铁路曲线要素的测设.docx
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铁路曲线要素的测设
铁路曲线要素的测设、计算与精度分析
1-1圆曲线的测设
铁路线路平面曲线分为两种类型：
一种是圆曲线，主要用于专用线和行车速度不高的线路上；另一种是带有缓和曲线的圆曲线，铁路干线上均用此种曲线。
铁路曲线测设一般分两步进展，先测设曲线主点，然后依据主点详细测设曲线。
铁路曲线测设常用的方法有：
偏角法、切线支距法和极坐标法。
首先介绍圆曲线的测设方法。
一、圆曲线要素计算与主点测设
为了测设圆曲线的主点，要先计算出圆曲线的要素。
〔一〕圆曲线的主点
如图1所示：
图1
JD——交点，即两直线相交的点；
ZY——直圆点，按线路前进方向由直线进入圆曲线的分界点；
QZ——曲中点，为圆曲线的中点；
YZ——圆直点，按路线前进方向由圆曲线进入直线的分界点。
ZY、QZ、YZ三点称为圆曲线的主点。
〔二〕圆曲线要素及其计算
在图1中：
T——切线长，为交点至直圆点或圆直点的长度；
L——曲线长，即圆曲线的长度〔自ZY经QZ至YZ的圆弧长度〕；
E0——外矢距，为JD至QZ的距离。
T、L、E0称为圆曲线要素。
α——转向角。
沿线路前进方向，下一条直线段向左转那么为α左；向右转那么为α右。
R——圆曲线的半径。
α、R为计算曲线要素的必要资料，是值。
Α可由外业直接测出，亦可由纸上定线求得；R为设计时采用的数据。
圆曲线要素的计算公式，由图1得：
外线长T=R·tan
曲线长L=R·α·
〔1〕
外矢距E0=R〔sec
-1〕
式中计算L时，α以度为单位。
在α、R的条件下，即可按式〔1〕计算曲线要素。
它既可用计算器求得，亦可根据α、R由?
铁路曲线测设用表?
中查取。
〔三〕圆曲线主点里程计算
主点历程计算是根据计算出的曲线要素，由一点里程来推算，一般沿里程增加方向由ZY→QZ→YZ进展推算。
假设交点JD的里程，那么需先算出ZY或YZ的里程，由此推算其它主点的里程。
〔四〕主点的测设
在交点〔JD〕上安置经纬仪，瞄准直线Ⅰ方向上的一个转点，在视线方向上量取切线长T得ZY点，瞄准直线Ⅱ方向上一个转点，量T得YZ点；将视线转至内角平分线上量取E0，用盘左、盘右分中得QZ点。
在ZY、QZ、YZ点均要打方木桩，上钉小钉以示点位。
为保证主点的测设精度，以利曲线详细测设，切线长度应往返丈量，其相对较差不大于1/2000时，取其平均位置。
二、偏角法测设圆曲线
仅将曲线主点测设于地面上，还不能满足设计和施工的需要，为此应在两主点之间加测一些曲线点，这种工作称圆曲线的详细测设。
曲线上中桩间距宜为20m；假设地形平坦且曲线半径大于800m时，圆曲线内的中桩间距可为40m；且圆曲线的中桩里程宜为20m的整数倍。
在地形变化处或按设计需要应另加设桩，那么加桩宜设在整米处。
偏角法师曲线测设中最常用的方法。
偏角法测设曲线的原理
1.测设原理
偏角法实质上是一种方向距离交会法。
偏角即为弦切角。
偏角法测设曲线的原理是：
根据偏角和弦长交会出曲线点。
如图2，由ZY点拨偏角δ1方向与量出的弦长c1交于1点；拨偏角δ2与由1点量出的弦长c2交于2点；同样的方法可测出曲线上其他点。
2.弦长计算
铁路曲线半径一般很大，20m的圆弧长与相应的弦长相差很小，如R=450m时，弦弧差为2mm，两者的差值在距离丈量的容许误差范围内，因而通常情况下，可将20m的弦长当作弦长对待；只有当R≤400m时，测设中才考虑弦弧差的影响。
3.偏角计算
由几何学得知，曲线偏角等于其弦长所对圆心角的一半。
图2中，ZY～1点的曲线长为K，它所对的圆心角为φ=
，那么其相应的偏角为
（2）
式中，R为曲线半径；K为置镜点至测设点的曲线长。
假设测设点间曲线长相等，设第1点偏角为δ1，那么各点偏角依次为
……
由于?
