8.三角形的高、中线、角平分线的画法
三角形是最基本的图形，也是应用最多的图形，因此画出它们高、中线、角平分线经常用到，是必须掌握的基本技能．
（1）高的画法：
类似于垂线的画法，用三角板过某一顶点向对边或对边延长线画垂线，交对边于一点，所得到的垂线段就是这条边上的高．
（2）中线的画法：
取一边中点，连接这点和这边相对的顶点的线段，就是所求中线．
（3）角平分线的画法：
类似于画角平分线，作三角形一个角的平分线，交对边于一点，这点和角的顶点之间的线段就是所求的角平分线．
9．三角形高的应用
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
因为三角形的高是通过作垂线得到的，既有直角，又有垂线段，因此它的应用方向主要有两方面：
一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向．
解技巧巧证直角背景下两锐角相等 图形中含有高时，经常用“同角（或等角）的余角相等”来证明角相等，这既是一种方法，也是一个规律．
【例8】如图
（1），已
知△ABC，画出△ABC中，BC边上的高、中线和∠BAC的平分线．
图
（1）图
（2）
分析：
因为三角形的高、中线、角平分线都是描述性定义，它们的定义就蕴含了它们的画法，根据总结的画法画出图形即可，如图
（2）．
解：
画法如下：
（1）过A作BC的垂线，垂足为D，AD即为BC边上的高；
（2）取BC的中点E，连接AE，AE即为BC边上的中线；
（3）作∠BAC的平分线，交BC于点F，连接AF，AF即为△ABC中∠BAC的平分线．
【例9】如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试说明∠DAC与∠EBC的关系．
分析：
因为有三角形中的高就有垂直、直角，所以∠ADC，∠BEC都是直角．根据小学所学三角形的内角和为180°，所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°，根据同角的余角相等，即可得出∠DAC＝∠EBC.
解：
∠DAC＝∠EBC.
因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，
所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°.
所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°.
所以∠DAC＝∠EBC.
10．三角形中线应用拓展
三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特点是已知三角形的中线，图中一定含有相等线段，由此延伸出中线的应用：
（1）面积问题：
三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝
S△ABC.
因为BD＝CD，△ABD和△ADC等底同高，所以面积相等，因此通过作三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分．
（2）周长问题：
如图所示，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差，这也是三角形中线中常出现的问题．
【例10】有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．
分析：
根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分的特征，先把原三角形分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分．
解：
答案不唯一，如方案1：
如图
（1），在BC上取点D
，E，F，使BD＝DE＝EF＝FC，连接AD，AE，AF.
方案2：
如图
（2），分别取AB，BC，CA的中点D，E，F，连接DE，EF，DF.
方案3：
如图（3），分别取BC的中点D、CD的中点E、AB的中点F，连接AD，AE，DF.
方案4：
如图（4），分别取BC的中点D、AB的中点E、AC的中点F，连接AD，DE，DF.
11.等腰三角形中的三边关系
等腰三角形是特殊的三角形，它最大的特点是两条边相等，所以反映在三边关系中，就是底与腰的关系：
①只要两腰之和大于底就一定能构成三角形；②在等腰三角形中，底的取值范围是大于0且小于两腰之和．
因为等腰三角形的特殊性，所以在涉及等腰三角形问题时，只要不明确哪是底，哪是腰，就必须分情况讨论，并且要验证是否能构成三角形．如一个等腰三角形的两边长是2cm和5cm，它的周长是多少？
情况一：
当腰是2cm底是5cm时，因为2＋2<5，两边之和小于第三边，所以此等腰三角形不存在；
情况二：
当腰是5cm底是2cm时，5＋2＞5，所以此等腰三角形存在，此时周长为12cm.
解技巧利用三边关系求等腰三角形的边长 根据两边之和大于第三边，结合底和腰的关系先判断等腰三角形是否存在是求解的前提．
【例11－1】等腰三角形的两边长分别为6cm和9cm，则腰长为__________．
解析：
两种情况，一是腰长为6cm时，底边就是9cm，此时6＋6＞9，此三角形存在，所以腰长可以是6cm；二是腰长为9cm，此时9＋6＞9，此三角形也存在，所以腰长也可以是9cm，故腰长为6cm或9cm.
答案：
9cm或6cm
【例11－2】已知等腰三角形的周长是24cm，
（1）腰长是底边长的2倍，求腰长；
（2）若其中一边长为6cm，求其他两边长．
分析：
（1）可以通过设未知数，利用周长作为相等关系，列出方程，通过求方程的解从而求出答案；
（2）因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边，要分两种情况考虑，并
且计算结果还要注意检查是否符合两边之和都大于第三边．
解：
（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，
根据题意，得x＋2x＋2x＝24，解得x＝4.8，
所以腰长为2x＝2×4.8＝9.6（cm）．
（2）当长为6cm的边为腰时，则底边为24－6×2＝12（cm）．
因为6＋6＝12，两边之和等于第三边，所以6cm长为腰不能组成三角形，故腰长不能为6cm.
当长为6cm的边为底边时，则腰长为（24－6）÷2＝9（cm），
因为6cm,9cm,9cm可以组成三角形，
所以等腰三角形其他两边长均为9cm.
12.与三角形有关的线段易
错点分析
在本节内容中，易错点主要表现在以下三个方面：
（1）三角形的高、中
线、角平分线都是线段，它们都有长度，这与前面所学的垂线是直线、角平分线是射线容易混淆．
（2）画钝角三角形的高时易出错，如下图三种画法都是错误的．
三种情况错误的原因都是对三角形的高的定义理解不透彻．图1中BE不垂直于边AC，错因是受锐角三角形的影响，误认为高的垂足必落在对边上；图2错在没有过点B画AC的垂线段；图3错在把三角形的高与AC边上的垂线混淆，把线段画成了射线．正确的作法是过点B向对边AC所在的直线画垂线，垂足为E.因为三角形是钝角三角形，所以垂足落在CA的延长线上，如下图所示：
（3）运用三角形三边关系时出错，只有两边之和大于第三边，才能构成三角形，才能进行其他运算，这是前提．特别是等腰三角形在
没指明哪是底哪是腰时更易出错，一定要分类讨论，且必须考虑“不同情况下是否能构成三角形”．
【例12－1】下列说法正确的是（ ）．
A．三角形的角平分线是射线
B．三角形的高是一条垂线
C．三角形的三条中线相交于一点
D．三角形的中线、角平分线和高都在三角形内部
解析：
A，B，D都是错误的，A选项一个角的平分线与三角形的角平分线有本质区别：
角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段；三角形的高也是线段，是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段；三角形的中线、角平分线以及锐角三角形的三条高都在三角形内部，但钝角三角形有两条高在三角形的外部，所以D也是错误的．只有C正确．
答案：
C
【例12－2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12cm和15cm两部分，求三角形的底边长．
分析：
有两种可能，一种是锐角三角形，如图
（1）所示，这时AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm；另一种是钝角三角形，如图
（2），这时AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm.
图
（1）图
（2）
解：
（1）当三角形是锐角三角形时，因为D是AC的中点，所以AD＝
AC＝
AB，所以AB＋AD＝AB＋
AB＝15，解得AB＝10（cm）．所以AC＝10cm，所以底边BC＝15＋12－10×2＝7（cm），此时能构成三角形，且底边长为7cm.
（2）当三角形是钝角三角形时，AB＋AD＝AB＋
AB＝12，解得AB＝8（cm），所以AC＝8cm，所以BC＝15＋12－8×2＝11（cm）．因为8＋8＞11，所以能构成三角形，此时底边为11cm.
答：
底边的长为7cm或11cm.
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