最新北师大版高中数学选修11学案第一章 23 充要条件.docx

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最新北师大版高中数学选修11学案第一章23充要条件

2.3　充要条件

学习目标

　1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断．

知识点一　充要条件的概念

思考1　命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中条件和结论有什么关系？

它的逆命题成立吗？

思考2　若设p：

整数a是6的倍数，q：

整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？

q是p的什么条件？

梳理　一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作______．此时，我们说，p是q的____________，简称____________________________________________________．

知识点二　充要条件的判断

1．由原命题与逆命题的真假情况判断充分条件、必要条件和充要条件

若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”，那么p与q有以下四种情形：

原命题

逆命题

条件p与

结论q的关系

结论

真

假

p是q成立的充分不必要条件

假

真

p是q成立的必要不充分条件

真

真

p是q成立的充要条件

假

假

p是q成立的既不充分又不必要条件

由上表可得充要条件的判断方法：

原命题和逆命题均为真命题，p才是q的充要条件．

2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

其中p：

A＝{x|p（x）成立}，q：

B＝{x|q（x）成立}．

类型一　充要条件的判断

例1　下列各题中，p是q的什么条件？

（指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件）

（1）p：

四边形的对角线互相平分，q：

四边形是矩形；

（2）p：

a2＋b2＝0，q：

a＋b＝0；

（3）p：

x＝1或x＝2，q：

x－1＝

；

（4）p：

sinα>sinβ，q：

α>β.

反思与感悟　充要条件的常用判断方法

（1）命题判断法：

设“若p，则q”为原命题，那么：

①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；

②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；

③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；

④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分又不必要条件．

（2）集合法：

若p与q确定的集合分别是A，B，则当且仅当A＝B时，p是q的充要条件．

跟踪训练1　

（1）“x＞1”是“log

（x＋2）＜0”的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件

（2）设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件

类型二　充要条件的探求与证明

命题角度1　探求充要条件

例2　求关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1－a>0对于一切实数x都成立的充要条件．

反思与感悟　探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．

跟踪训练2　设a、b、c为△ABC的三边，求方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件．

命题角度2　充要条件的证明

例3　求证：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

反思与感悟　一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时，应以q为“已知条件”，p是要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时，则是以p为“已知条件”，q是要证明的“结论”，即p⇒q.

跟踪训练3　求证：

一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0.

类型三　充分条件与必要条件的应用

例4　已知p：

3x＋m<0，q：

x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．

反思与感悟　首先应把p与q之间的关系转化为p，q确定的集合之间的包含关系，然后，构建满足条件的不等式（组）求解．同时要注意命题的等价性的应用．

跟踪训练4　已知p：

x≥k，q：

<1，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是（　　）

A．[2，＋∞）B．（2，＋∞）

C．[1，＋∞）D．（－∞，－1]

1．“x2>2017”是“x2>2016”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

2．“a>b”是“a>|b|”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

3．已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列结论中正确的是（　　）

①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充分条件；

②Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的必要条件；

③Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；

④Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件．

A．③B．①②C．①②③D．①②③④

4．直线x＋y＋m＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝2相切的充要条件是________________．

5．已知p：

3x＋m<0，q：

x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．

1．充要条件的判断有三种方法：

定义法、命题等价法、集合法．

2．充要条件的证明与探求

（1）充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．

（2）探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立．

思考2　因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．

梳理　p⇔q　充分必要条件　充要条件

知识点二

1．p⇒q，但q⇒/p　q⇒p，但p⇒/q　p⇒q，q⇒p，即p⇔q　p⇒/q，q⇒/p

题型探究

例1　解　

（1）∵四边形的对角线互相平分⇒/四边形是矩形，

四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，

∴p是q的必要不充分条件．

（2）∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，

a＋b＝0D⇒/a2＋b2＝0，

∴p是q的充分不必要条件．

（3）∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝

成立，反过来，当x－1＝

成立时，可以推出x＝1或x＝2，

∴p是q的充要条件．

（4）由sinα>sinβ不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sinα>sinβ，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．则p是q的既不充分又不必要条件．

跟踪训练1　

（1）B　[由x＞1⇒x＋2＞3⇒

＜0，

＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是“

＜0”成立的充分不必要条件．故选B.]

（2）C　[当x＝1，y＝－2时，x>y，

但x>|y|不成立；

因为|y|≥y，所以若x>|y|，则x>y.

所以x>y是x>|y|的必要不充分条件．]

例2　解　充分性：

当0

时，

判别式Δ＝a2－4a（1－a）＝5a2－4a

＝a（5a－4）<0，

则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．

而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0化为1>0.

显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．

必要性：

因为ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，

所以a＝0或

解得0≤a<

.

故0≤a<

是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．

跟踪训练2　解　先由题意求出条件：

设α是两方程的公共根，显然α≠0，

则α2＋2aα＋b2＝0，①

α2＋2cα－b2＝0，②

①＋②，得2α2＋2α（a＋c）＝0，

∴α＝－（a＋c）．

代入①，得（a＋c）2－2a（a＋c）＋b2＝0，即a2＝b2＋c2，以上求条件的过程就是必要性的证明过程．

再证明充分性：

∵a2＝b2＋c2，

∴方程x2＋2ax＋b2＝0，

可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，

它的解为x1＝－（a＋c），

x2＝c－a.

同理方程x2＋2cx－b2＝0可化为

x2＋2cx－a2＋c2＝0，

它的解为x3＝－（a＋c），x4＝a－c.

∵x1＝x3，∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根．

综上所述，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是a2＝b2＋c2.

例3　证明　充分性：

∵ac<0，

∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，

∴方程一定有两个不等实根，

设两实根为x1，x2，则x1x2＝

<0，

∴方程的两根异号，

即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

必要性：

∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，

设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝

<0，且Δ＝b2－4ac>0，

即ac<0.

综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

跟踪训练3　证明　①充分性：

如果b＝0，那么f（x）＝kx，

因为f（－x）＝k（－x）＝－kx，

所以f（－x）＝－f（x），

所以f（x）为奇函数．

②必要性：

因为f（x）＝kx＋b（k≠0）是奇函数，

所以f（－x）＝－f（x）对任意x均成立，

即k（－x）＋b＝－（kx＋b），

所以b＝0.

综上，一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0.

例4　解　由3x＋m<0得，x<－

.

∴p：

A＝

.

由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3.

∴q：

B＝{x|x<－1或x>3}．

∵p⇒q而q⇒/p，∴A是B的真子集，

∴－

≤－1，

∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞）．

跟踪训练4　B　[q：

x<－1或x>2，

由题意知，{x|x≥k}{x|x<－1或x>2}，

则k>2，∴k的取值范围是（2，＋∞）．]

当堂训练

1．A　2.B　3.D　4.m＝－4或m＝0

5．解　由3x＋m<0，得x<－

，

∴p：

A＝{x|x<－

}．

由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3，

∴q：

B＝{x|x<－1或x>3}．

∵p⇒q而q⇒/p，

∴AB，∴－

≤－1，

∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞）．