公共基础公式总结.docx
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公共基础公式总结
前言
这套公式大全从根据历年真题中总结而来，全部出自真题。
虽然不是很全，
但应该很有效率！
胆子大的童鞋，可以直接背我这 8 页公式。
胆子小的，就自
己去书海里面去淘吧。
。
高等数学
i
j
k
1. 两平面的交线的方向向量：
s = a ⨯ b = ax a y az
bx by bz
2. 曲线 C 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 f （）= 0
3.
∂（ϕA）
∂z
=
∂ϕ
∂z
A +
∂A
∂z
ϕ
4. A =
∂ 2 z
2
， B =
∂ 2 z
∂x∂y
， C =
∂ 2 z
2
， AC - B 2 > 0 ，是极值点， AC - B 2 < 0 ，不是极值点
5. lim
x→0
sin x
x
x
= 1 ， limç1 + ⎪ = e
x→∞
6.
μ
x μ+1
μ + 1
+ C（μ ≠ -1）
7.
⎰
dx
1 - x 2
= arcsin x + C
8.
dx
2
x
= ⎰ sec2 xdx = tan x + C
9. ⎰
dx
sin 2 x
= ⎰ csc2 xdx = - cot x + C
10.
x
a x
ln a
+ C
11.
⎰
1
x
dx = 2 x
12.
1
2
dx = -
1
x
13.
2 1
1 / 8
14.
）
⎰⎰ f （x, y dxdy = ⎰⎰ f （ρ cosθ , ρ sinθ ）ρdρdθ
D D
15. 当
1
2
< x < 1时，于是有 ln x < sin x < x 。
16. 椭圆抛物面方程 x 2 + y 2 = z ，圆锥面方程 x 2 + y 2 = z 2 。
b
a
2
∞
n=1
a
1 - q
，当 q ≥ 1 时，级数发散。
19. 公比为 q 首项为 a 的等比级数，当 - 1 < q < 1 时级数收敛，且和为
∞
1
1 - x
n=0
∞
x
，
n=0 n!
∞
，当 p > 1 时，级数收敛。
p
- P（x）dx ⎡
⎥⎦
24. 一对共轭复根 r1,2 = α ± iβ ，通解为 y = eαx （C1 cos βx + C2 sin βx）
线性代数
a
1 - q
。
a
若α ， β ， γ 三线共面，则三条线的方向向量 d
g
b
e
h
c
f = 0 。
i
概率论
1. 当 X 为连续型随机变量时，如果 X 的概率密度函数为 p（x），那么规定 X 的数学期望为
+∞
-∞
2
2 / 8
3. 正态分布 p（x）=
1
2π σ
e
-
（x-μ ）2
2σ 2
，其 EX = μ ， DX = σ 2
4. 当 X 服从参数为 a 、 b 的均匀分布时， E（X ）=
1
2
（a + b）， D（X ）= 1 （b - a）2 ；
12
5. 当 X 服从参数为 λ 的指数分布时， E（X ）=
1
λ
1
λ
2
物理
⎛ σ 2
n
⎫
⎭
1. 理想气体状态方程 pV =
m
M
RT 。
3. 理想气体的压强公式 P =nmv 2
2. 理想气体单位体积内的分子数为：
n =
1
3
p
kT
4. 单原子分子的平均能量为 ε =
3
2
kT ，刚性双原子分子的平均能量为 ε =
5
2
kT ，刚性多原子
分子的平均能量为 ε =
6
2
kT 。
5. ∆E = Q - A ，Q 为气体吸热，A 为气体对外做功。
6. 速率在 v1 ~ v2
v
7. 波长 λ =
f
区间内分子的平均速率 v 表达式为：
v2
v1
v2
v1
8. 波动方程基本关系：
y = A cos（Bt - Cx）= A cos 2π
⎛
ç
ç
-
⎫
⎪
⎛ t
⎝ T
-
x ⎫
λ ⎭
⎛
ç
⎝
⎫
⎪
，则波速 u =
B
C ，
u =
λ
T
