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分数数学论文6500字

（一）：

中韩小学数学教材中分数除法的比较研究论文

摘要：

分数除法是小学数学的重要内容．对比中韩两国的课程标准，发现两国都注重算理：

韩国要求掌握带分数的计算，中国则注重含分数除法的混合运算与应用．从宏观与微观比较两国的数学教材，在结构编排方面，两国都注重分数除法的学习基础与循序渐进，中国更注重内容的纵向联系与应用，韩国突显螺旋上升．针对具体的教学内容，两国都注重设置情境引入课题；注重以几何直观帮助学生理解分数除法算理；中国更为抽象概括，韩国更看重算法的多样化和发挥教材的“学材”功能．

关键词：

小学数学；教材；分数除法

1问题提出

教材（教科书）是课程的重要载体，也是课程实施过程中教师教学和学生学习的重要资源与依据，“以教材为依据”已经成为“教、学、研”的一个重要特征．随着时代的发展，教材的功能也在发生变化，如数学教材正由静态的文本悄悄地具有了动态属性，它影响着教什么和如何教，学什么和如何学，还兼有隐性地承载与传播社会文化价值的功能．国家教材局的成立，进一步表明教材的编撰对于文化传播、落实课程标准、明确教学内容、提升学习品质等具有至关重要的作用．

小学数学中很大一部分为“数及其运算”，而其中分数的出现不仅是“数”发展的第一次扩展，也是小学生学习“数”过程的一个飞跃．“研究表明，分数概念的理解是学生数学学习的重点与难点”[1-4]，在分数四则运算的算理和算法上，加、减、乘相对容易理解，分数除法跟整数除法有相同之处，又不尽相同，所以在概念和运算的学习过程中，无法将已有的经验直接类比，因而分数除法又是分数学习中的一个门槛，在理解分数概念的基础上，进一步理解分数除法的算理和培养相应的运算能力是解决有关分数问题（如含分数的方程）以及理解分式计算的重要基础．

分数除法是小学数学中教师最难教、学生最难学的内容之一，难就难在学生对“某数除以一个分数等于某数乘该分数的倒数”的算理不容易理解[5]．国外的相关研究也表明，不管对老师还是对学生而言，分数除法都是较为复杂的内容[6]．虽然仅就算法程序而言，它是不难的，但这一主题在概念上是丰富和困难的，因为它的含义需要通过它与其它数学知识、各种表示形式或现实世界的联系来解释[7]．在教材的编排方面，张平等比较了大陆（苏教版）和台湾（康轩版）小学数学教材中分数除法部分，发现两者在编排的整体结构和理念上都有差异，并提出“在教材编写以及教学实践中需关注学生概念的理解，而非聚焦于规则的记忆和答案的获得”[8]．YepingLi等从宏观和微观方面关注并比较了中、日、美3个国家教材中的分数除法概念引入、内容组织和例题习题等的呈现方式，研究发现与美国不同，中国和日本的教材在分数除法的概念化和组织结构上相似；并进一步指出，教育差异会体现在数学教材中，而这种差异也为进一步探讨跨文化教材对教与学的影响提供了基础[9]．

新一轮的数学课程改革中，理解算理是一项重要目标，理解了算理才能理解算法的真正意义．对于教师不容易教，学生不容易理解的算理内容教学，应该成为教学研究的重点．尤其对于分数除法，“对这一内容（分数除法）的关注，应该会给我们提供一个有趣的机会，以便了解在不同的教科书中组织教学内容时可能采取的方法”[9]．

韩国作为中国的友好邻邦，同属亚洲文化圈，但其社会文化、环境以及教育的很多理念又与中国不同，孔凡哲的研究得到韩国小学数学教科书编写通常采用的基本体例是，由“在实际生活中认识”“活动”“约定”“解题的方法”“熟记”“趣味游戏”“问题解决”“生活应用”等模块多次反复拼排而成[10]．蔡庆有等人的对比研究表明在四年级“数与代数”领域，背景题占比中国显著高于日韩，习题行为要求中国显著高于韩国，即韩国的模仿题占比更高[11]．这些研究从不同侧面反应了韩国小学数学教材的一些特色与内容．而对于小学数学中分数除法这一“难教难学”的内容，研究发现两国的课程标准有很大差异，因而有必要进一步对两国教材中分数除法的内容、组织编排、呈现形式等进行比较．

