数字花絮.docx

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数字花絮

数字花絮

十个阿拉伯数字，像五彩缤纷的花絮。

四种运算符号+、-、×、÷，如变幻多姿的魔棒。

数字与符号的组合分化，则构建一道道迷人的风景线，它牵动着多少智者的神经，激荡起几多想象和思考。

一代代人的耕耘培育，使数学园地繁花似锦，光彩夺目。

这里的每一个数字都是一朵彩色的花瓣，这里的每一道问题都诱发出迷人的魅力。

一些题隐去了数字，只呈现一片虚幻的空白。

每一块空白又都是一个等待回答的问号，扑朔迷离，直令人魂牵梦绕。

再没有比“悬念”更能激发思考了！

空白虚幻之中却又隐藏种种技巧。

数字趣题虽没有像应用题、故事或游戏趣题那样的事件、情节，往往只透露一点点信息，却要求从已知的点滴信息中，推出它的整体面貌。

它像一团雾，像一个谜，虽然一时看不清，抓不住，却又有着实实在在的答案。

这样，就更加激人深思，引人思考。

一经入目，必欲弄个水落石出。

数字趣题中，有的是在一个算式中只保留部分数字，而将另一些数字隐去，只用“□”、“☆”或其他文字符号来替代。

要求根据已有的数字，运用分析、推理，将被隐去的数字复原，使算式完整，成立。

这种趣题，在我国古代称为“虫蚀算”，意思是，本来很完整的算式，被书虫啃蚀了，因而，数字便残缺不全。

有的只提供一些数字，要求添加运算符号或巧妙组合，使它们符合规定的条件。

有的是通过数字的排列组合出现一些奇妙的有规律的现象。

如幻方、数阵，它们纵横或周边，在同一直线上的各个数字之和，都为同一数值，奇幻迷人。

数字趣题，依其表现形式，常见的有以下数种：

一、竖式谜

二、横式谜

三、填空谜

四、幻方

五、数阵

解数字谜，要根据四则运算的法则、规律，对照已知条件，理清数与数间的内在联系，先易后难，由此及彼，使被隐去或要求填写的数字，一个一个地暴露出来。

从而拨开迷雾，显出“庐山真面目”。

幻方和数阵的制作，则更有一套独特的方法。

解数字趣题，如同侦察员破案一样，开始如理乱麻，渐渐便理清线索，继而顺藤摸瓜，最终便真相大白了！

竖式谜

在加、减、乘、除四则运算中，比较复杂的题目，都要先列竖式进行演算。

常见的竖式，都是单纯的求和或差，或积或商。

竖式谜，却只提供不完全的条件。

有时给出几个或一个数字，隐去了其他各数；有时一个数字也没有，只用“□”或“★”等特殊符号，把竖式的框架显示出来。

这种竖式看上去像一团迷雾，扑朔迷离，简直是个没解开的谜。

只有熟练算法、算理，根据已提供的点滴信息，分析、推理，顺藤摸瓜，才能使一个个隐去的数字重新出现。

解加、减法的竖式谜，主要根据进位、退位情况，进行分析、判断。

乘、除法，除了考虑进、退位问题，还要根据乘、除法的法则，认真推敲。

一般要先将容易找出的数字填出来，这样，未知数的范围便越来越小，最终便可找出全部隐藏的数字。

解数字谜，如同侦察员破案一样，新奇，有趣。

例1

解：

加数都是两位数，从第一个加数个位是5与和的个位数是9，可以推断第二个加数的个位数必定是4。

即5+？

=9。

从和的百位数与十位数是18，可断定，两个加数的十位数都是9，这样，谜便揭开了：

例2

解：

三个加数，只知道其中两个加数的个位分别是7、5，而和的个位却是8，肯定是进位造成的。

从7+5+？

=□8，可判断另一个加数的个位必为6，十位上5+□+7=□7，可断定：

□加上个位进上来的1是5，去掉进上来的1应是4。

百位上2+□=6，可知：

□=4，去掉进上来的1，□=3。

可知原式为：

例3

解：

这个减法算式，只告知了减数是1，被减数、减数都不知道！

全式应有八个数字，其中七个都是未知数，初看是比较难解的。

但是认真分析一下减法算式各部分的数位，便可以找到突破口。