测规?
规定，圆曲线的中桩里程宜为20m的整倍数，而通常在ZY、QZ、YZ附近的曲线点与主点间的曲线长缺乏20m，那么称其所对应的弦为分弦。
分弦所对应的偏角可按式〔2〕来计算。
测设曲线点的偏角，既可以按式〔2〕用计算器计算，亦可由?
铁路曲线测设表?
〔以下简称曲线表〕第三册第六表查取。
三、长弦偏角法测设圆曲线
利用光电测距仪配合带有编程功能的计算器来测设曲线，采用长弦偏角法最适宜，如图3。
知道了曲线点的测设里程，即测设的曲线长Li，即可进展计算。
其资料计算公式如下：
〔2〕
式中δi、ci为测设曲线点i的偏角与弦长。
测设时，将测距仪安置于ZY点上，以JD为后视0°00′00″方向，照准部旋转δi偏角，持镜者沿长弦视线方向移动，司镜人员用测距仪的跟踪测量法跟踪，当显示数字与弦长接近时，反光镜停下，正式测出斜距和竖直角，然后算出水平距离；当平距与弦长相差1m左右时，用2m的钢卷尺直接量距并钉下木板桩，再将反光镜安于木桩上来校核距离，与弦长相差1cm之内即可。
长弦偏角法不仅可以跨越地面上的障碍，而且精度高、速度快，是一种能适用于各种地形的测设方法。
四、切线支距法测设圆曲线
切线支距法，实质为直角坐标法。
它是以ZY或YZ为坐标原点；以过ZY〔或YZ〕的切线为x轴，切线的垂线为y轴。
x轴指向JD，y轴指向圆心o，如图4。
曲线点的测设坐标按下式计算：
〔4〕
式中，Li为曲线点i至ZY〔或YZ〕的曲线长。
Li一般定为10m、20m、……，R，即可计算出xi、yi。
亦可从曲线表第三册第九表中查取每10m一桩的〔Li-xi〕及yi值，如表1。
表1圆曲线切线支距
L
R=700
R=600
R=500
L-x
y
L-x
y
L-x
y
10
20
30
40
50
0.00
0.00
0.01
0.02
0.04
0.07
0.29
0.64
1.14
1.79
0.00
0.00
0.01
0.03
0.06
0.08
0.33
0.75
1.33
2.08
0.00
0.10
0.02
0.04
0.08
0.10
0.40
0.90
1.60
2.50
测设时从ZY或YZ开场,沿切线方向直接量出xi并钉桩；假设yi较小时，可用方向架直角器在xi点测设曲线点，当yi较大时，应在xi处安置经纬仪来测设。
假设使用曲线表，那么从ZY〔或YZ〕开场沿切线方向每丈量Li，应退回〔Li-xi〕钉桩来测设曲线点，如图5.