3 / 8
I
10. 声强级的定义 I L = lg
I 0
11. 双缝干涉条纹间距 ∆x =
D
d
λ 。
D 为双缝与屏幕之间的距离， d 为两缝间距离。
12. 双缝干涉中光程差 δ = n（r2 - r1 ）
13. 劈尖条纹间距公式：
l =
14. 由迈克尔逊干涉当条纹移动 N 条，则可动反射镜移动的距离为：
∆x = N ⋅
15. 单缝衍射暗纹计算公式：
a sin ϕ = ±kλ ， a 为单缝宽度， k 暗纹级数。
λ
2
16. 夫琅禾费衍射，中央明条纹宽度为 l0 = 2x1 =
度的两倍。
17. 衍射光栅明条纹形成条件：
d sin ϕ = ±kλ ；
18. 谱线重叠满足：
k1λ1 = k2λ2
19. X 射线衍射-布拉格公式 2d sinθ = kλ
n2
20. 布儒斯特定律：
tan i0 =
n1
2 fλ
a
，中央明条纹的宽度是其他各级明纹宽
21. 第一个偏振片为起偏振器，自然光通过起偏振器后成为偏振光，光强为自然光强度的
1/2，即 I1 =
1
2
I 0 。
由马吕斯定律， I 2 = I1 cos2 θ 。
22. 声波的多普勒效应公式：
ν / =
u ± V0
u mVS
ν 0
1. 电离平衡常数计算式：
K Θ （NH 3 ）=
+ -
4
化学
2. α =
K Θ
c
， K Θ = cα 2 ， c 为一元弱酸的起始浓度； K Θ 为电离常数；α 为电离度。
3. 溶解度公式：
c（Mg
2+
）=
c OH -1
K sp
2
4 / 8
Θ
4. 能斯特方程：
E氧化态 / 还原态 = E氧化态 / 还原态 +
0.059
n
lg
[
[氧化态]
还原态]
6. K p 为压力平衡常数， Kc 为浓度平衡常数， K p = K c ⋅ （RT ）
5. 吉布斯-亥姆霍茨公式：
∆G = ∆H - T∆S
对 ∆H < 0 ， ∆S > 0 的反应，不管温度高低， ∆G 总小于 0，反应能自发进行。
对 ∆H > 0 ， ∆S < 0 的反应，不管温度高低， ∆G 总大于 0，反应都不能自发进行。
当 ∆H < 0 ， ∆S < 0 时，低温趋向 ∆G < 0 ，正向自发，高温趋向 ∆G > 0 ，正向非自发。
∆n
7. 标准常数 ln K θ = -
θ
∆ r Gm
2.303RT
。
12 l ；以其一端为
轴的转动惯量为 J =ml 2 。
理论力学
1. 等截面均质细杆，长为 l ，质量为 m ，以其质心为轴的转动惯量为 J =
1
3
m 2
2. 等厚均质薄圆板，半径为 R ，质量为 m ，以其质心为轴的转动惯量为 J C =
1
2
mR 2
3. 圆盘转动：
v = Rω 、ατ = Ra 、 aτ =
dv
dt
、 an =
v 2
R
、α n = Rω 2 、 a = a2 + an 、 a 为角加
速度。
材料力学
1. 名义剪应力τ =
Q
AQ
2. 剪切胡克定律τ = Gγ ，τ 为剪应力、 G 为材料的剪切弹性模量、 γ 为剪应变。
3. 圆杆扭转时的最大切应力τ max =
M T
Wt
=
M T
π
16 d
3
，其中抗扭截面系数Wt =
πd 3
16
。
或者也可以
表示为τ max =
θGd
2
（这个公式建立了切应力与扭转角之间的关系）
4. 圆轴扭转角θ =
M T L
GI P
， I p =
π
5 / 8
5. 圆形的惯性矩 I =
πd 4
64 ，
矩形的惯性矩 I =
ba3
12 ，
正方形的惯性矩 I z，正 =
a 4
12
6. 直径为 d 的圆形对其形心轴的惯性半径 i 等于 i = iy = iz =
I z
A
7. 极惯性矩的值恒等于以该点为原点的任一对坐标轴的轴惯性矩之和，即 I p = I y + I z 。
8. 圆轴的抗弯截面系数W =
πd 3
32
，矩形杆的抗弯截面系数W =
bh 2
6
。
9. 根据公式梁的弯曲曲率
1
ρ
=
M
EI
，可知曲率与弯矩成正比，故曲率的最大值发生在弯矩最
