《勾股定理》勾股定理的逆定理含答案精讲.docx
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《勾股定理》勾股定理的逆定理含答案精讲
第3章《勾股定理》：
3.2勾股定理的逆定理
填空题
1．你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需m长．
（第1题）（第2题）（第3题）
2．如图，将一根长24cm的筷子，底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的最小值是cm．
3．如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是厘米．
4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米．
（第4题）（第5题）（第6题）
5．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是
，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是．（结果保留根号）
6．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m．（结果不取近似值）
7．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）
（第7题）（第8题）（第9题）
8．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为cm．（π取3）
9．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是．
10．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．
（第10题）（第11题）（第12题）
11．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）
12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸．
13．观察下列一组数：
列举：
3、4、5，猜想：
32=4+5；
列举：
5、12、13，猜想：
52=12+13；
列举：
7、24、25，猜想：
72=24+25；
…
列举：
13、b、c，猜想：
132=b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b=，c=．
解答题
14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：
PB：
PC=3：
4：
5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
15．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．
（1）求证：
△COD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：
当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
16．先请阅读下列题目和解答过程：
“已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．
解：
∵a2c2-b2c2=a4-b4①
∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）②
∴c2=a2+b2③
∴△ABC是直角三角形．”④
请解答下列问题：
（1）上列解答过程，从第几步到第几步出现错误？
（2）简要分析出现错误的原因；
（3）写出正确的解答过程．
17．如图，四边形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，∠BAD=90°，
（1）试说明：
BD⊥BC；
（2）计算四边形ABCD的面积．
18．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．
（1）求证：
△ACE≌△BCD；
（2）直线AE与BD互相垂直吗？
请证明你的结论．
19．请阅读下列解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．
解：
∵a2c2-b2c2=a4-b4，A
∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），B
∴c2=a2+b2，C
∴△ABC为直角三角形．D
问：
（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：
；
（2）错误的原因是；
（3）本题正确的结论是：
．
20．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．
21．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22-1
32-1
42-1
52-1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a=，b=，c=；
（2）猜想：
以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．
22．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=
．
（1）求CD，AD的值；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
23．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．（图2，图3备用）
24．如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为3米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？
（精确到0.1米，
≈1.732）．
25．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
26．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=
m．求点B到地面的垂直距离BC．
27．如图
（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图所示，测得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
28．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
29．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？
为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
30．如下图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=8，BC=6，CD=24，AD=26，求四边形ABCD的面积．
答案：
填空题
1．故答案为：
1.5m．
考点：
勾股定理的应用．
专题：
应用题．
分析：
用勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方进行解答．
解答：
解：
由图可知这条木板的长为
=
=1.5m．
点评：
本题较简单，只要熟知勾股定理即可．
2．故答案为：
11cm．
考点：
勾股定理的应用．
专题：
应用题．
分析：
筷子如图中所放的方式时，露在杯子外面的长度最小，在杯中的筷子与圆柱形水杯的底面直径和高构成了直角三角形，由勾股定理可求出筷子在水杯中的长度，筷子总长度减去杯子里面的长度即露在外面的长度．
解答：
解：
设杯子底面直径为a，高为b，筷子在杯中的长度为c，根据勾股定理，得：
c2=a2+b2，故：
c=
=
=13cm，h=24-13=11cm．
点评：
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