切线支距法简单，各曲线点相互独立，无测量误差累积。
但由于安置仪器次数多，速度较慢，同时检核条件较少，故一般适用于半径较大、y值较小的平坦地区曲线测设。
1-2缓和曲线的性质
一、缓和曲线的作用
当列车以高速由直线进入圆曲线时，就会产生离心力，危及该列车运行平安和影响旅客的舒适。
为此要使曲线外轨高些〔称超高〕，使列车产生一个内倾力
以抵消离心力的影响，见图6。
为了解决超高引起的外轨台阶式升降，需在直线与圆曲线间参加一段曲率半径逐渐变化的过渡曲线，这种曲线称缓和曲线。
另外，当列车由直线进入圆曲线时，由于惯性力的作用，使车轮对外轨内侧产生冲击力，为此，加设缓和曲线以减少冲击力。
再者，为防止通过曲线时，由于机车车辆转向架的原因，使轮轨产生侧向摩擦，圆曲线局部的轨距应加宽，这也需要在直线和圆曲线之间加设缓和曲线来过渡。
二、缓和曲线的性质
缓和曲线时直线与圆曲线间的一种过渡曲线。
它与直线分界处半径为∞，与圆曲线相接处半径与圆曲线半径R相等。
缓和曲线上任一点的曲率半径ρ与该点到曲线起点的长度成反比，如图7。
ρ∝
或ρ
=C〔5〕
式中，C是一个常数，称缓和曲线半径变更率。
当l=l0时，ρ=R，所以
Rl0=C〔6〕
式中，l0为缓和曲线总长。
ρl=C是缓和曲线的必要条件，实用中能满足这一条件的曲线可作为缓和曲线，如辐射螺旋线、三次抛物线等。
我国缓和曲线均采用辐射螺旋线。
三、缓和曲线方程式
按照ρl=C为必要条件导出的缓和曲线方程为：
〔7〕
根据测设要求的精度，实际应用中可将高次项舍去，并顾及到C=Rl0，那么上式变为
〔8〕
式中，x、y为缓和曲线上任一点的直角坐标，坐标原点为直缓点〔ZH〕或缓直点〔HZ〕；通过该点的缓和曲线切线为x轴，如图8。
l为缓和曲线上任一点P到ZH〔或HZ〕的曲线长；
l0为缓和曲线总长度。
当l=l0时，那么x=x0，y=y0，代入式〔8〕得：
〔9〕
式中，x0、y0为缓圆点〔HY〕或圆缓点〔YH〕的坐标。
四、缓和曲线的插入方法
缓和曲线是在不改变直线段方向和保持圆曲线半径不变的条件下，插入到直线段和圆曲线之间，如图9。
缓和曲线的一半长度处在原圆曲线范围内，另一半处在原直线段范围内，这样就使圆曲线沿垂直切线方向，向里移动距离p，圆心由O′移至O，显然
插入缓和曲线之后，使原来的圆曲线长度变短了。
插入缓和曲线之后，曲线主点有5个，它们是：
直缓点ZH、缓圆点HY、曲中点QZ、圆缓点YH及缓直点HZ。
五、缓和曲线常数的计算
β0、δ0、m、p、x0、y0等成为缓和曲线的常数。
其物理含意及集合关系由图10得知：
β0——缓和曲线的切线角，即HY〔或YH〕点的切线与ZH〔或HZ〕点切线的交角；亦即圆曲线一段延长局部所对应的圆心角。
δ0——缓和曲线的总偏角；
m——切垂距，即ZH〔或HZ〕到由圆心O向切线所作垂线垂足的距离；
p——圆曲线内移量，为垂线长与圆曲线半径R之差。
x0、y0的计算见市〔9〕，其它常数的计算公式如下：
〔10〕
下面我们推证式〔10〕中最常用的两个常数β0和δ0，见图10。
〔一〕求β0
设β为缓和曲线上任一点的切线角；ρ为该点的曲线曲率半径；l为该点至ZH点的缓和曲线长。
∵dβ=d
/ρ,将ρ
=R
0代入上式，那么dβ=
·d
/R
0
∴
当
=
0时，β=β0
那么
〔11〕
〔二〕求δ0
由图10得知，
∵δ0很小，故
将式〔9〕代入上式，并取至二次项，
∴
〔12〕
缓和曲线常数，亦可以R及l0为引数，由曲线表第三册第二表查取，如表2。
如，R=500m，l0=60m，由表2查得β0=3°26′16″，δ0=1°08′45″，m=29.996m，p=0.300m，x0=59.978m，y0=1.200m。
1-3缓和曲线连同圆曲线的测设
一、偏角法测设曲线
（一）曲线综合要素计算
由图9可知，曲线综合要素计算公式如下：
切线长
曲线长
外矢距E0=
切曲差q=2T-L
使用时，亦可依据R、α、l0由铁路曲线测设用表第一、二册第一表查取，该表格式如表12—16。
R=500表12—16综合要素
α
T
Δ
L
Δ
q
E0
Δ
L0=100m
28°00′
05
10
15
20
25
174.86
175.24
175.63
176.02
176.40
176.79
8
15
344.35
345.07
345.80
346.53
347.25
347.98
15
29
5.37
5.41
5.46
5.51
5.55
5.60
