春季高考北京安徽卷理科数学试题及答案.docx
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春季高考北京安徽卷理科数学试题及答案
绝密★启用前
2000年普通高等学校春季招生考试(北京、安徽卷)
数学(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.
3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式:
三角函数和差化积公式
正棱台、圆台的侧面积公式
其中c′、c分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长
台体的体积公式
其中S′、S分别表示上、下底面积,h表示高
一、选择题:
本大题共14小题;第
(1)─(10)题每小题4分,第(11)—(14)题每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
[]
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
是[]
(3)双曲线
的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是[]
(4)曲线xy=1的参数方程是[]
(5)一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等,那么圆锥与球的体积之比是[]
A.1∶3B.2∶3C.1∶2D.2∶9
(6)直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系是[]
A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.重合
(7)函数y=lg|x|[]
A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增
B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减
C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增
D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减
(8)从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排,含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有
A.120个 B.480个 C.720个 D.840个
(9)椭圆短轴长是2,长轴是短轴的2倍,则椭圆的中心到其准线距离是[]
(12)设α,β是一个钝角三角形的两个锐角,下列四个不等式中不正确的是[]
[]
A.b∈(-∞,0)B.b∈(0,1)C.b∈(1,2)D.b∈(2,+∞)
第Ⅱ卷(非选择题)
注意事项:
1.第Ⅰ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.
2.答卷前将密封线内的项目写清楚.
二、填空题:
本大题共4小题;每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.
(16)下图是一体积为72的正四面体,连结两个面的重心E、F,则线段EF的长是______.
(18)在空间,下列命题正确的是______.(注:
把你认为正确的命题的序号都填上)
①如果两直线a、b分别与直线l平行,那么a∥b
②如果直线a与平面β内的一条直线b平行,那么a∥β
③如果直线a与平面β内的两条直线b、c都垂直,那么a⊥β
④如果平面β内的一条直线a垂直平面γ,那么β⊥γ
三、解答题:
本大题共6小题;共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(19)(本小题满分12分)
在△ABC中,角A、B、C对边分别为a、b、c.证明:
=a(如图一),将△ADC沿AC折起,使D到D′.记面ACD′为α,面ABC为β,面BCD′为γ.
(Ⅰ)若二面角α-AC-β为直二面角(如图二),求二面角β-BC-γ的大小;
(Ⅱ)若二面角α-AC-β为60°(如图三),求三棱锥D′-ABC的体积.
(21)(本小题满分12分)
设函数f(x)=|lgx|,若0<a<b,且(a)>f(b),证明:
ab<1.
(22)(本小题满分12分)
知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
(23)(本小题满分12分)
某地区上年度电价为0.8元/kW·h,年用电量为akW·h,本年度计划将电价降到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间,而用户期望电价为0.4元/kW·h,经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.
(Ⅰ)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;
(Ⅱ)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?
(注:
收益=实际用电量×(实际电价-成本价))
(24)(本小题满分14分)
绝密★启用前
2000年普通高等学校春季招生考试(北京、安徽卷)
数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准
说明:
一、本解答指出了每题考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变试题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算。
第
(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(14)题每小题5分,满分60分。
(1)D
(2)A
(3)C
(4)D
(5)C
(6)B
(7)B
(8)B
(9)D
(10)B
(11)A
(12)D
(13)C
(14)A
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分。
三、解答题
(19)本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识,考查三角函数简单的变形技能,满分12分。
(20)本小题主要考查空间线面关系,及运算、推理、空间想象能力,满分12分。
解:
(Ⅰ)在直角梯形ABCD中,由已知△DAC为等腰直角三角形,
取AC的中点E,连结D′E,
则D′E⊥AC。
又∵二面角a-AC-β为直角二面角,
∴D′E⊥β。
∴∠D′CA为二面角β-BC-γ的平面角。
由于∠D′CA=45°,
∴二面角β-BC-γ为45°。
(Ⅱ)取AC的中点E,连结D′E,再过D′作D′O⊥β,垂足为O,连结OE。
∵AC⊥D′E,
∴AC⊥OE。
∴∠D′EO为二面角α-AC-β的平面角,
∴∠D′EO=60°
(21)本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力,考查分析问题解决问题的能力,满分12分。
证明:
由已知
∵0<a<b,f(a)>f(b),
∴a、b不能同时在区间[1,+∞)上,又由于0<a<b,故必有a∈(0,1);
若b∈(0,1),显然有ab<1,
若b∈[1,+∞),由f(a)-f(b)>0,
有-lga-lgb>0
故lgab<0,
∴ab<1
(2)本小题主要考查直线、抛物线的基础知识,考查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能,满分12分。
依点A在AB上,得直线AB方程
并利用③式整理得
因为A、B是原点以外的两点,所以x≠0
所以点M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点。
(23)本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识,考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,满分12分。
(Ⅱ)依题意有
解此不等式得0.60≤x≤0.75
答:
当电价最低定为0.60元/kW·h仍可保证电力部门的收益比上年增长20%。
(24)本小题主要考查函数及数列的基本概念和性质,考查分析、归纳、推理、运算能力,满分14分。
解(Ⅰ):
函数图象:
由已知条件得:
…………