被减数有四位，减去1后，差却成了三位数，只有相减时连续退位，才会如此。

那么，什么数减去1需要向高位借数呢？

只有“0”！

而最高位退1后成了0，表明被减数的最高位就是“1”。

这样，就可以断定被减数是1000。

知道了被减数和减数，差就迎刃而解了！

可知，原式是：

例4

解：

个位上，被减数是7，差是6，可知减数是1。

十位上，减数是8，差是9，可知被减数必小于8，借位后才使差比减数大的。

那么，？

-8=9，可知被减数十位上是7。

再看百位，因为被减数是四位数。

相减后，成了三位数，差的百位数又是9，从而断定，被减数的百位上是0，千位上必定是1了。

可知，原式是：

例5下面的算式，加数的数字都被墨水污染了。

你能知道被污染的四个数字的和吗？

解：

和的个位数是9，可知加数的个位数字相加没有进位。

即两个数字和是9。

和的百位与十位上的数是18，便是两个加数十位数字的和。

所以，被污染的四个数字的和是：

18+9=27。

例6下面算式中的数字都被遮盖住了，求竖式中被遮盖住的几个数字的和。

解：

这是一道三个三位数的加法。

从和的前两位是29，可断定三个加数的百位必须是9，因为三个9的和才是27，多出的部分便是进位造成的。

同理，可断定加数的三个十位数字的和，也必须是9，多出的2（29-27），是个位进位造成的。

而和的个位数是1，断定三个加数的个位数字和是21。

因此，被遮盖的数，数字和是：

27+27+21=75

例7

解：

这是个三位数与一位数相乘的算式。

被乘数只知道十位数是2，积只知道个位数是2，乘数是7，其余都是未知数！

但是从个位的一个数与7相乘，积的个位数是2，可推断被乘数的个位数只能是6。

6×7=42，十位上进4。

被乘数的十位数是2，20×7=140，加上进位的4，积的十位应是8，进位1。

从积是三位数，可断定被乘数的百位数必为1（因为若大于1，积则为四位数了！

），1×7=7，加上进上来的1，积的百位数便是8了。

可知，原式是：

例8

解：

这是个四位数与两位数相乘的算式。

从乘数的个位数9和部分积个位是7，可推知被乘数的个位是3，进2。

据此，推知被乘数的十位是8，8×9=72，加上进位2，才符合积的十位数得4的要求。

再根据积的百位数是5，推知被乘数百位是2，2×9=18，加上进位7，得5，进2。

继而推知被乘数千位是5，5×9=45，加上进位2，才可得积的千位数7。

从被乘数是5283和第二部分积中的5，可以推断乘数的十位数，因为被乘数的前两位是5、2，经过尝试，乘数的十位数只能是3。

至此，其他各数字，便容易得出了！

例9

解：

为了分析，我们将题中的关键位置用字母标出。

算式中，只有被乘数与2的积是四位数，与A、B的积都仍是三位，从而断定A=B=1。

以此为突破口，再追寻其他。

其中，部分积D与完全积中的C，也很明显是1。

D由“□×2”得来，最大的一位数乘2也只能进1。

由D=1，断定C=1。

知道D=1，“D+E”又进位，推断E不是8必是9。

如果E是8，则F非6即7，但是F+8=9，所以E不可能是8。

部分积“GH□”和“E8□”都是被乘数与1相乘得到的，所以，E=G=9，H=8。

知道了H=8，从“8+K=□2”断定K=4。

K是被乘数与2相乘得到的，乘2后积的尾数是4的只有2或7。

再通过一些试算，算式中的数字，便一个个都推断了出来：

例10下面的算式，没有一个已知数。

只知道式内的全部数字都是质数。

能把所有的数字都找出来吗？

解：

式中的全部数字都是质数，那么组成算式的数字只能是2、3、5、7四个数字。

从三位数乘得的积都是四位数，并且得数全部是质数，我们可以用2、3、5、7任组成一个三位数和一个一位数相乘，凡积也全部是质数的就记下来，不符合就舍弃，这样使范围逐步缩小。

