答案:
(1),k∈Z
(2)B
三角函数的周期性与奇偶性
典题导入
3.
(2)(2012·遵义模拟)若函数f(x)=sinax+cosax(a>0)的最小正周期为1,则它的图象的一个对称中心为
( )
A.B.(0,0)
C.D.
解析
(2)选C 由条件得f(x)=sin,又函数的最小正周期为1,故=1,∴a=2π,故f(x)=sin.将x=-代入得函数值为0.
1.根据三角函数的单调性求解参数
[典例1] 已知函数f(x)=sin(ω>0)的单调递增区间为(k∈Z),单调递减区间为(k∈Z),则ω的值为________.
[解析] 由题意,得-=π,即函数f(x)的周期为π,则ω=2.
[答案] 2
[题后悟道] 解答此类问题时要注意单调区间的给出方式,如“函数f(x)在(k∈Z)上单调递增”与“函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)”,二者是不相同的.
针对训练
1.(2012·荆州模拟)若函数y=2cosωx在区间上递减,且有最小值1,则ω的值可以是
( )
A.2 B.
C.3D.
解析:
选B 由y=2cosωx在上是递减的,且有最小值为1,则有f=1,即2×cos=1,
即cos=,检验各选项,得出B项符合.
2.根据三角函数的奇偶性求解参数
[典例2]
[题后悟道] 注意根据三角函数的奇偶性求解参数:
函数y=Acos(ωx+φ)+B(A≠0)为奇函数⇔φ=kπ+(k∈Z)且B=0,若其为偶函数⇔φ=kπ(k∈Z).
针对训练
1.函数y=的定义域为
( )
A.
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.R
解析:
选C ∵cosx-≥0,得cosx≥,∴2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
2.已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论错误的是
( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间上是增函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
解析:
选D ∵y=sin=-cosx,∴T=2π,在上是增函数,图象关于y轴对称,为偶函数.
5.已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若f=-2,则f(x)的一个单调递减区间是
( )
A.B.
C.D.
解析:
选C 由f=-2,得f=-2sin=-2sin=-2,所以sin=1.因为|φ|<π,所以φ=.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
6.已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ω的最小值等于
( )
A.B.
C.2D.3
解析:
选B ∵x∈,则ωx∈,要使函数f(x)在上取得最小值-2,则-ω≤-或ω≥,得ω≥,故ω的最小值为.
7.函数y=cos的单调减区间为________.
解析:
由y=cos=cos得
2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),
故kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).
所以函数的单调减区间为(k∈Z)
答案:
(k∈Z)
8.(2012·广州联考)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sinx,则f的值为________.
解析:
f=f=f=sin=.
答案:
9.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为________.
解析:
∵y=cosx的对称中心为(k∈Z),
∴由2×+φ=kπ+(k∈Z),得φ=kπ-(k∈Z).
∴当k=2时,|φ|min=.
答案:
10.设f(x)=.
(1)求f(x)的定义域;
(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值.
解:
(1)由1-2sinx≥0,根据正弦函数图象知:
定义域为.
(2)∵-1≤sinx≤1,∴-1≤1-2sinx≤3,
∵1-2sinx≥0,∴0≤1-2sinx≤3,
∴f(x)的值域为[0,],当x=2kπ+,k∈Z时,f(x)取得最大值.
11.(2012·佛山期中)已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解:
(1)∵f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵-≤x≤,
∴-≤2x≤π,则-≤sin2x≤1.
所以f(x)在区间上的最大值为1,最小值为-.
12.(
2.(2012·温州模拟)已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)为偶函数(0<φ<π),其图象与直线y=2某两个交点的横坐标分别为x1,x2,若|x2-x1|的最小值为π,则该函数的一个递增区间可以是
( )
A.B.
C.D.
解析:
选A 由函数为偶函数知φ=+kπ(k∈Z),又因为0<φ<π所以φ=,从而y=2cosωx.又由条件知函数的最小正周期为π,故ω=2,因此y=2cos2x.经验证知A满足条件.
3.设函数f(x)=sin(ωx+φ),给出以下四个论断:
①它的最小正周期为π;
②它的图象关于直线x=成轴对称图形;
③它的图象关于点成中心对称图形;
④在区间上是增函数.
以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可).
答案:
①②⇒③④(或①③⇒②④)
4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值;
(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.
解:
∵由f(x)的最小正周期为π,则T==π,∴ω=2.
∴f(x)=sin(2x+φ).
(1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x).
∴sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),展开整理得sin2xcosφ=0,
由已知上式对∀x∈R都成立,
∴cosφ=0,∵0<φ<,∴φ=.
(2)f(x)的图象过点时,sin=,即sin=.
又∵0<φ<,∴<+φ<π.
∴+φ=,φ=.
∴f(x)=sin.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
∴f(x)的递增区间为,k∈Z.
1.函数y=sin的图象的一条对称轴的方程是
( )
A.x=0 B.x=
C.x=πD.x=2π
解析:
选C 由=+kπ得x=π+2kπ(k∈Z).故x=π是函数y=sin的一条对称轴.
2.(2012·广东模拟)函数y=sinsin-coscos在一个周期内的图象是
( )
解析:
选A y=sinsin-coscos=
-cos.∴T==4π,当x=-时,
y=-cos=0;当x=0时,
y=-cos=-<0.∴A选项正确.
4.(教材习题改编)已知简谐运动f(x)=2sin的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为________.
解析:
最小正周期为T==6;
由2sinφ=1,得sinφ=,φ=.
答案:
T=6,φ=
答案:
3
典题导入
[例1] 已知函数f(x)=3sin,x∈R.
(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图;
(2)将函数y=sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象?
[自主解答]
(1)列表取值:
x
π
π
π
π
x-
0
π
π
2π
f(x)
0
3
0
-3
0
描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.
(2)先把y=sinx的图象向右平移个单位,然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍,再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍,得到f(x)的图象.
1.(2012·江西省重点中学联考)把函数y=sin图象上各点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),再将图象向右平移个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为