数学必修2全册同步检测233.docx
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数学必修2全册同步检测233
2-3-3直线与平面垂直的性质
一、选择题
1．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内（ ）
A．不存在与l垂直的直线
B．存在一条与l垂直的直线
C．存在无数条与l垂直的直线
D．任意一条都与l垂直
2．过一点和已知平面垂直的直线条数为（ ）
A．1条 B．2条
C．无数条D．不能确定
3．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（ ）
A．有且只有一个
B．可能存在也可能不存在
C．有无数多个
D．一定不存在
4．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．斜交 D．不能确定
5．若a、b表示直线，α表示平面，
①a⊥α，a⊥b，则b∥α；
②a∥α，a⊥b，则b⊥α；
③a∥α，b⊥α，则b⊥a；
④a⊥α，b⊂α，则b⊥a.
上述命题中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
6．已知三条直线m、n、l，三个平面α、β、γ，下面四个命题中，正确的是（ ）
A.
⇒α∥β B.
⇒l⊥β
C.
⇒m∥nD.
⇒α∥β
7．（2011－2012·杭州高二检测）如下图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的（ ）
A．AC⊥β
B．AC⊥EF
C．AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D．AC与α、β所成的角相等
8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是（ ）
①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；
②若a⊥α，a⊂β，则α⊥β；
③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n.
A．①和②B．②和③
C．③和④D．①和④
9．如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（ ）
A．ACB．BD
C．A1DD．A1D1
10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是（ ）
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
二、填空题
11．已知直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________．
12．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.
13．如图，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，EF∥PA，则图中直角三角形的个数是________．
14．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
三、解答题
15．如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：
EF∥BD1.
[分析] 转化为证明EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1C.
16．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于E，l⊥平面PCD.求证：
l∥AE.
[分析] 转化为证明AE⊥平面PCD，进而转化为证明AE垂直于平面PCD内的两条相交直线PD和CD.
17．（2011－2012·吉林高一检测）如下图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC中点，求证：
平面DMN∥平面ABC.
18．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：
MN⊥AB；
（2）若PA＝AD，求证：
MN⊥平面PCD.
详解答案
1[答案] C
[解析] 若l⊂α，显然在α内存在无数条直线与l垂直；若l∥α，过l作平面β∩α＝l′，则l∥l′，
∵在α内存在无数条直线与l′垂直，从而在α内存在无数条直线与l垂直；
若l与α斜交，设交点为A，在l上任取一点P，
过P作PQ⊥α，垂足为Q，在α内存在无数条直线与AQ垂直，从而存在无数条直线与直线PA（即l）垂直．
2[答案] A
[解析] 已知：
平面α和一点P.
求证：
过点P与α垂直的直线只有一条．
证明：
不论点P在平面α外或平面α内，设PA⊥α，垂足为A（或P）．如果过点P还有一条直线PB⊥α，设PA、PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA、PB垂直于交线a，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条．
3[答案] B
[解析] 当a⊥b时，有且只有一个．
当a与b不垂直时，不存在．
4[答案] B
[解析] 设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥α，直线l⊥a，l⊥b.
过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′.
同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′，
∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.
5[答案] C
[解析] ①b∥α或b⊂α ②b⊥α或b∥α或b⊂α ③、④正确，
∴选C.
6[答案] D
[解析] 对于A，α与β可以平行，也可以相交；对于B，l与β可以垂直，也可以斜交或平行；对于C，m与n可以平行，可以相交，也可以异面．
7[答案] D
8[答案] B
[解析] ①中，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以①不是真命题；②是平面与平面垂直的判定定理，所以②是真命题．
9[答案] B
[解析] 易得BD⊥面ACC1A1，又CE⊂面ACC1A1，
∴CE⊥BD.
10[答案] A
[解析] ∵DD1⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，
又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，
∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C.
又∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.
而AP⊥BD1，∴AP⊂平面AB1C.
又P∈平面BB1C1C，∴P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C.故选A.
11[答案] 平行
[解析] 由于直线a垂直于平面α内的两条相交直线m，n，则a⊥α.同理，b⊥α，则a∥b.
12[答案] 6
[解析] ∵AF⊥平面AC，DE⊥平面AC，∴AF∥DE.
又∵AF＝DE，∴四边形ADEF是平行四边形．
∴EF＝AD＝6.
13[答案] 6
[解析] 由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，
又∵BC⊥AC，AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.
∵EF∥PA，PA⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，
∴EF⊥BE，EF⊥EC.
∴△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，△EFC，△BEF均为直角三角形．
14[答案] 4
[解析] 如图设AB中点为M，分别过A、M、B向α作垂线，垂足为A1、M1、B1，则由线面垂直的性质可知．
AA1∥MM1∥BB1，
四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，
BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.
15[证明] 连接AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示．
∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1.
∴AC⊥BD1，
同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.
[点评] 当题中垂直条件很多，但又需证两直线的平行关系时，就要考虑直线与平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．
16[证明] ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
又AE⊂平面PAD，∴AE⊥DC.
又AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.
又l⊥平面PCD，∴l∥AE.
17[证明] ∵M、N分别是EA与EC的中点，
∴MN∥AC，
AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，
∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，
∵N为EC中点，EC＝2BD，
∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，
∴DN∥BC，又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴DN∥平面ABC，
又∵MN∩DN＝N，且MN、⊂平面DMN，DN⊂平面DMN，
∴平面DMN∥平面ABC.
18[证明]
（1）取CD的中点E，连接EM、EN，
则CD⊥EM，且EN∥PD.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又AD⊥DC，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，从而CD⊥EN.
又EM∩EN＝E，∴CD⊥平面MNE.
因此，MN⊥CD，而CD∥AB，
故MN⊥AB.
（2）在Rt△PAD中有PA＝AD，
取PD的中点K，连接AK，KN，
则KN=
DC=AM，且AK⊥PD.
∴四边形AMNK为平行四边形，从而MN∥AK.
因此MN⊥PD.由
（1）知MN⊥DC，又PD∩DC＝D，
∴MN⊥平面PCD.
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