经尝试，只有775×3=2325，555×5=2775，755×5=3775，325×7=2275四种情况。

要符合题目的条件，乘数只能是数字相同的两位数。

这样也有四种情况：

775×33555×55775×55325×77。

相乘后，不仅它们的部分积，连完全积也必须都是质数，才能符合题意。

经检验后，只有下面的算式符合：

这团迷雾，终于真相大白。

例11

解：

在乘法中，积的位数估算方法是：

看被乘数与乘数首数相乘的积：

首数相乘满10时：

积的位数=被乘数位数+乘数位数

首数相乘不满10时：

积的位数=被乘数位数+乘数位数-1

本题是三位数与两位数相乘，积为四位数。

可知，属首数相乘不满10的。

由此断定，被乘数的首位是1。

再由两部分积首位相加不进位，断定被乘数的十位数也只能是1。

被乘数的个位数，则根据积是四位数，参照乘数的十位数8，相乘后，部分积的首位不能满10，断定必是2。

这样，全式便可以列出了：

例12

解：

这个除式中，除了告知商中两个数字外，其余的全是未知数！

初看很难。

但是，当认真观察全式后，便可发现线索：

除数是两位数，与商的首位相乘，其积是三位数，而与商中的8相乘，则积是两位数了，从而可断定：

①商的首位是9；②除数的首位是1；③除数的个位数字，一定小于或等于2。

因为，1□中个位若是3，与8乘积就是三位数了；个位若是1，与商的首位9乘，又不是三位数了。

可知，必为2。

即除数是12。

再看商的十位数。

从商98□7，对照除式是落下一位不够除的，才连落两位数，这样，又可断定，十位上的商是0。

已经知道了除数和商，被除数便是：

12×9807=117684。

可知，原式是：

例13

解：

首先要找出解题的突破口。

从余数是0，表明商与除数相乘得138，即“2□×6=138”，一个数乘6个位是8的只有3和8，但是2□方框中若是8，便不合题意，因为28×6≠138。

确定了除数是23，23×6=138，则被除数的个位数也必是8。

再从商的十位数□与除数23相乘得184，即23×□=184，可知商的十位数也是8。

商的百位数已知是1，与除数23相乘仍是23，从首商差的数字是19，可推断被除数的首位数字应是4。

这样，算式便全部恢复了数字：

例14

解：

这是除数是三位数的除法。

商的百位是1，它与除数相乘的积个位是5，可知除数的个位也是5，即除数是215，从而可知第一次相减余55，拉下9，得559。

被除数的千位数必是7。

再看559被215除应商几呢？

从相减余下9，可知商的百位数是2。

余129，再拉下0，继续除。

除数215的多少倍是1290呢？

从而又确定了商的个位数是6。

这样，全式便是：

例15

解：

这道题被除数是六位数，除数和商都是三位数，这么复杂的除式，知道的数字只有一个8，要将那些隐去的数字都找出来，就要有侦察员破案的精神。

从除数与8相乘的积是三位数，而除数与商的百位和个位相乘都得四位数，说明商的百位和个位都比8大，那就只能是9了！

即完全商是989。

从除数乘9得四位数，断定除数百位是1，否则与8乘也是四位数了。

同理，商的十位数也必须比较小。

经对照商与乘积关系，反复尝试，确定了除数是112。

这样，其他各数便不难推断了。

例16

解：

这是一道六位数除以两位数，商是四位数的除法算式。

整个算式中，只知道商的末位数字是5，要我们把全部数字都找出来，真是个难解的谜！

从何处下手呢？

首先要认真观察算式特点，由易到难，顺藤摸瓜。

一般都是从除数、商与被除数的关系进行推导。

在除法中，余数必须小于除数，落下被除数中的一位后，仍不够除，必须在商的空位上补0。

由竖式特点，可判定商的百位数是0。

商的千位数是几呢？

从商的百位数是0，可推断，被除数的首位数和第一次余数的首位数必定是1，由此，又可推断，如果除数是11，商的千位数是9，如果除数是99，商的千位数是1。

因为三位数减去两位数，余数是1的，只能是100—99，而从除式的末尾看，商与除数的积只有两位数，除数若是99，那么与商的末位数5相乘，便是三位数了！

