椭圆规范标准方程.docx
《椭圆规范标准方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆规范标准方程.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
椭圆规范标准方程
椭圆标准方程
【知识点】
知识点一椭圆的定义
（1）我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
（2）椭圆的定义用集合语言叙述为：
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}.
（3）2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
条件
结论
2a>|F1F2|
动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2|
动点的轨迹是线段F1F2
2a<|F1F2|
动点不存在，因此轨迹不存在
【问题一】在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定
10，如何求出点P的轨迹方程？
问题二】若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为
1.
椭圆标准方程的两种形式
焦点位置
标准方程
焦点
焦距
焦点在x轴上
（a>b
>0）
F1（－c，0），F2
2c
焦点在y轴上
（a>b>
0）
F1，F2（0，c）
2c
椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系
b2＝a2－c2
a，b，c的关系
根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标
22
y2x2
如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1（0，－1），F2（0，1），焦距|F1F2|＝2.54
类型一：
椭圆的定义
【例1】点P（－3，0）是圆C：
x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.
方程x2＋y2－6x－55＝0化标准形式为：
（x－3）2＋y2＝64，圆心为（3，0），半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆.
变式】若将本例中圆C的方程改为：
x2＋y2－6x＝0且点P（－3，0）为其外一定点，动圆M与已知圆C
相外切且过P点，求动圆圆心M的轨迹方程.
设M（x，y），据题，圆C：
（x－3）2＋y2＝9，圆心C（3，0），半径r＝3.由|MC|＝|MP|＋r，故|MC|－|MP|＝r＝3，
①2<2，故点P的轨迹不存在；①因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；①到定点
F1F2的垂直平分线（y轴）.
F1（－3，0），F2（3，0）的距离相等的点的轨迹是线段
类型二：
求椭圆的标准方程
命题角度1用待定系数法求椭圆的标准方程
111
【例2】求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P（3，3），Q（0，－2）的椭圆的标准方程
332
xy2方法一①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为2＋2＝1（a>b>0）.
a2b2
a2
b2
＝1，
a2
1
5，
依题意有
解得
0＋
b2
＝1，
由a>b>0知不合题意，故舍去
y2x2
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为2＋2＝1（a>b>0）.
a2b2
b2
＝1，
a2
1
4，
依题意有
解得
1
b2＝.
5
1
2
2
2＋0＝1，a2
所以所求椭圆的标准方程为
y2x2
＋＝1.
11
45
方法
设椭圆的方程为
mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n）
11
m＋n＝1，
99
则
1
4n＝1，
m＝5，
解得
n＝4.
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
y2x2
故椭圆的标准方程为＋＝1.
11
45
x2y2
变式】求与椭圆25＋9＝1有相同焦点，且过点
的椭圆方程
据题可设其方程为
22
x2y2
＋＝1（λ>－9），
λ9＋λ
又椭圆过点（3，15），将此点代入椭圆方程，得λ＝11（λ＝x2y2
故所求的椭圆方程为＋＝1.
3620
21舍去），
总结：
（1）若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2
＝1（m≠n，m>0，n>0）.
x2y2x2y2y2x2
（2）与椭圆2＋2＝1（a>b>0）有公共焦点的椭圆方程为2＋2＝1（a>b>0，b2>－λ），与椭圆2＋2
a2b2a2＋λb2＋λa2b2
y2x2
＝1（a>b>0）有公共焦点的椭圆方程为a2＋λ＋b2＋λ＝1（a>b>0，b2>－λ）.
【变式2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）椭圆的两个焦点坐标分别为F1（－4，0），F2（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；x2y2
解：
设其标准方程为a2＋b2＝1（a>b>0）.
据题2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，
x2y2∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
259
设椭圆的一般方程为
2）椭圆过点（3，2），（5，1）；
Ax2＋By2＝1（A>0，B>0，A≠B），
x2y2
故所求椭圆的标准方程为91＋91＝1.