2研究方法与工具选取

研究采用文本分析法，选取了中韩两国的小学数学教材进行内容分析比较．中国教材选取由人民教育出版社2014年3月出版的小学数学六年级上册（简称“人教版”）；韩国教材选取由韩国科学创意财团编撰、韩国国立国语院语言规范编审、2015年8月出版的数学5-2，2016年3月出版的数学6-1（简称“科创版”），这两套教材是两国较新出版并使用范围较广，具有一定的权威性与代表性．

首先比较两国数学课程标准中对分数除法内容的要求，在此基础上从宏观和微观层面对两国教科书进行了比较．宏观层面，主要涉及内容的年级分布与整体结构特征．

“一般来说，教材的知识编排方式、内容呈现形式、习题数量与分布、插图风格、课堂活动设计等都是体现教材特色的重要方面”[12]，教材内容的编排与呈现方式直接影响学生对内容的认知，所以微观层面，研究剖析教材，对教材中分数除法内容的编排方式和内容呈现形式进行了比较研究．通过比较并非分辨孰优孰劣，而是引发思考，批判和吸收国外的数学课程经验，以期能为教材编写带来有益的启示，进一步加强中国的教材建设等．

3研究结果与讨论

3.1中韩数学课程标准中分数除法内容的比较与讨论

《义务教育数学课程标准（2011）》（简称《中课标》）的内容标准没有具体分年级表述，第二学段“数与代数”中，在“数的运算”部分对分数的四则运算给出要求：

能分别进行简单的小数和分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）．能解决小数、分数和百分数的简单实际问题[13]．

《韩国数学课程标准（2006年修订）》（简称《韩课标》）中对每一部分内容都分年级进行了表述，在五年级和六年级的“数与运算”中给出了关于分数除法的内容标准．五年级（分数的乘除法）：

（1）理解自然数与分数、分数与分数的乘法意义和计算原理，并能运算．

（2）能把“自然数width=9，height=9自然数”用分数来表示．（3）理解“分数width=9，height=9自然数”的计算原理，并能运算．六年级（分数的除法）：

理解除数为分数的除法的含义和运算律并能计算[14]．

通过比较发现，在课程目标的要求上，《韩课标》对分数除法教学目标的描述更为详细清晰，并明确了应该理解算理．《中课标》虽然没有明确指出理解算理，但在数学课程改革中，帮助学生理解算理已是计算教学的重点．

从目标的描述上看，《中课标》两次提到“简单”，一是进行简单的运算；二是进行简单的应用，《韩课标》的描述则着重于“理解”．在具体“分数”的要求上，《中课标》明确要求“不含带分数”，韩国没有这一要求，所以从目标上看，对分数类型的要求，《韩课标》难度显然高于《中课标》；韩国没有提到“混合运算”和分数除法的“应用”，《中课标》对“混合运算”和“应用”提出了要求，所以在运算步骤、应用广度和深度上，中国也强于韩国．

3.2教材中分数除法编排方式（组织结构）的比较与讨论

数学教材的编排方式应该寻求知识体系、逻辑顺序和心理生成的统一．分数除法的学习是分数四则运算的最后一项，也是后面运用分数及其运算的转折，在知识的整体结构和逻辑体系上起着承上启下的关键价值．

3.2.1两版本“分数除法”的组织分布与结构特征

人教版中分数的除法全部集中在六年级上册（六上），科创版分布在数学5-2（五下）和6-1（六上）两册中，具体内容如表1．

表1中韩“分数除法”内容分布

从教材的整体安排可以看出，人教版分数除法一章共有8小节，科创版两章共有11小节，两版本这部分知识的结构关系如图1．

编排结构图可以看出，两国的编排方式有很大不同，但教学内容均与课程标准相吻合，即人教版分运算和应用两部分，科创版将分数类型进行了分类，并特别有关于带分数的除法运算．