所以，除数只能是11。

同样，根据除式的特点及已推知除数是11，可断定，商数的十位数也是9。

这样，整个算式便可恢复原状了。

9095×11=100045

原式为：

例17

解：

这道小数除法算式中，竟然连一个已知数都没有。

但是却要求根据算法、算理把全部数字都补上去，真是奇妙！

从哪里寻找突破口？

我们知道，小数除法最后一个不完全积的右端必有若干个0，这是它与整数除法的特殊之处。

这就决定了它的商和除数的最后一位数字，必然为一个是5，另一个是偶数，否则，它们的积，便不可能是整十、整百、整千……了。

从这道式的特点看，商的十分位是0。

首次商后的余数，数字在1～9之间，若不考虑小数点，补0后为100～900之间。

定下这个数之后，便可进一步分析除数和商的末位数了。

除数是三位数与商的末位相乘得整百的数只有：

125×4=500，225×4=900。

如果除数是125（实际是1.25），则被除数是130（实际是1.25+0.05=1.3）。

如果除数是225（实际是2.25），则被除数是234（实际是2.25+0.09=2.34）。

经检验，这两种情况都符合题意。

则此式可能是：

解1：

解2：

横式谜

横式谜比竖式谜更为复杂、迷人。

竖式谜只是四则运算中的一种，横式谜则常把加、减、乘、除四则运算贯穿在一个题目中，有着更大的灵活性。

解横式谜，不能孤立地只看一数一式，必须兼顾上下左右的联系，使所填数字适应整体要求。

例1将0、1、2……9这十个数字，不遗漏，不重复，分别填入□中，组成三道算式：

□＋□＝□

□－□＝□

□×□＝□□

解：

这类问题，虽然要多作尝试，但也要找准突破口，否则，胡乱尝试，费时费功也难找到正确答案。

这道题，首先要确定0的位置。

经分析，前两式不可能含0。

0只能在第三式的积中。

两数的积含0的有：

2×5＝104×5＝206×5＝308×5＝40，共四道算式。

这样，就把尝试的范围大大地缩小了！

经验证，如下填法可符合要求：

7＋1＝8

9－6＝3

5×4＝20

例2将1～9九个数字，不重复，不遗漏，填入下列式中的□，使等式成立。

□□÷□＝□□÷□＝□□÷□

解：

全式中含有三道算式，都是两位数除以一位数，解题应从商入手。

商只能是一位数，若是两位数，则重复的数字太多，三道算式便不能把1～9九个数字都包括进去。

这样，只能从商是2～9各式中去尝试、筛选。

商是2       商是3       商是4       商是5

18÷9       27÷9        36÷9        45÷9

16÷8       24÷8        32÷8        40÷8

14÷7       21÷7        28÷7        35÷7

10÷5       18÷6        24÷6        30÷6

15÷5       20÷5        25÷5

12÷4       16÷4        20÷4

12÷3       15÷3

商是6       商是7       商是8       商是9

54÷9       63÷9        72÷9        81÷9

48÷8       56÷8        64÷8        72÷8

42÷7       49÷7        56÷7        63÷7

36÷6       42÷6        48÷6        54÷6

30÷5       35÷5        40÷5        45÷5

24÷4       28÷4        32÷4        36÷4

18÷3       21÷3        24÷3        27÷3

12÷2       14÷2        16÷2        18÷2

从这一些算式中，按照要求进行分析，把式中含有重复数字的式子全部剔除，余下的式子若符合条件，便是正确的解。

