对于一定的金属，产生光电效应的最小光频率（极限频率）
。
由
=W确定。
相应的极限波长为
=
。
发光强度增加使照射到物体上的光子的数量增加，因而发射的光电子数和照射光的强度成正比。
算式在以爱因斯坦方式量化分析光电效应时使用以下算式：
光子能量=移出一个电子所需的能量+被发射的电子的动能代数形式：
=φ+Emφ=
Em=
其中h是普朗克常数，
，
是入射光子的频率，φ是功函数，从原子键结中移出一个电子所需的最小能量，
是光电效应发生的阀值频率，Em是被射出的电子的最大动能，m是被发射电子的静止质量，v是被发射电子的速度
光的波粒二象性
经过二百多年的研究,二十世纪初,人们终于认识到光既具有波动性,又具有粒子性.一般说来,与光的传播有关的现象,如干涉,衍射,偏振等是光的波动性的突出表现.而涉及光和实物互相作用有关的现象如发射,吸收等现象是光的粒子性的突出表现.所以光既是一种电磁波又是光子流,既具有波动性又具有粒子性,即具有波粒二象性.而且表征粒子性的物理量（能量E,动量P）和表征波动性的物理量（频率υ,波长λ）之间有如下关系：
E=hυ（υ为波的频率）
（1）
P=mν（ν为微粒的运动速度）
（2）
（λ为微粒波的波长）（3）
普朗克常数（h）把光的波动性和粒子性定量地联系起来了,体现了二象性物理量间的内在联系
德布罗意假设：
在光的二象性的启发下,法国物理学家德布罗依大胆的提出:
电子,质子,中子,原子,分子等静止质量不为零的实物微粒都具有波动的性质.这种伴随实物微粒运动的波称为德布罗依物质波,因此,适合于光子的三个关系式
（1）
（2）（3）也适合于实物微粒.一个质量为m,运动速度为ν的实物微粒,其动量P=mν，故:
（4）
式（4）称为德布罗依关系式,表示物质波的波长可由质量m和运动速度ν来求算.
当电子的速度不太高时：
可知电子的波长与其速度成正比，而电子速度从加速电压得到电子的动能
（5）
将2式带入1式得
（6）
把
=9.017
千克，e=1.602
Ch=6.626
带入（6）式得到电子的波长为：
（7）
对一个静止质量为
的电子，当加速电压在30
时，电子的运动速度得大，已经接近光速，由于电子的速度加大而起的电子质量的变化就不可忽略，根据狭义相对论，电子的质量为：
（8）
C代表光速在空气中的速度（c=
）
把（8）式带入（4）式。
即可得到电子的波长：
（9）
在实验室中,电子的动能由加速电压所决定,所以电子能量的增加等于电场对电子所做的功.
（10）
从（10）式可得电子的速度和
的表示式为：
（11）
=
（12）
把（11）（12）代入（9）式得到：
（13）
当加速电压
得低，即
为无穷小，从（11）（13）式分别得到电子的速度和电子波长的经典近似公式：
（14）
将e=1.602
Ch=6.626
=9.017
千克
C=
代入（13）（14）式得：
（15）
（16）
当电压单位为伏特时，单子波长的单位是埃
电子衍射实验
实验仪器：
电子衍射，真空机组，复合真空计，数码相机，微机
实验原理：
1927年美国的戴维森和杰尔麦用电子衍射实验（图1）证实了电子的波动性。
由于电子波与X-射线的波长（λ=10-12~10-8m）相近,用电子束代替X-射线通过衍射光栅（晶体）,投射到屏幕（照相底片）上,就会出现类似的衍射图样,.结果证明电子流如同X-射线一样具有波动性.而且求算出的电子的波长与按德布罗依公式预言的一致,从而证明德布罗依的预言是完全正确的.德布罗依就以这篇毕业论文破天荒的获得博士学位,并于1929年获得诺贝尔物理奖.戴维森和杰尔麦后来也因此获得诺贝尔奖.