3）椭圆的焦点在x轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）.
x2y2解：
设椭圆的标准方程为2＋2＝1（a>b>0）.
a2b2
命题角度2用定义法求椭圆的标准方程
【例3】已知一动圆M与圆C1：
（x＋3）2＋y2＝1外切，与圆C2：
（x－3）2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程.
据题C1（－3，0），r1＝1，C2（3，0），r2＝9，
设M（x，y），半径为R，
则|MC1|＝1＋R，|MC2|＝9－R，
故|MC1|＋|MC2|＝10，
据椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2＝16.
22x2y2故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.
2516
总结：
用定义法求椭圆标准方程的思路：
先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合
椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值.
【变式3】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点
轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程
设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝25.即a＝5.
由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴
60在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝，
9
510∴c2＝，∴b2＝a2－c2＝.
33
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，
x23y23x2y2
故所求的椭圆方程为5＋10＝1或10＋5＝1.
类型三:
椭圆中焦点三角形问题
，求△F1PF2的面积.
y2x2
例4】已知P是椭圆＋=1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30
54
解：
由椭圆的标准方程，知a＝5，b＝2，
∴c＝a2－b2＝1，∴|F1F2|＝2.
又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝25.
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，
即4＝（|PF1|＋|PF2|）2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos30°，
即4＝20－（2＋3）|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16（2－
S△F1PF2＝1|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝1×16（2
x2y2
例5】已知椭圆9＋2＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上.若|PF1|＝4，求∠F1PF2的大小.
92
x2y2
解：
由9＋2＝1，知a＝3，b＝
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
∴cos∠F1PF2＝
|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2
2|PF1|·|PF2|
1
2，
∴∠F1PF2＝120
22
x2y2
变式】
（1）在椭圆C：
2＋2＝1（a>b>0）的焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝α，点P的坐标为（x0，y0），a2b2
求证：
△PF1F2的面积S△PF1F2＝c|y0|＝b2tan
x2y2
（2）已知椭圆的方程为4＋3＝1，椭圆上有一点
P满足∠PF1F2＝90°（如图）.求△PF1F2的面积.
1
1）S△PF1F2＝2|F1F2||y0|＝c|y0|.
在①PF1F2中，根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a.
两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2.①
根据余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosα＝4c2.①
2b2
所以|PF1||PF2|＝
1＋cosα
112b2
根据三角形的面积公式，得＝|PF1||PF2|sinα＝··sin
221＋cosα
sinαα＝b2·.
1＋cosα
αα
2sincos
sinα22又因为＝
1＋cosαα
2cos2
2
sin2
＝tan
α2cos
2
α
所以S△PF1F2＝b2tan2.
（2）由已知得a＝2，b＝3，
所以c＝a2－b2＝4－3＝1.
从而|F1F2|＝2c＝2.
在①PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4.
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|.
3
从而有（4－|PF1|）2＝|PF1|2＋4.解得|PF1|＝.
11333
所以△PF1F2的面积S＝|PF1|·|F1F2|＝××2＝，即△PF1F2的面积是.
22222
总结：
（1）如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系
xOy.
（2）设点：
设点M（x，y）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1（－c，0），F2（c，0）.
（3）列式：
依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，
并将其坐标化为x＋c2＋y2＋x－c2＋y2＝2a.①
（4）化简：
通过移项、两次平方后得到：
（a2－c2）x2＋a2y2＝a2（a2－c2），为使方程简单、对称、便于记忆，
x2y2
引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为2＋2＝1（a>b>0）.②
a2b2
知识点椭圆标准方程的认识与推导【问题1】椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？
标准方程的几何特征：
椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．
xy标准方程的代数特征：
方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值．
ab
【问题2】依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？
把方程化为标准形式，与x2，y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．
【问题3】观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？
并写出求解过程．
（1）如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.
（2）设点：
设点M（x，y）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1（－c,0），F2（c,0）．
（3）列式：
依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为x＋c2＋y2＋x－c2＋y2＝2a.