我们发现，只有商是7或9的有符合要求的算式。

即：

21÷3＝49÷7＝56÷8

或：

27÷3＝54÷6＝81÷9

例3在下列式中，每个□内填入一个大于1的数字，使等式成立。

[□×（□3＋□）]2＝8□□9

解：

可采用“层层剥笋”的方法，逐步缩小谜底的范围。

把方括号内看作一个数，此式便成为：

一个数的平方是四位数，这个四位数是八千几百几十九。

我们知道，在乘法中，被乘数与乘数的首数相乘满十的，积的位数＝被乘数位数＋乘数位数。

由此，缩小了方括号中数的估算范围。

经试算，能满足等式右端条件的完全平方数只有93，即：

932＝8649，从而断定：

方括号内的数必须是93。

再分析方括号内各□应填的数。

把小括号看成一个数，则是□×□□＝93，93分解成因数相乘是3×31，可知小括内的数和应为31。

由“□3＋□＝31”，可推知是23＋8。

这样，全式便破译出来了：

[3×（23＋8）]2＝8649

例4在下式□中，分别从1～9个数字中，选取八个填入，使带分数相减的差值最大。

解：

要使差的值最大，必须把数字组合成被减数最大而减数最小。

可先确定它们的整数部分：

被减数填98，减数填12。

分数部分从3、4、5、6、7五个数选取。

最大的真分数是分子比分母小1。

因此，被减数的分数部分只能在

故而，上题可填为：

例5将1～8八个数字，分别填入下式□内，使全式的值最小：

□□×□□×□□×□□

解：

这是两位数相乘的算式，要使相乘得的积最小，必须使各数的高位数字尽可能小。

根据这个原则，填写的顺序应是：

从左至右，先将1、2、3、4填在各个数的十位上，再从右至左，将8、7、6、5填在各个数的个位上。

最后便得到：

15×26×37×48

例6将1～9这九个数字，分别填入九个□内，使算式的值为最大。

□□□×□□□×□□□

解：

要使乘积最大，同样，要遵循“把比较大的数都填在高位上”的原则。

据此，可先从左至右，在各数的百位上分别填9、8、7，再从右至左，在各数的十位上填6、5、4，最后再从右至左，在各数的个位上填3、2、1。

结果得：

941×852×763

填空谜

例1把4、5、6、7、8、9、10、11八个数，分别填在等号两端的□里，使等式成立。

□＋□＋□＋□＝□＋□＋□＋□

解：

因为等号两端各有四个数，只要它们的和相等，等式便能成立。

题中八个数的总和是60，则等号两边的四个数的和应各为30。

这八个数还有如下特点：

4＋11＝15，5＋10＝15，9＋6＝15，7＋8＝15，只需把这四组数两两一组，或将每一组的两个数分开于等号两端即可。

因此，填法有：

（1）4＋11＋5＋10＝9＋6＋7＋8

（2）4＋11＋6＋9＝5＋10＋7＋8

（3）4＋5＋7＋8＝6＋9＋5＋10

例20.25、0.75、22.5、____、____。

解：

这类题的各个数间都存在一定的相互关系，并不是彼此孤立毫无联系的。

它们都隐含着递增、递减或倍数关系。

要认真地观察、分析，找出其中的规律。

本题的各数，愈向后愈大，而且相邻两数间，后一个数总是它前一个数的3倍。

发现这个规律后，往后的数便可很容易的填出来了。

即：

6.75（2.25×3）、20.25（6.75×3）

例30、1、1、2、3、5、8、____、____。

解：

这道题初看似无规律：

数字虽然逐渐增多，但增多的部分并不相同，又不成倍数关系。

仔细分析后，便可发现：

后面的数总是它前面两个数的和，这样，问题便迎刃而解了。

接下去应填：

13（5＋8＝13）、21（8＋13＝21）。

例4

解：

每个分数的分子都比分母大，而且差数都是3。

因此可推断最后一个分数的分子是23＋3＝26，即“？

”处应填26。

例5

解：

每个图中，上端的数是被除数，下端的两个数是除数和商。

因此，？

＝63÷9＝7。

例6

解：

这类题必须仔细观察，反复分析，才能发现共同的规律，否则，把部分数间的关系当作共同特点，便误入歧途了。