3.2.2比较讨论

（1）两版本都注重了学习基础与循序渐进．

从表1中可以看出，要学习分数除以分数，两版本编排了充分的预备知识，而且都是从分数除以整数开始，与前面学习的知识相衔接，一个数除以整数也就是平均分，除以几就是平均分成几份，每一份用数学式子表达就是“整体width=9，height=9几”；根据分数初步认识中的几分之一的概念：

把一个整体平均分成几份，每一份就是它的几分之一，如果用数学式子来表达就是“width=39.75，height=25.35”，这样自然而然两者的相关性与统一性就出来了，这也是两版本在教材中将分数除法运算转变为分数乘法运算的基础．科创版中在此将分数的除法意义作为基础，人教版虽然没有在分数除法一章中出现此内容（分数与除法的关系），但是在五下“分数的意义”中已经涉及．

整体而言，两版本都是以“分数的除法意义”和“倒数”为基础（虽然科创版没有提出倒数概念），对分数除法的理解是从被除数是分数，除数是自然数开始，进而过渡到被除数和除数都是分数，不管是被除数还是除数，分数都是从简到繁，整体设计注重了学生的心理基础与生成．

（2）韩国科创版突显螺旋上升理念．

在教材编排方式上，螺旋上升与直线上升各有利弊，不同版本的教材有不同的编排理念与方式．当前大家普遍认同的是螺旋上升模式，尤其是对小学数学教材从整体内容安排来看，中国目前也提倡螺旋上升模式．但如果把分数除法作为一个知识体系看，无疑人教版偏重的是直线上升式编排，科创版偏重的是螺旋上升式编排．所以在集中程度上，科创版将分数除法的知识分散在两册中，较好地体现了“螺旋式上升”这一课程教材设计的基本原则[10]．相比之下，人教版更为集中，分数除法安排在一章中，完成了由基础到新知识再到应用的过程．

（3）中国人教版更注重知识的纵向应用．

从两版本的内容组织上看，人教版简单直接，更注重渗透数学知识的应用意识，尤其是分数除法在方程之后学习，所以这部分知识自然地与方程联系起来．如在学习了分数除法的运算之后，教材安排有3小节列方程解应用题，在解方程的过程中要运用分数除法的运算法则，这既是“无处不用数学”的体现，也是中国传统数学学习思想的体现．相比之下科创版的这两章则只讲了分数除法的算理与算法，并没有涉及应用方面．

3.3教学内容呈现形式的比较与讨论

知识内容以什么样的方式呈现于教材，会直接影响教师的教学与学生的学习，不同版本教材内容的呈现形式也是教材比较研究的重要方面．中韩两国教材的分数除法部分在内容的呈现上有共同点，同时也各有特色．

3.3.1两版本具体教学内容呈现举例

由上述图表可以看出，人教版在六上的分数除法一章有两个重点：

一是分数除法的运算（算理）；二是在解决问题（解方程）中应用分数除法．

3.3.2比较讨论

（1）两版本都注重情境引入，情境各具特色．

适当的情境能够帮助学生理解正在学习的数学知识与数学外部世界的关系，并迅速带领学生走进知识殿堂，进而引导学生开展数学思考、解决数学问题．研究发现两版本都非常注重情境引入．人教版从第3小节开始，每一节都从一个设定的情境引出该节课要学习的知识；科创版几乎每一小节都从一个生动活泼的情境或是两个小学生的对话开始，提出该节课要解决的问题．

（2）两版本都注重利用几何直观帮助学生理解算理．

“数缺形时少直观”，几何直观是国际数学教育界的公认理念，也是《中课标》中的10个核心概念之一，同时，在中国《高中数学课程标准（2017版）》中，直观想象也是6个数学核心素养之一．不管是几何直观还是直观想象，都注重建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解抽象的算理，这是解决问题的有效手段之一．

（3）中国人教版更为概括和抽象．

人教版将分数除法的运算法则聚集于3小节讲完（包含倒数的认识），第3小节通过解决问题width=35，height=24.95，采用几何图形帮助学生理解除数为分数的除法．第5小节则通过解方程width=34，height=24.95，来体现分数除法运算法则的应用，人教版这里通过“列方程—解方程”的过程可以让学生进一步体会分数除法的来历、除法与乘法的联系．实际上，不管在什么背景下，除法都是乘法的另一种等价的表达方式[15]．尽管教材一般不会这样来引入除法（除法来自于乘法的逆运算），但是在学生学习整数除法运算时，“想乘算除”实际上已经有此渗透，当然在教学中是否给学生讲或者讲到什么程度，还有待讨论．