①
（4）化简：
通过移项、两次平方后得到：
（a2－c2）x2＋a2y2＝a2（a2－c2），为使方程简单、对称、便于记忆，
x2y2
引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为2＋2＝1（a>b>0）．②
a2b2
（5）从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解（x，y）为坐标的点到椭圆的
两个焦点F1（－c，0），F2（c,0）的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．
焦点位置
形状、
大小
焦点坐标
标准方程
焦点在x轴上
F1（－c,0），
x2y2
＋＝a2＋b2＝
形状、大小相同
a>b>0，b2＝
F2（c,0）
1（a>b>0）
焦点在y轴上
a2－c2，焦距为
2c
F1（0，－c），
22
y2x2
＋＝
a2＋b2＝
F2（0，c）
1（a>b>0）
（2）方程Ax2＋By2＝1表示椭圆的充要条件是___A>0，B>0且A≠B
（3）椭圆方程中参数a，b，c之间的关系为a2＝b2＋c2．
类型一椭圆标准方程的确定
例1求焦点在坐标轴上，且经过A（3，－2）和B（－23，1）两点的椭圆的标准方程．解方法一
（1）当焦点在x轴上时，
x2y2
设椭圆的标准方程为2＋2＝1（a>b>0），
a2b2
32－22
2＋2＝1，a2b2
依题意有
－23212
2＋2＝1，a2b2
a2＝15，
解得b2＝5.
x2y2
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
155
（2）当焦点在y轴上时，
a>b>0），
依题意有
12
2＋2＝1，
a2b2
a2＝5，解得b2＝15.
此时不符合a>b>0，所以方程组无解．
x2y2故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
155
定要结
反思与感悟求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置．
变式1】求适合下列条件的椭圆的标准方程．
35
（1）两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0,2），并且椭圆经过点（－2，2）；
（2）焦点在y轴上，且经过两点（0,2）和（1,0）．
解
（1）∵椭圆的焦点在y轴上，
y2x2
∴设它的标准方程为2＋2＝1（a>b>0）．
a2b2
由椭圆的定义知：
又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6.
y2x2∴所求的椭圆的标准方程为＋＝1.
106
（2）∵椭圆的焦点在y轴上，
22
y2x2
∴设它的标准方程为2＋2＝1（a>b>0）．
a2b2
又椭圆经过点（0,2）和（1,0），
40
01
＋＝1，a2＋b2＝1，
∴所求的椭圆的标准方程为
y2＋x2＝1.
4
类型二相关点法在求解椭圆方程中的应用例2如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为
垂足．当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹．解设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），
y0
则x＝x0，y＝2.因为点P（x0，y0）在圆x2＋y2＝4上，所以x02＋y02＝4.①
把x0＝x，y0＝2y代入方程①，
x2
得x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.
4
所以点M的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆．
反思与感悟如果一个动点P随着另一个在已知曲线上运动的动点Q而运动，则求P点的轨迹方程时一般
用转代法来求解．基本步骤为
（1）设点：
设所求轨迹上动点坐标为P（x，y），已知曲线上动点坐标为Q（x1，y1）．
x1＝gx，y，
（2）求关系式：
用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式
y1＝hx，y.
（3）代换：
将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．
跟踪训练2如图所示，B点坐标为（2,0），P是以O为圆心的单位圆上的动点，的平分线交直线PB于点Q，求点Q的轨迹方程．
解由三角形角平分线性质得||BQQP||＝||OOPB||＝2.∴B→Q＝2Q→P.
x－2＝2x0－2x，设Q（x，y），P（x0，y0），则（x－2，y）＝2（x0－x，y0－y），∴
y＝2y0－2y，
∠POB
3x－2
x0＝
2
3y
y0＝.
2
又∵点P在单位圆x2＋y2＝1上．
3x－23
∴
（2）2＋（2y）2＝1.
3x－229
∴点Q的轨迹方程为4＋4y2＝1.
升级会员 