此时B⊆A.
(2)若B≠∅,则B={-2}或{4}或{-2,4}.
①若B={-2},则方程(*)有两个相等的实数根x=-2,
∴(-2)2+(-2)a+a2-12=0,即a2-2a-8=0.
解得a=4或a=-2.当a=4时,恰有Δ=0;
当a=-2时,Δ>0,舍去.∴当a=4时,B⊆A.
②若B={4},则方程(*)有两个相等的实数根x=4,
∴42+4a+a2-12=0,解得a=-2,此时Δ>0,舍去.
③若B={-2,4},则方程(*)有两个不相等的实数根x=-2或x=4,由①②知a=-2,此时Δ>0,-2与4恰是方程的两根.
∴当a=-2时,B⊆A.
综上所述,满足B⊆A的a值组成的集合是{a|a<-4或a=-2或a≥4}.
[点评] ∅有两个独特的性质,即:
(1)对于任意集合A,皆有A∩∅=∅;
(2)对于任意集合A,皆有A∪∅=A.正因如此,如果A∩B=∅,就要考虑集合A或B可能是∅;如果A∪B=A,就要考虑集合B可能是∅.
【典例2】 设全集U=R,集合M={x|3a-1[解] 根据题意可知:
N≠∅,又∵N⊆(∁UM).
①当M=∅,即3a-1≥2a时,a≥1.
此时∁UM=R,N⊆(∁UM)显然成立.
②当M≠∅,即3a-1<2a时,a<1.
由M={x|3a-1又∵N⊆(∁UM),∴结合数轴分析可知
或
得a≤-
.
综上可知,a的取值集合为
.
[点评] 集合的包含关系是集合知识重要的一部分,在后续内容中应用特别广泛,涉及集合包含关系的开放性题目都以子集的有关性质为主,因此需要对相关的性质有深刻的理解.对于有限集,在处理包含关系时可列出所有的元素,然后依条件讨论各种情况,找到符合条件的结果.
课后作业(五)
复习巩固
一、选择题
1.设全集U=R,集合P={x|-2≤x<3},则∁UP等于( )
A.{x|x<-2或x≥3}
B.{x|x<-2或x>3}
C.{x|x≤-2或x>3}
D.{x|x≤-2且x≥3}
[解析] 由P={x|-2≤x<3}得,∁UP={x|x<-2或x≥3}.故选A.
[答案] A
2.集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(∁RB)=( )
A.{x|x>1}B.{x|x≥1}
C.{x|1[解析] ∵B={x|x<1},∴∁RB={x|x≥1}.
∴A∩(∁RB)={x|1≤x≤2}.
[答案] D
3.已知全集U={1,2,a2-2a+3},A={1,a},∁UA={3},则实数a等于( )
A.0或2B.0
C.1或2D.2
[解析] 由题意,知
则a=2.
[答案] D
4.设全集U是实数集R,M={x|x>2或x<-2},N={x|x≥3或x<1}都是全集U的子集,则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{x|-2≤x<1}
B.{x|-2≤x≤2}
C.{x|1D.{x|x<2}
[解析] 阴影部分表示的集合为N∩(∁UM)={x|-2≤x<1},故选A.
[答案] A
5.设集合U={-1,1,2,3},M={x|x2+px+q=0},若
∁UM={-1,1},则实数p+q的值为( )
A.-1B.-5
C.5D.1
[解析] 由已知可得M={2,3},
则2,3为方程x2+px+q=0的两根,
则p=-(2+3)=-5,q=2×3=6.
故p+q=-5+6=1.故选D.
[答案] D
二、填空题
6.已知全集U={x|x≥-3},集合A={x|-3[解析] 借助数轴得∁UA={x|x=-3或x>4}.
[答案] {x|x=-3或x>4}
7.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(∁UA)∪B为________.
[解析] 由U={0,1,2,3,4},A={1,2,3},
得∁UA={0,4},因为B={2,4},
所以(∁UA)∪B={0,2,4}.
[答案] {0,2,4}
8.设全集U={0,1,2,3},集合A={x|x2+mx=0},若∁UA={1,2},则实数m=________.
[解析] ∵U={0,1,2,3},∁UA={1,2},∴A={0,3},故m=-3.
[答案] -3
三、解答题
9.设集合A={x|-5≤x≤3},B={x|x<-2或x>4},求A∩B,(∁RA)∪(∁RB).
[解] A∩B={x|-5≤x≤3}∩{x|x<-2或x>4}={x|-5≤x<-2},∁RA={x|x<-5或x>3},∁RB={x|-2≤x≤4}.
∴(∁RA)∪(∁RB)={x|x<-5或x>3}∪{x|-2≤x≤4}={x|x<-5或x≥-2}.
10.已知集合A={x|2a-2[解] ∁RB={x|x≤1或x≥2}≠∅,因为A∁RB,
所以分A=∅和A≠∅两种情况讨论.
①若A=∅,此时有2a-2≥a,所以a≥2.
②若A≠∅,则有
或
所以a≤1.综上所述,a≤1或a≥2.
综合运用
11.已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-2或x>4},那么集合(∁UA)∩(∁UB)等于( )
A.{x|3C.{x|3≤x<4}D.{x|-1≤x≤3}
[解析] ∵∁UA={x|x<-2或x>3},∁UB={x|-2≤x≤4},∴(∁UA)∩(∁UB)={x|3[答案] A
12.已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩(∁IM)=∅,则M∪N等于( )
A.MB.N
C.ID.∅
[解析] 因为N∩(∁IM)=∅,所以N⊆M(如图),所以M∪N=M.
[答案] A
13.已知集合A={1,3,x},B={1,x2},若B∪(∁UB)=A,则∁UB=__________________.
[解析] 因为B∪(∁UB)=A,所以A=U.
①当x2=3时,x=±
,B={1,3},∁UB={
}或{-
}.
②当x2=x时,x=0或1.当x=0时,B={0,1},∁UB={3};而当x=1时不合题意,舍去.
[答案] {-
}或{
}或{3}
14.已知R为实数集,集合A={x|1≤x≤2},若B∪(∁RA)=R,B∩(∁RA)={x|0[解析]
∵A={x|1≤x≤2},
∴∁RA={x|x<1或x>2}.
又B∪(∁RA)=R,A∪(∁RA)=R,可得A⊆B.
而B∩(∁RA)={x|0∴{x|0借助于数轴可得B=A∪{x|0[答案] {x|015.已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3(1)求A∪B,(∁RA)∩B;
(2)若A∩C≠∅,求a的取值范围.
[解]
(1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3因为A={x|2≤x<7},所以∁RA={x|x<2或x≥7},
则(∁RA)∩B={x|7≤x<10}.
(2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x所以a>2,所以a的取值范围是{a|a>2}.