相比较而言，科创版则用了11小节来讲分数的除法，11小节的区别主要体现与被除数和除数中分数的类型．由此可见，在内容的深度、抽象性和概括性上，人教版更为明显．

（4）韩国科创版更注重算法多样化．

由于每个学习者的经验与知识的自我建构方式不同，因而在解决问题的过程中，算法多样化就可能给学习者更多的体验．两版本在推导分数除法法则过程中都注重了算法多样化，相比之下，科创版更为细致．如在图3中，活动2和活动3分别给出了不同的运算思路，并且最后引导学生说明活动2和活动3的区别是什么．6-1第二章最后一节（带分数的除法）的最后一个活动，计算width=34，height=24.95，如图5．

（5）韩国科创版教材更注意发挥“学材”的功能．

科创版教材继承了韩国小学数学教材编写的理念，即教材也是学生学习的学材[10]．如在图3中，3个活动分别给出了计算思路，值得注意的是教材中每一步都不给出答案，以填空的方式帮助学生理解分数除法的意义，从引导学生的思考出发，让学生自己完成，最后在理解的基础上，归纳运算法则（两章分数除法的内容均为如此）．这种方式在中国的教材中并不多见．这并非是说中国不注重学材，相反，中国不同版本的教材几乎都配有相应的课堂练习册（同步练习册等），以至于英国在引进上海教材的同时也引进了相应的“一课一练”．从世界范围来看，教材的功能正在变成学材，呈现出从教的方面向学的方面转化的趋势，指向了教师的课堂教学实践，更是明确指向了学的主体——学生，这实际上也是教材满足数学课堂教学实践需要的一大转向[18]．科创版将教材与学材融为一体，也是教材功能转变的体现．

4结语

教材中的其它内容，如章末练习题、章头图等，两个版本也呈现不同的特点，如科创版中的章末练习模块多样（故事、游戏等），章头图的设计、篇幅以及内涵上呈现出的开放性与多样化都值得借鉴．

科学知识本无国界，虽为东亚邻国，且具有相同的文化渊源，但由于国情不同，人教版的高效率、短平快，科创版的小步走、慢节奏都体现了中韩小学数学教材在分数除法内容处理上的特色．早有研究表明，“在涉及到整数的乘、除运算以及含有分数、小数的基本运算能力上来看，韩国学生的正确率略高于中国学生”[19]．无独有偶，在赵冬臣等关于职前小学数学教师教学知识（分数除法）的调查研究中发现，“韩国师范生在多数题目上的得分率都明显高于中国师范生；理解算理的韩国师范生的比例高于中国师范生；使用直观表征的师范生的比例高于中国师范生”[20-32]．这些研究结果以及两国教材中对分数除法截然不同的处理方式引发进一步深思，教材的编排对学生认识数及培养其运算能力的影响有多大；更为具体的问题如小学六年级是否可以接受带分数与相关运算以及带分数学习的意义与价值；在分数的乘除法学习中，是否有必要将分数分类（真分数、假分数、带分数）进行处理；将分数除法转变为整数除法（通分法）的弊端到底在哪里；九章算术中的通分术能否带给学生新的学习感悟？

随着社会与时代的前进，如何进一步促进教材的多样化与开放性发展，使之更有助于师生开展数学教学与自主探究．这些问题也促使广大研究者审视教材编写中如何做到“学科逻辑与心理逻辑的均衡统一”“知识的学科性与文化性的均衡统一”“时代开放性与数学传统性的均衡统一”“国家特色与世界主流观念的均衡统一”[12]，这样才能推进教材的良性有序发展．

