该函数的解析式.
sin(3x+
)的图像,由图中条件写出
=3迁移与应用
1.函数f(x)=Asin(3x+0)(0<^<2n,A>0,«>0)的部分图像如图所示,则f(0)的值是.
0
/
、7兀
\辽才
0
x
-J2
求函数表达式.
2.函数f(x)=Asin(3
由图像确定函数y=Asin(3x+0)的解析式,主要从以下三个方面来考虑:
(1)A的确定:
根据图像的“最高点,最低点”确定A;
2n
(2)3的确定:
结合图像先求周期T,然后由T=(3>0)确定3;
3
(3)0的确定:
常用的方法有:
①代入法:
把图像上的一个已知点或图像与x轴的交点代入(此时,A,3已知)求解.(此
时要注意交点在上升区间还是在下降区间上)
为3X+0=2n.
3x+0)+b的性质及综合应用=3活动与探究5
3
x+0—nn+1(0<00)为偶函数,且函数y=f(x)
n
nn的值;
(2)将函数y=f(x)的图像向右平移卡个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长
6
为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求g(x)的单调递减区间.
=3迁移与应用
2n
有最大值为2,当x=~3时,y有最小值为—2.
(1)求函数f(x)表达式;
(2)若g(x)=f(—x),求g(x)的单调递减区间.
(1)函数y=Asin(3x+0)(A>0,3>0)为偶函数?
0=kn+?
k€Z);为奇函数?
0=kn(k€Z).同理,函数y=Acos(3x+0)(A>0,3>0)为偶函数?
0=kn(k€Z);
n
为奇函数?
0=kn+—(k€Z).
(2)求y=Asin(3x+0)或y=Acos(3x+0)的单调区间时,首先把x的系数化为正的,
再利用整体代换,即把3x+0代入相应不等式中,求解相应的变量x的范围.
当堂检测
1.函数y=2sinjx+于丿的周期、振幅各是().
A.4n,——2B.4n,2
C.n,2D.n,——2
要得到y=sin)2x—-3的图像,只要将y=sin2x的图像().
C.
n
=2,0=—6
5.
已知函数f(x)=Asin(3x+0)(A>0,3>0,|0|<专)上的最高点为(2,2),该最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点(6,0),求函数解析式,并求函数在x€[—
6,0]上的值域.
答案:
课前预习导学
【预习导引】
1.0,2,
预习交流
3
最大值
2n1
3T=
71
2.值域
周期T=
3n
亍,2n
2nn4n7n
,3,3,3
最小值振幅
10n
,3
初相3x+0
预习交流2—5,
2n1
35
预习交流3D
2n
4.R[—A,A]kn
1o1
n_n_n_
2kn+2kn+2kn
222
预习交流4略
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1解:
(1)列表:
n
列表时2x+—取值分别为0,
3
+2,k€Z
3n
+
co
2kn
3n
—,2n,再求出相应的x值和y值.
x
n
n
n
7n
5n
—6
12
3
12
6
n
2x+e
0
n
"2"
n
3n
2
2n
y
0
2
0
—2
0
',12,2,寸,0,77,—2,善,0.
n
石,0,”
(3)连线:
用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如下图所示.
(2)描点:
在直角坐标系中描出点
肿
2
0—
/
|\3
兀/
:
\/氏5ti
6/
iy126r
O
JL\;)
12\[/
-2
利用这类函数的周期性,我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展,得到
2sin2x+才,x€R的简图(图略).
这个函数的振幅是2,周期是=n,频率是f=〒:
7n1
kn+p(k€Z).
12,kn+話(k€Z).
函数的递减区间为
71
同理,递增区间为kn
1-,初相是专
n3
1
迁移与应用图略振幅为3,周期是4n,频率为47,
n1n
初相为——,相位是--^.
活动与探究2解:
方法一:
(先平移后伸缩)y=sinx的图像
横坐标缩短为原来的+
向左平移千个单位
4
sin3x+n
-y=sinx+4的图像
横坐标不变
纵坐标不变
横坐标不变In
I勺图像纵坐标伸长为原来苗2倍y=2sin?
x+T丿的图像.
横坐标缩短为原来的+
方法二:
(先伸缩后平移)y=sinx的图像
向左平移令个单位
纵坐标不变
y=sin
3x的图像
y=sinj3x+*的图像
纵坐标伸长为原来的横坐标不变
2sinj3x+;
【勺图像.
n
活动与探究3解:
将y=sinx的图像向右平移y个单位得到
把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的
sini[x的图像上所有点的纵坐标变为原来的
23
y=sinix—-3的图像,冷的图像,再把y=
3
2倍得到y=2sini[x-£的图像.
v?
3丿
2倍得到y=sinjlx
•••f(x)的解析式为f(x)=2sini
n
8,
1n
•••由y=£Sin2x的图像向右平移号个单位便得到
28
y=qsin|2x—-4的图像.
活动与探究4解:
由图像知,A=3.
T5nnn十
•「_=——=—,•T=n.
2632'
2n
•w=~r~=2.
•-y=3sin(2x+0).
下面求0.
方法一:
(单调性法)
•••点才,0在递减的区间上,
2n
•
T+0*
■./口2n
+0=0,得+$=n+2kn,k€Z,丿3
n
•-0=2kn+—,k€Z.
3
冗
又•••|0|vn,•0=亍
方法二:
(最值点法)将最高点坐标12,3代入y=3sin(2x+0),得3sin2X令+0
•-0+n=n+2kn,k€乙
62
n
0=2kn+—,k€Z.
n
又•••|0|方法三:
(起始点法)函数y=Asin(3x+0)的图像一般由“五点法”作出,而起始点的横坐标x正是由3x+0=0解得的,故只要找出起始点的横坐标x,就可以迅速求得初
相0.
由图像求得xo=-^.
6
丄匚「n\n
故0=—3Xo=-2XI——=—.
n
方法四:
(平移法)由图像知,将y=3sin2x的图像沿x轴向左平移~6个单位,就得到
本题图像,故0=2X=+
63
迁移与应用1•¥
nx+n
2.f(x)=4sin
Ux+4丿
活动与探究5解:
(1)•••f(x)为偶函数,
6=kn+-2(k€Z),
=kn+牛,k€Z.
横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到
rxn卄2n8n_,、/、十
当2knW—~3W2kn+n(k€Z),即4kn+~^WxW4kn+丁(k€Z)时,g(x)单调
递减.
因此g(x)的单调递减区间是
(k€Z).
2n
~3~,
4kn+
8n
迁移与应用⑴f(x)=2sin
1.B2.D3.
.n
(2)|-g+kn,
【当堂检测】
C4•仔気
]1212