3．故答案为：
6厘米．
考点：
勾股定理的应用．
分析：
根据最长4cm，可得筷子长为12cm．那么可得AC长，那么利用勾股定理可得内径．
解答：
解：
根据条件可得筷子长为12厘米．
如图AC=10厘米，BC=
=
＝6厘米．
点评：
主要考查学生对解直角三角形的应用的掌握情况．
4．故答案为：
2cm．
考点：
勾股定理的应用．
专题：
应用题．
分析：
根据题意，将梯子下滑的问题转化为直角三角形的问题解答．
解答：
解：
在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：
OB=6m，
根据题意，得：
OB′=6+2=8m．
又∵梯子的长度不变，
在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：
OA′=6m．
则AA′=8-6=2m．
点评：
熟练运用勾股定理，注意梯子的长度不变．
5．故答案为：
2
．
考点：
平面展开-最短路径问题．
专题：
压轴题．
分析：
先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．
解答：
解：
圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．
∵AB=π•
=2，CB=2．
∴AC=
=
=2
，
故答案为：
2
．
点评：
圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
6．故答案为：
3
m．
考点：
平面展开-最短路径问题．
专题：
压轴题；转化思想．
分析：
求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．
解答：
解：
圆锥的底面周长是6π，则6π=
，
∴n=180°，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．
则在圆锥侧面展开图中AP=3，AB=6，∠BAP=90度．
∴在圆锥侧面展开图中BP=
=
＝3
m．
故小猫经过的最短距离是3
m．
故答案是：
3
m．
点评：
正确判断小猫经过的路线，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键．
7．故答案为：
22m．
考点：
平面展开-最短路径问题．
专题：
压轴题．
分析：
要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解答：
解：
其侧面展开图如图：
AD=πR=4π，AB=CD=20m．DE=CD-CE=20-2=18m，
在Rt△ADE中，AE=
=
≈21.9≈22m．
故他滑行的最短距离约为22m．
点评：
U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为4m的半圆的周长，矩形的长等于AB=CD=20m．本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
8．故答案为：
15cm．
考点：
平面展开-最短路径问题．
专题：
压轴题．
分析：
本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πr，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得AB的长．
解答：
解：
圆柱展开图为长方形，
则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm，
蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，
由勾股定理得AB=
=
=
=15cm．
故蚂蚁经过的最短距离为15cm．（π取3）
点评：
解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理计算即可．
9．故答案为：
10．
考点：
平面展开-最短路径问题．
分析：
根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．
解答：
解：
将点A和点B所在的两个面展开，
则矩形的长和宽分别为6和8，
故矩形对角线长AB=
=10，
即蚂蚁所行的最短路线长是10．
点评：
本题的关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出矩形的对角线．
10．故答案为：
2.5．
考点：
平面展开-最短路径问题；勾股定理．
分析：
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解答：
解：
三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：
x2=22+[（0.2+0.3）×3]2=2.52，
解得x=2.5．
点评：
本题用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
11．故答案为：
2.60．
考点：
平面展开-最短路径问题．
分析：
解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．
解答：
解：
由题意可知，将木块展开，
相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米．
于是最短路径为：
=2.60米．
故答案为：
2.60．
点评：
本题主要考查两点之间线段最短，有一定的难度，是中档题．
12．故答案为：
25寸．
考点：
平面展开-最短路径问题．
分析：
根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答．
解答：
解：
将台阶展开矩形，线段AB恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分别为24寸，7寸，
由勾股定理得AB=
=25寸．
点评：
本题结合实际，运用两点之间线段最短等知识来解答问题．
13．故答案为：
b=84，c=85；
考点：
勾股数．
专题：
规律型．
分析：
认真观察三个数之间的关系：
首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为（2n+1），（
），
（
），由此规律解决问题．
解答：
在32=4+5中，4=
，5=
；
在52=12+13中，12=
，13=
；
…
则在13、b、c中，b=
=84，c=
=85；
点评：
认真观察各式的特点，总结规律是解题的关键．
解答题
14．考点：
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．
专题：
探究型．
分析：
根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP=CQ；设PA=3a，PB=4a，PC=5a，由已知可判定△PBQ为正三角形从而可得到PQ=4a，再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形．
解答：
解：
（1）猜想：
AP=CQ，
证明：
∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，
∴∠ABP=∠QBC．
又AB=BC，BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ；
（2）由PA：
PB：
PC=3：
4：
5，
可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，
连接PQ，
在△PBQ中
由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，
∴△PBQ为正三角形．
∴PQ=4a．
于是在△PQC中
∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2
∴△PQC是直角三角形．
点评：
此题考查学生对等边三角形的性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用．
15．考点：
等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．