1.电子束2.狭缝3.光栅（晶体）4.屏幕
电子的波粒二象性
波在传播过程中遇到障碍物时会绕过障碍物继续传播，在经典物理学中称为波的衍射，光在传播过程表现出波的衍射性，光还表现出干涉和偏振现象，表明光有波动性；光电效应揭示光与物质相互作用时表现出粒子性，其能量有一个不能连续分割的最小单元，即普朗克1900年首先作为一个基本假设提出来的普朗克关系E为光子的能量，v为光的频率，h为普朗克常数，光具有波粒二象性。
电子在与电磁场相互作用时表现为粒子性，在另一些相互作用过程中是否会表现出波动性？
德布罗意从光的波粒二象性得到启发，在1923－1924年间提出电子具有波粒二象性的假。
E为电子的能量，为电子的动量，为平面波的圆频率，为平面波的波矢量，为约化普朗克常数；波矢量的大小与波长λ的关系为，称为德布罗意关系。
电子具有波粒二象性的假设。
电子具有波动性假设的实验验证是电子的晶体衍射实验。
电子被电场加速后，电子的动能等于电子的电荷乘加速电压，即考虑到高速运动的相对论效应，电子的动量由德布罗意关系得真空中的光速，电子的静止质量，普朗克常数，当电子所受的加速电压为V伏特，则电子的动能，电子的德布罗意波长，
加速电压为100伏特，电子的德布罗意波长为。
要观测到电子波通过光栅的衍射花样，光栅的光栅常数要做到的数量级，这是不可能的。
晶体中的原子规则排列起来构成晶格，晶格间距在的数量级，要观测电子波的衍射，可用晶体的晶格作为光栅。
1927年戴维孙,革末用单晶体做实验，汤姆逊用多晶体做实验，均发现了电子在晶体上的衍射，实验验证了电子具有波动性的假设。
普朗克因为发现了能量子获得1918年诺贝尔物理学奖；德布罗意提出电子具有波粒二象性的假设。
导致薛定谔波动方程的建立，而获得1929年诺贝尔物理学奖；戴维孙和汤姆逊因发现了电子在晶体上的衍射获得1937年诺贝尔物理学奖。
衍射实验测量电子的波长
由于电子具有波粒二像性，那么它就应具有衍射现象，电子波的波长一般在
数量级，因此要求光栅系数应具有这个数量级。
通过对晶体结构的研究表明：
构成晶体的原子具有规则的内部排列，相临原子间的距离一般为
数量级，因此若一束电子穿过这种晶体薄膜，就会产生电子波的衍射现象。
原子在晶体中有规则地排列形成各种方向的平行面，每一族平行面可用密勒指数
来表示，这使电子的弹性散射波可以在一定方向相互加强，除次之外的方向则很弱，因而产生电子衍射花样，各晶面的散射线干涉加强的条件是光程差为波长的整数倍，即布拉格公式：
（17）
图1
图2
式中d为相邻晶面的间距，θ为入射角，n为整数。
当该晶体波膜为多晶波膜时（见图1），在多晶波膜内部的各个方向上均有与电子入射线夹角为θ且满足布拉格公式的反射晶面，因此电子波的“反射线”形成以入射线为轴线，张角为4θ的衍射圆锥，如图2，在荧光屏上可观察到一个衍射圆环。
在多晶薄膜内部，有许多平行晶面族（间距为
）都满足布拉格公式（它们的反射角为
），因此在荧光屏上可观察到一组同心衍射圆环，如图3所示。
图3
在图3中，
（18）
R为衍射环的半径，L为衍射距离。
一般情况下，θ值很小，所以有：
因此，
（19）
实验中采用的银晶体属于面心立方晶体结构，相邻平行晶面间距为：
a为晶体的晶格常数，代入布拉格公式，可得：
取n=1即利用其第一级布拉格公式反射，便有：
实验数据与处理
加速电压
反射平面H,K,L
环半径r平均值
德布罗意公式
（
）
波长理论值
误差
10
111
1.732
23.45
0.1327
0.1333
0.1226
8.6%
200
2
27.60
0.1352
220
2.828
38.30
0.1325
311
3.317
45.00
0.1329
11
111
1.732
21.85
0.1236
0.1263
0.117
7.9%
200
2
26.61
0.1303
220
2.828
36.90
0.1279
311
3.317
41.80
0.1235
12
111
1.732
20.8
0.1175
0.1196
0.112
6.8%
200
2
24.9
0.1221
220
2.828
34.65
0.1201
311
3.317
40.20
0.1188
测量衍射环半径r已知银晶体格系数
，镜筒长度
，利用公式