16.17
16.26
16.35
16.45
16.54
16.64
2
4
30
35
40
45
50
55
177.18
177.57
177.95
178.34
178.73
179.12
8
16
348.71
349.44
350.16
350.89
350.62
352.35
15
29
5.65
5.70
5.74
5.79
5.84
5.89
16.73
16.83
16.92
17.02
17.12
17.21
2
4
当l0≠100m时之校正数
线路等级
L0
ΔT
ΔL
Δq
ΔE0
Ⅰ、Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
专
专
专
130
90
80
70
60
40
30
20
+15.13
－5.04
－10.07
－15.10
－20.12
－30.17
－35.18
－40.19
+30.00
－10.00
－20.00
－30.00
－40.00
－60.00
－70.00
－80.00
+0.26
－0.08
－0.14
－0.20
－0.24
－0.34
－0.36
－0.38
+0.59
－0.16
－0.31
－0.44
－0.55
－0.72
－0.78
－0.83
（二）主点的里程计算与测设
1.主点里程计算
ZH里程为33+424.67，那么主点里程为
ZH33+424.67
+l060
HY33+484.67
+
－l094.82
QZ33+579.49
+
－l094.82
YH33+674.31
+l060
HZ33+734.31
〔校核〕
ZH33+424.67
+2T315.12
33+739.79
－q5.47
HZ33+734.32
2.主点的测设
主点ZH、HZ、QZ的测设方法与前述圆曲线主点测设方法一样；而缓圆点HY和圆缓点YH的测设通常采用切线支距法，见图12—27。
自ZH〔或HZ〕沿切线方向量取x0,打桩、钉小钉，然后将经纬仪架在该桩上，后视切线沿垂直方向量取y0，打桩、钉小钉，得HY〔或YH〕点。
为保证主点测设精度，角度要用测回法分中定点；距离应往返丈量，在限差以内取平均值。
〔三〕缓和曲线的详细测设
1.偏角计算
由图12—30得知，缓和曲线上任一点i的偏角为：
δ≈sinδ≈
（∵δ很小）
∵y=
（见式12—14）
∴δ=
〔12—20〕
又∵β=
∴δ=
故b=β－δ=2δ（12—22）
式中，δ为缓和曲线上任一点的正偏角，b为该点的反偏角。
同理可得，b0=2δ0（12—23）
由式〔12—22〕、式〔12—23〕得出结论〔a〕：
缓和曲线上任一点后视起点的反偏角，等于由起点测设该点正偏角的二倍。
在铁路设计中，缓和曲线长度均为10m的整数倍，为测设方便，一般每10m测设一点。
假设将缓和曲线等分为N段，那么各分段点的偏角之间有如下关系：
设δ1为第1点的偏角，δi为第i点的偏角，那么由式〔12—20〕可知，δi=
∴δ1：
δ2：
…：
δn=
（12—24）
由式〔12—24〕得出结论〔b〕：
偏角与测点到缓和曲线起点的曲线长度的平方成正比。
在等分的条件下，l2=2l1,l3=3l1,…,lN=Nl1,
故δ2=
·δ1，δ3=
·δ1，…，δn=N2δ1=δ0
∴δ1=
δ0（12—25）
由式〔12—25〕可得出结论〔c〕：
由缓和曲线的总偏角δ0，可求得缓和曲线上任一点的偏角δi。
δ0可由铁路曲线测设用表第三册第三表查取，亦可计算求得。
2.缓和曲线的测设方法
如图12—31，将经纬仪安置于ZH点，后视JD，将水平度盘安置在0°00′00″位置，转动照准部拨偏角δ0，校核HY点位，如在视线方向上，即可开场测设其它点。
依次拨δ1、δ2、……δn,量出点与点之间的弦长与相应视线相交，即可定出曲线点1、2、…。
在缓和曲线的测设中，亦应注意偏角的正拨与反拨的度盘安置方法。
〔四〕圆曲线的详细测设
加设缓和曲线之后圆曲线的测设，其关键是正确确定后视方向及读盘安置值。
如图12—31，经纬仪安置于HY点上，后视ZH，并将读盘度数安置为反偏角b0值〔正拨〕，倒转望远镜反拨圆曲线上第1′点的偏角δ1′，得相应曲线点，直至QZ。
另一半曲线，那么在YH点设站，以〔360°－b0〕来后视HZ，而倒镜后圆曲线为正拨偏角来测设。
为防止仪器视准误差的影响，也可以〔180°+b0〕后视ZH，平转照准部，当读盘度数为0°00′00″时，即为HY点的切线方向。
假设利用?
