《二次函数》单元复习资料doc.docx

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《二次函数》单元复习资料

二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用，是近几年中考热点之一。

学习二次函数，对于学生数形结合、函数方程等重要数学思想方法的培养，对拓宽学生解题思路、发展智力、培养能力具有十分重要意义。

二次函数主要考查表达式、顶点坐标、开口方向、对称轴、最大（小）值、用二次函数模型解决生活实际问题。

其中顶点坐标、开口方向、对称轴、最大（小）值、图象与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题出现。

利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识结合的综合题以解答题形式出现：

一类是二次图象及性质的纯数学问题；一类是利用二次函数性质结合其它知识解决实际问题的题目。

考点1:

二次函数的有关概念

一般的，形如y=ax’+bx+c（a,b,c是常数，a^O）的函数叫做二次函数。

例m取哪些值时，函数■贰）'+祕是以x为自变量的二次函数？

（1）抛物线的形状

二次函数y=ax2+bx+c（a^O）的图像是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

（2）抛物线的平移

二次函数y=ax‘向右平移h个单位，向上平移k个单位后得到新的二次函数y=a（x-h）2+k,进一步化简计算得到二次函数y=ax'+bx+c。

新函数与原来函数形状相同，只是位置不同。

（3）抛物线与坐标轴的交点

抛物线与x轴相交时y=0,抛物线与y轴相交时x=0。

（4）抛物线y=ax?

+bx+C中a、b、c的作用

a决定当开口方向，a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

a和b共同决定对称轴。

C决定与y轴交点。

（5）抛物线顶点坐标、对称轴、最大（小）值

顶点式:

y=a（x-h）2+k顶点坐标（h,k）,对称轴x=h,最大（小）值k。

2,=a「-/“4ac—b2、,bo】/,、“,4ac-b2

一般式：

y=ax*+bx+c顶点坐标（,）,对称轴兀=,最大（小）值为

2a4a2a4a

考点2：

二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系

例1.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30。

角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。

如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：

ni）与飞行时间t（单位：

s）之间具有关系h=20t-5t\

考虑以下问题

（1）球的飞行高度能否达到15m?

如能，需要多少飞行时间？

（2）球的飞行高度能否达到20m?

如能，需要多少飞行时间？

（3）球的飞行高度能否达到20.5m?

为什么？

（4）球从飞出到落地要用多少时间？

例2.某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水•连喷头在内，柱高为0.加.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图

（1）所示.

根据设计图纸已知：

如图

（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=-X，+2x+.

（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？

（2）如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？

考点3:

求二次函数的解析式

例1.如图13,已知二次函数的图像经过点A和点B.

（1）求该二次函数的表达式；

（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

（3）点P（m,m）与点Q均在该函数图像上（其屮m>0）,且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离.

考点4：

二次函数的图象、性质在生活中的应用

例1•利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）.当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：

当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用10（）元.设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）・

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：

“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？

请说明理由.

例2.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：

第一年的年产量为工（吨）时，所需的全部费用匸（万元）与厂满足关系式,投

入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价於，二二（万元）均与工满足一次函数关系.（注：

年利润=年销售额-全部费用）

丹・・2畫+14

（1）成果表明，在甲地生产并销售工吨时，20，请你用含兰的代数式表示甲地当年的年销

售额，并求年利润片（万元）与工之间的函数关系式；

（2）成果表明，在乙地生产并销售工吨时，〔°（可为常数），且在乙地当年的最大年利润

为35万元.试确定v的值；

（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据

（1）,

（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？

例3.（2010河北中考26题）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.

.丄

若只在国内销售，销售价格尸（元/件）与月销量*（件）的函数关系式为.卩=而才+150,成本为20

元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为库內（元）（利润二销售额-成本-广告费）.

若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为〃元/件（刀为常数，10<^<

丄

40）,当月销量为左（件）时，每月还需缴纳而/元的附加费，设月利润为伽卜（元）（利润=销售额-成本-附加费）.