计算得出电子波长。
实验结论：
与电子波长理论值进行比较，可知德布罗意波确实存在。
波粒二象性的意义和后期成果
波粒二象性的意义
波粒二象性的提出与发展对整个物理学产生了极其深远的影响，对波粒二象性的研究，使得人们站起来一种新的关于微观世界物质运动规律的理论即量子力学，同时向人们展示了一种新的物理研究方法，这对着对整个物理学来说，无疑是一次巨大的革命
（一）它实现了波动性与粒子性的空前的统一
（二）它打破了经典理论的观念
（三）对应原理，类比方法等的大量新的研究方法的使用
（四）运用数学方法的新特征
波粒二象性的后期成果
1920年丹麦物理学家波尔提出对应原理。
1925年德国物理学家海森堡，利用波尔的对应原理数学中的矩阵运算，建立了矩阵力学。
提出了矩阵力学的基础理论
1926年奥地利物理学家薛定谔在仔细研究了德布罗意物质波假说以后，引入波函数，利用数学中的本正值问题建立了薛定谔方程，由此创立了波动力学。
1926年波恩在发表文章？
《论碰撞过程中的量子力学》中，提出了几率诠释的概念，把散射波波幅的平方解释为在一个特定方向找到偏斜电子的几率。
几乎同时汤姆孙在偶然的情况下，观察到电子束通过金箱时存在圆环条纹，从而证明了德布罗意物质波的存在。
德布罗意的关于物质波波粒二象性的理论，使人们意识到自然界的统一性，提示了物质的世界具有的普遍性原理，促进了科学界对原子理论的研究，而后来薛定谔就在物质波的基础上建立波动方程的，创立波动力学的。
总结
首先，光的波粒二象性是量子力学的重要组成部分，是研究光的本质的重要环节，对光的波粒二象性研究包括光的波动性与粒子性，着重介绍了其发展历程，并在实验室研究了光的衍射实验与光电效应的近代光学实验，给出了研究光的波粒二象性的一种思路。
其次大学毕业论文是对我们四年来所学知识的归纳总结及自我检测，他所涉及到的知识多而杂，他从多个方面考察了我们综合能力。
可以说通过本次论文既对前面所学课程有了系统的复习，也是对自己所学知识的一次系统的梳理，同时也对很多新知识有了一定的掌握，使自己的专业知识再一次得到提升。
参考文献
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清华大学出版社，2008年-5月第一版.
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机械工业出版社，1979年12月第一版
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高等教育出版社，2008年6月第四版，2008年6月第一次
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光学原理—光的传播、干涉和衍射的电磁理论（第七版）[5]电子工业出版社，2009年10月
[6]杨述武.普通物理实验[M].北京：
高等教育出版社，2007年12月（2010重印
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[10]曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990
致谢
本学位论文是在我的指导老师巴哈迪尔老师的亲切关怀与细心指导下完成的。
从课题的选择到论文的最终完成，阿力甫老师始终都给予了细心的指导和不懈的支持，并且在耐心指导论文之余，巴哈迪尔老师仍不忘拓展我们的文化视野，让我们感受到了文学的美妙与乐趣。
值得一提的是，巴哈迪尔老师宅心仁厚，闲静少言，不慕荣利，对学生认真负责，在他的身上，我们可以感受到一个学者的严谨和务实，这些都让我们获益菲浅，并且将终生受用无穷。
毕竟“经师易得，人师难求”，希望借此机会向巴哈迪尔老师表示最衷心的感谢！
最后要感谢的是我的父母，他们不仅培养了我对中国传统文化的浓厚的兴趣，让我在漫长的人生旅途中使心灵有了虔敬的归依，而且也为我能够顺利的完成毕业论文提供了巨大的支持与帮助。
在未来的日子里，我会更加努力的学习和工作，不辜负父母对我的殷殷期望！
我一定会好好孝敬和报答他们！
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