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（二）：

大陆与台湾小学数学教材中分数除法的编排比较论文

摘要：

教材的编排方式一定程度上影响教师的教学和学生的学习，基于此，以分数除法这一计算教学中的难点为切入点，分别从横向和纵向两个维度对大陆（苏教版）和台湾（康轩版）教材中分数除法的编排进行比较．通过比较发现，在整体结构上，康轩版教材的例题数量多于苏教版；苏教版练习的数量是康轩版的两倍多；康轩版涉及的知识点更多，且内容难度大，但例题间难度的坡度比苏教版小．在具体内容的组织上，苏教版通过个案联系、引导猜想等过程，即通过不完全归纳得到计算法则，康轩版则从多例呈现、算法引导、发现规律等过程得到计算法则，其例题结构完整，算法前后统一．由此，小学数学教材的编写和教学实践需合理地把握教材中例题间的难度，有意识地关注教材内容所涉及的数学知识的本质和境脉，凸显数学概念的深层次理解．

关键词：

分数除法；教材比较；苏教版；康轩版

近20年来，研究者们对分数学习的研究主要关注分数基本概念的理解．在目前的研究中，有着眼于分数的定义的，有从教学与数学两个层面来探讨分数本质的，还有从对分数本质的理解看数学教师的专业素养的．不论从哪个角度展开研究，最终都要回到对分数意义的理解这一基本问题上[1]．因而，分数除法的教学可能也与教师对其背后所隐含的意义及其数学思想方法的理解相关．譬如，国外研究者鲍尔（D.L.Ball）通过研究发现，职前教师仅知道分数除法的计算规则，却对其背后的数学知识不甚理解[2]．不仅如此，许多在职教师在分数除法教学之后对“为什么除以一个数等于乘它的倒数”同样无法给出合理的解释．然而，通过审视台湾教材关于分数除法的编排时发现，分数除法这一内容在教材中编排的形式可能也间接影响教师对分数除法的深入理解．

台湾近10年来对小学数学教材内容的研究非常深入和系统，其不仅能对小学数学的教学内容做出理论性的解释，赋予其科学的意义，且在很多内容的细微之处及学生容易产生困惑的地方做出了精致的分析和实证性的研究[3]，给一线教师的教学实践提供了理论和技术上的帮助和指导．基于此，有必要对大陆和台湾小学数学教材中分数除法的编排进行比较，以为小学数学教材的编写及教学实践提供一些启示．

1研究设计

考虑到比较对象的典型性和代表性，大陆教材选用的是2013年教育部审定的凤凰教育出版社的小学数学教材（简称“苏教版”），台湾教材选用的是康轩文教事业出版的小学数学教材（简称“康轩版”）．选用这两个版本的原因在于二者的使用情况．其中，康轩版教材在台湾具有一定的影响力，被很多小学选定为教科书；苏教版也同样如此，在大陆有较为广泛的使用范围和近二百万的学生使用量．基于此，研究的问题和比较框架如下．

1.1研究问题

通过大陆和台湾小学数学教材中分数除法编排的比较来审视二者背后理念的差异及其可能对教学的影响．

（1）大陆与台湾教材中分数除法编排上的异同；

（2）这些编排上的差异之处所隐含的理念差异；

（3）这一理念差异对教学实践可能产生的影响．

1.2比较框架

就教材比较而言，常用的方法是“内容比较、分析法（contentanalysis）”[4]．此种方法能够较为深入地探析不同教材之间的差异，其一般包含“量”和“质”两个方面的比较和分析．其中，“量”的层面侧重于从数量、时间以及顺序上比较和分析不同教材之间的差异，“质”的层面侧重于以定性的方式比较和分析不同教材之间的异同．一般而言，这两个层面都需在教材比较中有所体现，任一方面的缺失某种程度上都有碍于研究的深入．譬如，哈拉兰博斯（Y.Charalambous）[5]等人认为应将对教材整体考察的分析方法和对具体内容考察的分析方法予以综合．一方面，从横向上比较不同教材的整体结构、总体特点和内容组织．如例题的数量、安排的顺序和习题的数量等，这即是从“量”上比较不同教材的差异；另一方面，从纵向上考察教材如何建构数学概念的知识结构，需对单元知识的整体结构和内容进行具体的解析，这即是从“质”上考察不同教材的异同．此外，国内研究者张茹[6]在对国内外教材研究的文献做了详尽地比较分析后，提出了“科学性”“教育性”“教学性”“适切性”和“结构性”等5个融合“量”和“质”的教材分析和评价指标，其中“教学性”指教材内容的呈现方式、语言风格等；“适切性”涉及教材内容的难易度、容量、贴近学生等方面；“结构性”指教材内容的完整性、知识本质、逻辑顺序及数学思想和文化的体现等；“科学性”和“教育性”指教材呈现的内容是否科学合理，是否具有教育意义．

