第十七章人教版勾股定理教案.docx

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第十七章人教版勾股定理教案

第十七章勾股定理

（一）教材所处的地位

教材分析：

本章是人教版《数学》八年级下册第17章，本章的主要内容是勾股定理及勾股定理的应用，教材从实践探索入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形的勾股定理，介绍勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），最后介绍勾股定理及勾股定理逆定理的广泛应用。

勾股定理是直角三角形的一个很重要的性质，反映了直角三角形三边之间的数量关系。

在理论和实践上都有广泛的应用。

勾股定理逆定理是判定一个三角形是不是直角三角形的一种古老而实用的方法。

在“四边形”和“解直角三角形”相关章节中，勾股定理知识将得到更重要的应用。

（二）单元教学目标（包括情感目标）

知识与技能目标：

1、经历由情境引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力。

2、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，会运用勾股定理解决相关问题。

3、掌握勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），会运用勾股定理逆定理解决相关问题。

4、运用勾股定理及其逆宣解决简单的实际问题。

情感与态度目标：

5、感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。

（三）单元教学重难点

教学重点：

1、探索勾股定理并掌握勾股定理；

2、直角三角形的判定方法（勾股定理的逆定理）；

3、勾股定理及其逆定理的应用；

教学难点：

1、从多个角度（代数、几何）探究勾股定理；

2、勾股定理逆定理的应用；

3、在勾股定理的应用过程中构造适用勾股定理的几何模型。

（四）单元教学策略

1、学时安排

全章教学时间为9课时，建议分配如下：

§17.1勾股定理--------------------3课时

§14.2勾股定理的逆定理--------------3课时

复习-------------------------------2课时

2、教学步骤：

①整个章节的教学可分四步：

探索结论——验证结论——初步应用结论——应用结论解决实际问题。

②在探索结论阶段，应调动学生的积极性，让学生充分参与。

③初步应用结论阶段的重点是让学生明确：

在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。

④应用结论解决实际问题分两类：

探索性问题和应用性问题。

3、实施建议

①注重使经历探索勾股定理等过程

　　本章从实践探索入手，创设学习情境，研究直角三角形的勾股定理及它的逆定理，并运用于解决一些简单的数学问题与实际问题。

在整个学习过程中应注意培养学生的自主探索精神，提高合作交流能力和解决实际问题的能力。

②注重创设丰富现实情境体现勾股定理及其逆定理广泛应用；

本章从勾股定理的探索就来源于生活，而本章勾股定理的应用又直接应用于生活。

因此，在探索、验证、应用等各阶段都应更多地设置与生活密切联系的现实情境，使学生能根据生活经验和情境类比较好地进行勾股定理应用的建模过程。

教学时可更多地利用多媒体辅助教学手段以丰富课堂教学。

③尽可能地介绍有关勾股定理体现其价值

与勾股定理有关的背景知识丰富，在教学中，应注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理的丰富文化内涵，激发学生的学习兴趣。

17.1勾股定理

（1）

年级：

八年级科目：

数学主备人：

王珊琴

课型：

新授课授课时间：

累计课时：

教学目标：

知识与技能：

了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.

过程与方法：

经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.

情感态度与价值观：

通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

教学重点：

：

知道勾股定理的结果，并能运用于解题

教学难点：

体会数形结合的思想，并能迁移

教学方法：

创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论

教学手段：

多媒体、三角尺

教学过程：

一、课堂导入：

问题1、同学们，知道勾股定理的内容吗？

会用面积法证明勾股定理吗？

能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用吗？

.

看书、讨论归纳总结得出结论

二、合作探究：

1、议一议：

画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

当学生量出AB的长为5cm时提问：

为什么呢？

看书、讨论归纳总结得出结论

2、例1已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：

4S△+S小正=S大正

4×

ab＋（b－a）2=c2，化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明小结：

命题1：

如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b.斜边长为c。

那么

三、交流展示：

勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

、同学们，试一试？

3、例2已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=4×

ab＋c2

右边S=（a+b）2

左边和右边面积相等，即

4×

ab＋c2=（a+b）2化简可证。

这样就证明了命题1的正确性我国把它叫勾股定理

四、归纳小结：

什么叫勾股定理？

怎样证明？

五、作业布置：

P281、2、3

板书设计：

17.1勾股定理

（1）

例1例2命题1：

小结：

教学反思：

17.1勾股定理

（2）

年级：

八年级科目：

数学主备人：

王珊琴

课型：

新授课授课时间：

累计课时：

教学目标：

知识与技能：

1、掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，

2、能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.