（1）当x=1000时，y=元/件，”内=元；

（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；

（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？

若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；

（4）如杲某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？

中考最值问题探究

中考压轴题中频繁出现有关最值问题，常让很多同学束手无策，望而生畏，其实解这类试题关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型（函数增减性、线段公理、三角形三边关系等）进行分析与突破，现结合近年各地试题的特点进行剖析，希望能给同学一定的启示与帮助。

一、在线段之和的最值问题中酝酿与构建，借用线段公理求解

例1（湖北荆门）如图，MN是半径为1的00的直径，点A在00上，ZAMN=30°,B%AN弧的中点,P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）

解析：

PA+PB的线段之和最小值求法的依据是“平面儿何中，两点之间线段最短”的数学模型与原理，故可作B关于MN的对称点是H,连接AH交MN于点P,AH的长就是PA+PB的线段之和的最小值，借助圆圆周角定理，可知根据ZA0H=90o,巧妙构造RtAOAH,根据题意运用勾股定理可求出AH二爲，所以PA+PB的最小值为遐故选B。

例2圆锥底面半径为10cm,

点评：

本题是课本著名原题“泵站问题”的变形与应用，解决本题的关键做出点B或A关于MN的对称点，然后利用线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短，并借助圆心角和圆周角的关系，构造直角三角形运用勾股定理计算最小值来解决问题.不管在什么背景图屮，有关线段之和的最短问题，常化归与转化为线段公理“两点之间，线段最短”。

而化归与转化的方法大都是借助于“轴对称点”。

（1）求圆锥的表面积;

（2）若一只蚂蚁从底面一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM,求它所走的最短距离。

思路点拨：

利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股定理求出母线长，进而借助扇形面积公式求出表面积；蚂蚁在圆锥表面上行走一圈，而圆锥侧面展开后为扇形，故可在展开图（扇形）上求点A到M的最短距离（即AM的长）。

解析：

（1）圆锥的母线长saXM+E・4°伽），圆锥侧面展开图扇形的弧长山如加虫啦翊）,

•SlS底+5伽3也

（2）沿母线SA将圆锥的侧面展开，得圆锥的侧面展开图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离，由

（1）

7R■.90©

知SA=40（cm）?

弧AA,=20牝期），40jt,又s.v=as'°©M,sm=3Azm,/.

短距离是50cm.

点评：

对于立体图形中要计算圆锥曲面上两点之间的最短距离，一般把立体的圆锥的侧面展开成扇形，转化为平面图形借助线段公理计算。

将立体图形转化为平面图形是初中阶段常用的基本方法与思想。

二、在具体情境中最值问题，借用函数图象的增减性求解

例3（山东济南）如图，已知抛物线yu^+bx+c经过点（1,-5）和（-2,4）

（1）求这条抛物线的解析式.

（2）设此抛物线与直线y=x相交于点力，〃（点〃在点/的右侧），平行于A轴的直线

与抛物线交于点”，与直线y-x交于点兀交兰轴于点只求线段mv的长（用含朋的代数式表示）.

（3）在条件

（2）的情况下，连接处BM.是否存在贰的值，使△尿砌的面积S最大？

若存在，请求出期的值，若不存在，请说明理由.

p+c・・6

（2）由题意得

点、坐标为（4,4）将尸加代入尸x得尸刃,

解析：

（1）由题意得I■越解得e—2,6—4,故抛物线解析式为y^x—lx—\

点"的坐标为（刃，in）,同理点M的坐标为5nf—2m—4）m-（nl—2/—4）=—d+3耐4

（3）作彩丄,酬于点C,

丄丄2

OP=nuS=2MN・0氏2MN•BC=2（—力+3肪4）=—2（ni--）

2<0,当沪■:

时，S有最大值

点评：

由具体情境酝酿与构建最值问题，通常有两种形式，一是在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题，解此类问题的关键是通过题意及现实数量关系，确定出相关函数的表达式，另一类是在几