本题对顶的两个数间存在共同规律，即较大的数都是较小数的2倍。

题中不存在小数，因此，与19相对的数应是19×2＝38，即：

？

＝38。

例7

解：

这三组数，初看毫无联系。

实际，每组数的第一个数都是第二、三两个数和的2倍。

即：

36＝（15＋3）×2

24＝（5＋7）×2

据此，？

＝（13＋8）×2＝42

例8请你把27、32、50、72各分成任意的四个数，将分成的四个数分别填入各个括号中，使等式成立。

（1）分解27：

（ ）＋2＝（ ）－2＝（ ）×2＝（ ）÷2

（2）分解32：

（ ）＋3＝（ ）－3＝（ ）×3＝（ ）÷3

（3）分解50：

（ ）＋4＝（ ）－4＝（ ）×4＝（ ）÷4

（4）分解72：

（ ）＋5＝（ ）－5＝（ ）×5＝（ ）÷5

解：

这类问题假如全靠尝试是十分麻烦的。

分解成的四个数，分别填入四个括号，各式得数要相等，四个数的和还必须等于原数。

怎样分解原数便成了关键！

从乘式入手，从最小的数1试验，而后再调整。

以

（1）为例，若乘式填1，则全式仍保持相等就成了：

（0）＋2＝（4）－2＝

（1）×2＝（4）÷2

式子虽成立了，但是分解的四个数和为：

0＋4＋1＋4＝9，是27的三分之一！

所以，乘式原来填的1太小了，应再扩大3倍，这样再保持等式成立，便成了：

（4）＋2＝（8）－2＝（3）×2＝（12）÷2

各式的结果都等于6。

分解的四个数和是：

4＋8＋3＋12＝27。

其他各题，读者自己填填看。

例9找出头、脚数字间的规律，把“？

”换成数。

解：

寻找数字间的内在关系，可以把每个图作为独立的个体，考察头、脚间三个数的内在联系。

也可以把三个人当作一个整体，考察数字的演化过程，用数字间加、减、乘、除，找出存在的共同规律。

若从头上的数字变化，仅三个人5→4→？

看不出规律。

经尝试，每个人“头上”的数，都是“脚”上数字和的一半。

可知“？

”是（2＋8）÷2＝5。

例10将“？

”填上合适的数：

解：

头手共三个数。

若把三人当作整体，仍看不出头上数的变化规律。

把每个人当作独立的个体。

经尝试，前二人头上数的规律为：

中数为两边数的差。

从而可知“？

”应填上“2”，即5—3的差。

例11

解：

第一人头手三数是19、21、23。

第二个人头手三数是71、73、75。

都是连续的三个奇数。

第三人手中的两个数也是奇数，可知“？

”应填“5”。

例12

解：

小动物的四条腿和尾上都有数字。

共五个。

要我们求解的是尾上的数字。

应考虑尾上的数可能是由四条腿上的数字而来。

通过多方尝试，第一个动物中，前两腿中两数和与后两腿中两数和相减，差为5。

即：

（8＋6）－（4＋5）＝5。

可知后一动物中，？

＝（3＋9）－（4＋2）＝6。

例13

解：

小姑娘的头、手、足共有五个数字。

头上的数字很可能是其余数字的计算结果。

经检验，两手数字和与两足数字和的差，恰为头上数字。

可知：

？

＝（4＋15）－（13＋3）＝3

例14

解：

三角形内角三个数的和恰为中心数。

可知

？

＝9＋8＋1＝18

幻方

例1将1～9九个自然数，填入下图空格内，使横、坚、斜对角每三个数的和都是15。

解：

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。

我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。

由三行三列数组成的幻方，称为“三阶幻方”。

制作这种幻方的方法是：

把九个自然数，按照从小到大的递增次序斜排（如图一），然后把上、下两数对调，左、右两数也对调（如图二），最后再把中部四个数各向外拉出到正方形的四角，幻方就制成了。

如果把图三制好的幻方，旋转90°、180°、270°都各成一个新的幻方。

如果画在透明纸上，反过来观察，再旋转上述角度每次所得到的幻方