过程与方法：

1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,

2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.树立数形结合的思想、分类讨论思想

情感态度与价值观：

通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

教学重点：

勾股定理的简单计算。

教学难点：

勾股定理的灵活运用。

教学方法：

创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论

教学过程：

一课堂导入：

问题1、什么叫勾股定理？

怎样证明？

二、合作探究：

1、议一议：

看书、讨论归纳解题方法：

怎样用勾股定理来求Rt△的边呢？

小组讨论、分组发言、订正或举例说明

三、交流展示：

例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2,求b。

⑶已知c=17,b=8,求a。

⑷已知a：

b=1：

2,c=5,求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

分析：

刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。

⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。

⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。

通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

分析：

已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。

让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：

如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。

⑵求S△ABC。

分析：

勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要

创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做

法。

欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，

但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=

AB=3cm，则此题可解。

四、归纳小结：

用勾股定理计算时，要先画好图形，并标好图形，理清边之间的关系，之后灵活运用勾股定理计算。

五、作业布置：

P285、7

板书设计：

17.1勾股定理

（2）

命题1：

例1

例2小结：

教学反思：

课题：

17.1勾股定理（3）

年级：

八年级科目：

数学主备人：

王珊琴

课型：

新授课授课时间：

累计课时：

教学目标：

知识与技能：

1．掌握勾股定理的内容，会用勾股定理解决简单的实际问题。

2．树立数形结合的思想。

过程与方法：

1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,

2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.树立数形结合的思想、分类讨论思想

情感态度与价值观：

通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

教学重点：

勾股定理的简单计算。

勾股定理的应用。

教学难点：

勾股定理的灵活运用。

实际问题向数学问题的转化。

教学方法：

创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论

教学过程：

一课堂导入：

问题1、什么叫勾股定理？

怎样证明？

问题2、如何将实际问题转化为数学问题，之后用勾股定理解决实际问题呢？

注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。

二、合作探究：

1、议一议：

看书、讨论归纳解题方法p25例1、例2

勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。

勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？

试一试。

三、交流展示：

例1（教材P25）一个门框的尺寸如图，一块长3米、宽2.2米的长方形薄木板能否从门框内通过？

为什么？

分析：

⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。

⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？

图中标字母的线段哪条最长？

⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？

⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。

⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。

明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。

例2（教材P25）一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米，如果梯子的顶端A沿强下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？

分析：

⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。

（2）在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。

则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。

⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD

四、归纳小结：

1、用勾股定理计算时，要先画好图形，并标好图形，理清边之间的关系，之后灵活运用勾股定理计算。

2、注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。

五、作业布置：

P288、9

板书设计：

勾股定理（3）

勾股定理例1

例2小结：

教学反思：

课题：

17.2勾股定理的逆定理

（1）

年级：

八年级科目：

数学主备人：

王珊琴

课型：

新授课授课时间：

累计课时：

教学目标：

知识与技能：

1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

过程与方法：

1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,

2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.树立数形结合的思想、分类讨论思想

情感态度与价值观：

通过对勾股定理的逆定理的证明的探究，．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

教学重点：

勾股定理的逆定理，原命题、逆命题、逆定理的概念及关系

教学难点：

勾股定理的逆定理的证明方法，

教学方法：

创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论

教学过程：

一课堂导入：

问题1、什么叫勾股定理？

如果把命题一的题设和结论互换，会得到什么命题呢？

讨论、交流、得出命题二

二、合作探究：

1、议一议：

同学们想一想：

命题一命题二有什么关系？

看书、讨论归纳p31...32

三、交流展示：

2、同学们：

原命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系？

讨论、归纳。

分小组发言，教师订正

3、同学们：

看书p32面的内容后，你能证明命题二是真命题吗？

动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合。

得出结论。

勾股定理的逆定理：

............................................