专题：
证明题；压轴题；探究型
分析：
此题有一定的开放性，要找到变化中的不变量才能有效解决问题．
解答：
（1）证明：
∵CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形；（3分）
（2）解：
当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．（5分）
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°，
即△AOD是直角三角形；（7分）
（3）解：
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．
∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴190°-α=α-60°
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，
∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°，
∴α-60°=50°
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵190°-α=50°
∴α=140°．
综上所述：
当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．（12分）
说明：
第（3）小题考生答对1种得（2分），答对2种得（4分）．
点评：
本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．
16．考点：
勾股定理；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．
专题：
阅读型．
分析：
从公式入手，式子的左边提取公因式，式子的右边符合平方差公式，并分解，两边同一个不为零的数，从而得到勾股定理．
解答：
解：
（1）从第②步到第③步出错（写成第“2”或“二”等数字都不扣分；另外直接写“第③步”
或“到第③步”都算正确），（2分）
（2）等号两边不能同除a2-b2，因为它有可能为零．（4分）
（3）（从头或直接从第③步写解答过程都行），
∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），
移项得：
c2（a2-b2）-（a2+b2）（a2-b2）=0，
得（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，（5分）
∴a2=b2或c2=a2+b2（6分）
∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．（7分）
点评：
正确理解勾股定理来验证直角三角形，从公式的角度入手，得出结论从而验证．
17．考点：
勾股定理；勾股定理的逆定理．
分析：
（1）先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明BD⊥BC；
（2）根据两个直角三角形的面积即可求解．
解答：
解：
（1）∵AD=3，AB=4，∠BAD=90°，
∴BD=5．
又BC=12，CD=13，
∴BD2+BC2=CD2．
∴BD⊥BC．
（2）四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积=6+30=36．
点评：
综合运用了勾股定理及其逆定理，是基础知识比较简单．
18．考点：
勾股定理的逆定理；直角三角形全等的判定．
专题：
证明题．
分析：
（1）根据SAS判定△ACE≌△BCD，从而得到∠EAC=∠DBC，根据角之间的关系可证得AF⊥BD．
（2）互相垂直，只要证明∠AFD=90°，从而转化为证明∠EAC+∠CDB=90即可
解答：
（1）证明：
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠BCD=90°，
在△ACE和△BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）解：
直线AE与BD互相垂直，理由为：
证明：
∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠DBC，
又∵∠DBC+∠CDB=90°，
∴∠EAC+∠CDB=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AF⊥BD，
即直线AE与BD互相垂直．
点评：
此题主要考查学生对全等三角形的判定及直角三角形的判定的掌握情况．
19．故答案为：
（1）第C步
（2）等式两边同时除以a2-b2（3）直角三角形或等腰三角形
考点：
勾股定理的逆定理．
专题：
阅读型．
分析：
通过给出的条件化简变形，找出三角形三边的关系，然后再判断三角形的形状．
解答：
解：
（1）C；
（2）方程两边同除以（a2-b2），因为（a2-b2）的值有可能是0；
（3）∵c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）
∴c2=a2+b2或a2-b2=0
∵a2-b2=0
∴a+b=0或a-b=0
∵a+b≠0
∴c2=a2+b2或a-b=0
∴c2=a2+b2或a=b
∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．
点评：
本题考查了因式分解和公式变形等内容，变形的目的就是找出三角形三边的关系再判定三角形的形状．
20．考点：
勾股定理；勾股定理的逆定理．
分析：
如图，连接BD．由勾股定理求得BD的长度；然后根据勾股定理的逆定理判定△BDC是直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角△ABD的面积+直角△BDC的面积．
解答：
解：
∵在△ABD中，AB⊥AD，AB=3，AD=4，
∴BD=
=
=5．
在△BDC中，CD=12，BC=13，BD=5．
∵122+52=132，即CD2+BD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=
AB•AD+
BD•CD
×3×4+
×5×12=36，
即四边形ABCD的面积是36．
点评：
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．注意：
勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
21．故答案填：
n2-1，2n，n2+1；
考点：
勾股定理的逆定理；列代数式．
专题：
应用题；压轴题．
分析：
（1）结合表中的数据，观察a，b，c与n之间的关系，可直接写出答案；
（2）分别求出a2+b2，c2，比较即可．
解答：
解：
（1）由题意有：
n2-1，2n，n2+1；
（2）猜想为：
以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
证明：
∵a=n2-1，b=2n；c=n2+1
∴a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2
而c2=（n2+1）2
∴根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
点评：
本题需仔细观察表中的数据，找出规律，利用勾股定理的逆定理即可解决问题．
22．考点：
勾股定理的逆定理．
分析：
利用勾股定理求出CD和AD则可，再运用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形．
解答：
解：
（1）∵CD⊥AB且CB=3，BD=
，故△CDB为直角三角形，
∴在Rt△CDB中，CD=
=
=
，
在Rt△CAD中，AD=
=
=
．
（2）△ABC为直角三角形．
理由：
∵AD=
，BD=
，∴AB=AD+BD=
+
=5，
∴AC2+BC2=42+32=25=52=AB2，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形．
点评：
本题考查了勾股定理和它的逆定
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