大的截面上。
10. 主应力最大值σ max =
11. 主应力最小值σ min =
σ x + σ y
2
σ x + σ y
2
⎛ σ x - σ y
2
⎛ σ x - σ y
2
2
⎭
2
⎭
12. 斜截面上切应力：
τ α =
σ x - σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α ；
13. 圆轴半径变为 2 倍，则其最大剪切力变为τ 2max =
π
16
T
（2d ）
=
1 T
8 π d 3
16
1
8
转角变为ϕ2 =
G
Tl
π
32
=
1 Tl
16 G π d 4
32
=
1
16
φ1 。
π 2 EI
14. 细长压杆的临界力公式：
Pcr =
（μL）2
15. 两端铰支，长度系数 μ = 1
一端自由、一端固定，长度系数 μ = 2
一端铰支、一端固定，长度系数 μ = 0.7
16. 跨中承受集中力的简支梁的最大挠度为 C 点， f c =
6 / 8
Fl 3
48EI
与惯性矩 I 成反比
17. 悬臂梁的挠度公式 f =
Pl 3
3EI
19. 移轴定理：
I z = ⎰ y dA = ⎰ y 2d （yb）
18. 悬臂梁自由端承受集中力偶 M ，则梁挠度 f =
B
2
A
20. 圆轴承受的扭矩：
T = GγWP
Ml 2
2EI
流体力学
1. 毕托管测流速公式 u A =2g
∆p
ρg
= 2g
（ρ水 - ρ油 ）g∆h
gρ水
2. 保持流体的层流流体要求雷诺数 Re =
3. 曼宁公式 C =
R
n
ud
υ
≤ 2000
4. 比阻 s =
8λ
gπ 2d 5
，即单位流量通过单位长度管道所需的水头。
8λL2
5. 并联管段流量比等于该二管段阻抗反比的平方根，即
Q1
Q2
=
S2
S1
=
π 2 gd 2
8λL1
π 2 gd1
，或者
Q2⎝ d 2 ⎭Q2
5
Q ⎛ d ⎫ 2 Q
L2
L1
。
6. 渗透系数 K =
Q
AJ
，A 是面积，注：
J =
H
h
⨯ 总秒数
7. 井的影响半径 R = 3000S k ，式中 S = H - h 为井中水位降深，渗流系数 k 以 m / s 计。
8. 潜水完全井产水量公式：
Q = πk
2
ln
- h 2
R
r0
）
10. 流速 v =
Rγ
d
，流量 Q = vA 。
⎡
⎢ ⎝ r0
⎫
⎭
2
⎤
⎥
⎥
7 / 8
11. 水闸铅垂分力 Py = ρgV p
12. 保持层流的最大流速是 vk =
Rekγ
d ，
Rek = 2000
13. 紊流附加切应力：
τ 2 = -ρ μ x μ y
14. 自由出流管 H =
αv 2
2g
+ hw =
αv 2
2g
⎛ L
⎝ d
2
+ ζ ⎪
⎭ 2g
15. 汇流水管连续性方程
（1）：
Re1⋅ γ
d1
⨯
π 2
4
Re2 ⋅ γ
d 2
⨯
4
16. 汇流水管连续性方程
（2）：
Q = A1v1 + A2v2 = A3v3
17. 模型的长度比尺
/
qv
qv
= kl2.5
1. 三相异步电动机的额定转矩 TN =
PN
2πnN
60
电工电子
P
nN
（
2. 三相交流异步电动机的转速 n = 1 - s）
-n
60 f1
p
工程经济
1 + i）n - 1
2. 等额年金现值公式：
P = A
n
i（1 + i）n
3. 等额支付资金回收公式 A = P
（1 + i）n - 1
i
4. 插值法求内部收益率：
IRR = i1 + （ 2 - i1 ）
NPV1
NPV1 - NPV2
。
（
5. 资金成本率 ke = Re 1 - T ）。
其中 ke 为资金成本率， Re 为年利率， T 为所得税率。
6. 盈亏平衡点的销售收入 S = PN = P ⋅
CF
P - CN
8 / 8
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