在统整哈拉兰博斯和张茹，以及范良火、吴立建[7]，曹一鸣、吴立宝[8]，王建波[9]等人研究成果的基础上，从横向和纵向两个维度建立比较框架．其中，横向比较主要关涉教材中“量”的层面，纵向比较主要关涉教材中“质”的层面．其具体比较指标如表1所示．

表1小学数学教材比较框架

2研究结果

依据上述比较框架，分别对大陆苏教版和台湾康轩版教材中分数除法的内容进行了比较与分析．首先，合作者分别独立通读两个版本的教材，理解其各自的编排意图与思想，以及所涵盖的分数除法相关数学知识及其整体结构与编排顺序，并经沟通交流、研讨分析，达成共识．其次，合作者分别依据分析框架开展对比阅读，采集、编码数据，整理分析并适当表述，经沟通交流、研讨分析，达成共识（在编码过程中，3位作者分别对文本进行统计，并在编码后比对3者之间的一致性程度，最终3者之间的一致性程度达80%，可以确保研究结果的信度和效度）．最后，整合上述“阅读结果”，得出大陆苏教版和台湾康轩版教材中“分数除法编排”在横向和纵向上的异同．

2.1横向比较结果

横向比较主要包括整体结构、内容组织以及编排顺序3个方面．通过分析，横向比较的结果如下．

2.1.1整体结构的比较

整体结构的比较结果如表2所示．

表2整体结构比较结果

从表2可以看出，两版本教材的分数除法内容在整体结构上有一些共同之处．一是两种版本都将分数除法这一内容编排在六年级上学期．二是例题的呈现都是从简单到复杂，从具体到抽象，如苏教版先从分数除以整数，到整数除以分数，再到分数除以分数，这之后，引导学生归纳概括分数除法的计算方法，即甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数；康轩版则从最简分数开始，由同分母分数除法，到整数除以分数，再到异分母分数除法，并在异分母分数除法之后归纳分数除法的计算方法，最后引申至有余数的分数除法和被除数、除数和商的关系的学习．三是每个例题后面都有相应的练习，如苏教版有试一试和练一练，康轩版有做做看、动动脑等．四是单元最后都安排了分数除法的综合练习，如苏教版安排了分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数、比大小以及分数除法的应用题，帮助学生巩固例题中的知识点．同样，康轩版安排了3类练习，分别是将化简最简分数融入分数除法的计算中，将被除数、除数和商的关系融入大小比较中，以及通过应用题帮助学生运用分数除法，进而达到巩固所学知识点的目的．因此，从整体结构上来看，两种版本的教材都遵循由简单到复杂的编排方式，且以练习来巩固分数除法的学习．

2.1.2内容组织和顺序的比较

因内容组织与编排顺序紧密相关，因此将二者予以结合来分析两种教材的异同．其比较结果如表3所示．

由表3可知，分数除法这一内容在内容组织和顺序上存在以下几点不同之处．

一是，两种版本教材的内容起点不同．康轩版教材把最简分数的相关内容作为学习分数除法的起点，苏教版教材则把分数除以整数（分子能整除）作为起点，而最简分数的相关内容安排在五年级学习．

二是，两种版本教材中例题的数量相差很多．康轩版共安排了6个板块的活动，共22个例题，如果不包括活动一“最简分数”的5个例题，也有17个例题，而苏教版教材共安排了4个例题，其中个别例题的“试一试”是例题的拓展，难度比例题大，这是苏教版教材的一个编排特点．

三是，内容编排顺序存在差异．具体而言，苏教版编排的4个例题是“分数除以整数”“整数除以几分之一”“整数除以几分之几”及“分数除以分数”，其具体展开方式如下．

例题1：

width=23，height=24.95，引导学生思考把4个width=10，height=24.95平均分成2份，又从语义的角度分析平均分成2份，就是每人喝width=10，height=24.95的width=10，height=24，