铁路曲线测设用表?
测设，为防止分弦偏角的累计计算工作，现场常把HY→1′的方向作为零方向，如图12—32，以b0+δ′1（δ1′为圆曲线上第1点的偏角）后视ZH点。
一．切线支距法测设曲线
（一）坐标计算公式
如图12—33，它是以ZH〔或HZ〕为坐标原点，以切线为x轴，垂直切线方向为y轴。
1.缓和曲线局部
x=l－
y=
2.圆曲线局部
xi=R·sinαi+m
yi=R（1－cosαi）+p
式中
实际应用时，切线支距亦可由?
铁路曲线测设用表?
第三册第九表中查取，其格式如表12—14。
（二）测设方法
与切线支距法测设圆曲线的方法一样〔见12—4—四〕
二．长弦偏角法测设曲线
由式〔12—25〕及式〔12—27〕可以按式〔12—28〕计算出曲线上任一点的弦长c及偏角δ，将测距仪安置于ZH〔或HZ〕点，即可进展曲线测设。
其中
弦长ci=
偏角δi=arctan
式中，xi、yi为曲线上任一点i的坐标。
偏角法有校核，适用于山区，但其缺点是误差积累，故测设时要注意经常检核。
支距法，其方法简单，误差不积累，其缺点是安置仪器次数多，曲线点相互独立，故测设中的错误不易发现，它仅适用于平坦地区及支距y较小的曲线。
长弦偏角法测设精度高、速度快、任何地区均可适用。
1-4、遇障碍时的曲线测设方法
一、偏角法遇障碍时曲线的测设
〔一〕圆曲线测设遇障碍
如图11，在圆曲线A安置经纬仪测设完1、2、3点，当测设4点时不通视，需要把仪器安置于3点上〔该店桩已钉小钉〕。
为了利用原先已算好的偏角资料，以0°00′00″后视A点，倒镜后直接拨偏角δ4，用钢尺量出弦长3～4与视线相交定出4点，同法可定出5、6……各点。
由以上测设方法得出结论：
经纬仪置于曲线上任一点，继续向前测设曲线点时，首先将度盘读数拨到所对后视点点号的偏角值，找准后视点，倒镜后，翻开照准部拨所测点的偏角值即可。
另一种测设方法如图12，以3点位测站，以〔360°—δ3〕后视A点，倒镜后，当度盘读数为0°00′00″时，其视线方向为3点的切线方向，再拨偏角δ3-4即可得到4点的方向，量弦长3～4与视线方向相交，即可得到4点；同法可定出5、6………等点。
由此得出结论：
经纬仪置于曲线上任一点，继续向前测设时，于度盘上安置测站至后视点间的偏角值，并照准后视点；倒镜后，松开照准部，拨测站至测设点间的偏角值，即可得到测设点的方向。
上述两种方法，可按照测试者的习惯来选用，其关键是正确计算后视点方向的度盘安置读数。
〔二〕缓和曲线测设遇障碍
因视线受阻，仪器安置于ZH〔或HZ〕点不能一次将缓和曲线上各分段点测设完，可将经纬仪安置于任一已测设的分段点上，继续向前测设。
如图13，B、T为缓和曲线上已测设的分段点〔已打桩钉钉〕，置镜于T得到，后视B点并使度盘安置为后视偏角δB,倒镜、松开照准部，反拨前视点F的前视偏角δF,在此视线上量距即可测得F点。
后视点和前视点的偏角，可按下式计算：
后视点偏角δB=δ1（T-B）（B+2T）
（13）
前视点偏角δF=δ1（F-T）（F+2T）
式中δ1为缓和曲线第一分段点的偏角，
；B、T、F分别为后视点、置镜点、前视点的分段点编号;l1=10m。
导证：
如图13
设l1为第1分段点的曲线长〔一般为10m〕，那么
B点距ZH点的曲线长
T点距ZH点的曲线长
F点距ZH点的曲线长
ΒT为测站T点的切线角。
在使用时，亦可按铁路曲线测设用表第三册第三表〔格式见表12〕，查取前、后视各点的偏角值。
二、控制点遇障碍时曲线的测设
〔一〕交点不能到达时的测设方法
当交点位于河流、深沟、建筑物中，或由于线路转向角过大使切线太长，交点不便测设，这时可用副交点法或导线法来测设副交点，以代替交点。