例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

分析：

⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。

例2（补充）已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）求证：

∠C=90°。

分析：

⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：

①先判断那条边最大。

②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。

③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。

根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。

⑶由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。

四、归纳小结：

1、命题一命题二2勾股定理、勾股定理的逆定理

3、原命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系

五、当堂训练：

一、必作题：

1．判断题。

⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。

⑵命题：

“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。

”的逆命题是真命题。

⑶勾股定理的逆定理是：

如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

⑷△ABC的三边之比是1：

1：

，则△ABC是直角三角形。

2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）

A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。

B．如果c2=b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。

C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。

D．如果∠A：

∠B：

∠C=5：

2：

3，则△ABC是直角三角形。

二、选做题：

3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）

A．a=8，b=15，c=17B．a=9，b=12，c=15

C．a=

，b=

，c=

D．a：

b：

c=2：

3：

4

4．已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？

并指出那一个角是直角？

1、a=

，b=

，c=

；2、a=5，b=

，c=1。

六、作业布置:

P341、2

板书设计：

勾股定理的逆定理

（1）

命题1：

命题2：

勾股定理、勾股定理的逆定理

例1例2小结：

教学反思：

17.2勾股定理的逆定理

（2）

年级：

八年级科目：

数学主备人：

王珊琴

课型：

新授课授课时间：

累计课时：

教学目标：

知识与技能：

1、掌握勾股定理的逆定理。

2、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

3、进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

过程与方法：

1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,

2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.树立数形结合的思想、分类讨论思想

情感态度与价值观：

、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

教学重点：

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

教学难点：

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

教学方法：

创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论

教学过程：

一课堂导入：

问题1、什么叫勾股定理？

勾股定理的逆定理？

怎样灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题呢？

在前面我们以经学习过，今天我们继续学习，灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

二、合作探究：

1、议一议

例1（P32）判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：

1、a=15、b=8、c=17

2、a=13、b=14、c=15

分析：

根据勾股定理及逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方。

看书p32、讨论归纳理解例1解题方法。

了解勾股数。

三、交流展示：

例2课本（P33例2）

分析：

⑴了解方位角，及方位名词；

⑵依题意画出图形；

⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30；

⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90

⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。

小结：

让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

例3（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

分析：

⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；

⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。

解略。

例2、例3两题分小组讨论，小组发言，后全班展示

四、归纳小结：

1、勾股定理及逆定理

2、养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识

3、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

五、当堂训练：

一、必作题：

一、填空

1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

2．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。

六、作业布置：

P345、6

教学反思：

勾股定理复习

年级：

八年级科目：

数学主备人：

王珊琴

课型：

复习课授课时间：

累计课时：

教学目标：

知识与技能：

1、复习勾股定理和勾股定理的逆定理，

2、能进行相应的计算，并能在实际问题中应用。

3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

过程与方法：

1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,

2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.树立数形结合的思想、分类讨论思想

情感态度与价值观：

、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。

通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

教学重点：

1、能熟练运用勾股定理进行计算和证明

2、能用勾股定理解决实际生活中的问题

教学难点：

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

学情分析：

教学方法：

创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论

教学过程：

一课堂导入：

问题1、什么叫勾股定理？

怎样用面积法证明？

1、勾股定理的证明（面积法）

四个小直角三角形的面积如何表示：

中间小正方形的边长如何表示：

根据大正方形面积等于四个小直三角形的面积+小正方形的面积：

2、勾股定理的逆定理：

__________________________

考点：

（１）已知直角三角形的任两边，求第三边

（２）证明线段的平方关系问题；

（３）作数轴上的

、

、

，……等；

（４）解决实际问题．、

二、合作探究：

1、

（1）直角三角形斜边长是13，则以两直角边所作正方形的面积和是（）

（2）由四根木棒，长度分别为3，4，5，6若取其中三根木棒组成三角形，有（）种取法，其中，能构成直角三角形的是

（3）某直角三角形的勾股分别是另一直角三角形勾股的n倍，则这个三角形与另一直角三角形的弦之比是______

2、把一个直角三角形各边扩大N倍，它还是直角三角形吗？

______

把一个直角三角形各边加上一个N，它还是直角三角形吗？

____

把一个直角三角形各边都求平方根，它还是直角三角形吗？

____

选择一个进行证明，（并展示）

三、交流展示：

3.如何判定一个三角形是直角三角形小组交流，讨论补充，

先确定最大边（如c）验证

与

是否具有相等关系，若

=

，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若

≠

则△ABC不是直角三角形

4、怎样求几何体的表面距离最短（教师画图）小组交流，讨论补充，

1.几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。

2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。

四、归纳小结：

这节课你学了那些知识？

还有那些知识不熟练？

板书设计：

勾股定理复习

1、勾股定理的证明（面积法）2、勾股定理的逆定理：

3.如何判定一个三角形是直角三角形4、几何体的表面距离最短

教学反思：

勾股定理小结

一．基础知识点：

1：

勾股定理

　　直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：

a2+b2＝c2）

2：

勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：

a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

3：

勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：

勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：

勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：

互逆命题的概念

　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：

勾股定理的证明

　勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

　用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形