1.副交点法
如图12-37，交点JD10（C）位于河流中不能测设，因而转向角α也就无法直接测定。
此时可在直线I的适当位置选定一点A打桩钉钉，该点称副交点JD10-1；同法，可在直线II上选一点B与A点通视，且便于量距，称为副交点JD10-2。
测量α1、α2，并丈量AB的距离。
为保证精度，角度应用J2或J6经纬仪观测两个测回；距离应往返丈量，在限差内时取平均值。
由于转向角α=α1+α2;AC、BC的距离由AB按正弦定理推得。
根据R、α、l0即可计算曲线综合要素T、L、E0、q,并由此来测设主点ZH、HZ、QZ。
其方法为：
（1）置镜于A，后视直线Ⅰ上任一转点桩，在该方向上由A量取〔T-AC〕长度，即得ZH点；用同样方法，置镜于B点可测设出HZ点。
（2）因为CM=E0，θ=〔180°-α〕在ΔCAM中，根据AC、CM及θ，用余弦定理可求出AM长度，并由正弦定理求得∠CAM〔γ〕。
置镜于A，后视ZH，根据γ及AM可定出QZ〔M〕点。
QZ应用测回法分中定点，距离应往返丈量取平均值。
2.导线法
当地形复杂，两切线上的副交点不通视或相距较远时，可用导线将两个副交点联系起来，如图12—38。
实地测出导线各转折角及连接角A、B和导线边长。
以A为坐标原点，AC〔切线〕为x轴，那么αAC=0°00′00″；转向角α=αCB-αAC,即直线CB对的方位角为曲线的转向角。
根据计算出的导线点坐标，可以求得AC及BC长度，即
AC=xC=xB-
BC=
曲线综合要素计算和主点测设方法同副交点法。
〔二〕主点不能到达时的测设方法
1.在HY〔或YH〕上安置经纬仪测设
如图12—39，主点ZH〔或HZ〕位于水中不能测设，这时首先利用切线支距法由JD沿切线方向量出〔T-x0〕打桩钉钉，再由此桩与切线垂直方向量出y0打桩钉钉，得到HY〔或YH〕，然后将经纬仪安置在HY上，后视JD转ω角得到切线方向，即可测设曲线。
其中
ω=180-β0-arctan
2.利用极坐标法在曲线上设置控制点
如图12—40，当缓和曲线上有障碍物时，可由切线上的A点用极坐标测设曲线点B。
由B点里程可以得到B上的切线坐标xB、yB,从而可得到距离DAB和δA角
ΔA
将经纬仪安置于A点，后视JD，拨方向量出DAB，即得B点。
1-5测设的误差
曲线测设，首先是测定出主点，然后以主点为依据，由一个主点测设至另一个主点。
由于多方面因素的影响，导致产生闭合差，如图12—47，用偏角法由ZH测设至QZ点时，测定的QZ′点与主点QZ不重合，产生闭合差f。
将f在QZ′处分解为切线方向分量f纵，称纵向闭和差；和法线方向分量f横，称横向闭合差，以此来衡量曲线测设的精度。
一．曲线测设闭合差的规定
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铁路测量技术规那么?
规定，曲线闭合差限差为：
1.偏角法
纵向闭合差
〔l为两点间的曲线长〕；
横向闭合差10㎝。
2.极坐标法
点位误差±10㎝。
二、测设误差的分析
曲线测设都是先定出主点，然后详细测设曲线桩，分段闭合到
主点上作检核。
用偏角法测设曲线时，其闭合差既受主点测设精度的影响，又受详细测设时的误差影响。
主点测设的精度主要受到：
转向角测量的误差、切线丈量的精度、确定ZH及HZ时的定向误差、确定HY及YH时x0及y0的丈量精度及其定向误差、确定QZ时E0的丈量精度及分角线方向的测角误差等因素的影响。
详细测设曲线时的误差主要来自：
主点测设的精度、偏角
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