何图形中有关面积的最值问题，解这类问题关键是要掌握图形面积的求解与表示，构建相应的函数关系式，进而根据函数图象的增减性确定其最值，并注意问题的实际意义。

本题涉及两函数间的距离计算，距离可能是平行于x轴的AB两点间的距离：

ABxHAx-BxI;也可能是平行于y轴的AB两点间的距离：

ABy=|Ay-By|,在本题中还可进一步设问，求线段MN长度的最大值，这种问题在近几年各地中考中频繁出现，解这类题往往是通过用变量表示MN的长度，进而构建相应的函数模型，借助函数图象的增减性进行求解最值。

三在线段之差的最值问题，借用三角形三边关系求解。

例4：

（贺州）如图，抛物线4的顶点为与卩轴交于点

（1）求点久点〃的坐标.

（2）若点P是x轴上任意一点，求证：

AS

（3）当皿最大时，求点P的坐标.

7.-lrS-x+2--7（x+3）!

4.3

・•・〃（（），2）,•・•4*,:

.A（-2,3）

（2）当点戶是初的延长线与龙轴交点时，PA-PB^AB.当点p在/轴上又异于粉的延长线与才轴的交点时，在点只A.〃构成的三角形中，PA-PB

PA-PB

二B0丄炉."BOPs\AHP、

（3）作直线M交x轴于点只由

（2）可知：

当PA-PB最大时，点P是所求的点作AHL0P于H.

由

（1）可知：

AH=3、OH%OBt：

.0P=\.故P（4,0）

点评：

点P为任意一点时，要探究PA-PB的最大值，可数形结合，将其转化为相关图形（三角形），三边关系始终满足两边之差小于第三边（IPA-PB|

“三角板”与函数图象为背景的中考试题赏析

二角板是学生学习数学的常用工具，一幅二角板，由丁•它的边和角的特殊性，蕴含丰富的数学知识，新课程实施以来，以三角板为背景的中考试题倍受命题者的青昧，大量出现在各地的中考试题中，本文从近年中考试题中以三角板与函数图象为背景的试题加以分类赏析，与读者共享。

一、三角板与反比例函数图象的结合例仁（金华）如图1,将一块直角三角板少占放在平面直角坐标系中，,厶点三在第一象限，过点三的双曲线为Z"x.在工轴上取一点F,过点F作直线CM的垂线？

，以直线？

为对称轴,

图2

线段3经轴对称变换后的像是。

•刖0

⑴点。

'与点三重合时，点匸的坐标是

⑵设丹卫），当C剖与双曲线有交点时，I的取值范围是。

解析：

⑴当点0’与点上重合时，/垂直平分Q4,则易知QP・04-4，点P的坐标是（町0）；

⑵巾图形的对称变换和含30°角的直角三角形的性质易得匸的取值范围是：

4血<2（3或

感悟：

涉及反比例函数的问题，有一个非常实用的基本结论：

如图2,从反比例函数偽*°）的图象上任意一点越兀刃分别作山丄畫轴，乖足为三，虫°丄A轴，垂足为匚，则矩形磁冶的面积

=OfxOC=|x|x|7|=|^l=l*lo这个基本结论揭示了反比例函数的本质（几何意义）。

运用此结论，还可宜接解决一些中考试题。

中考链接:

1.（鄂州）如图3：

点亠在双曲线上，丄轴于三，且△▲0"的血积Smob=2,则｝二

2.（孝感）如图4,点二在双曲线'

■y■■

買上，点三在双曲线畫上，且AB//x轴，匚、二在工轴上,

4

■—

点F为双曲线畫上的一点，且皿丄

若四边形府CD的血积为矩形，则它的血积为

3.（遵义）如图5,已知双曲线’r"",为・7*'°）

工轴于点三，丹丄A轴于点三，PA、PB分别交双曲线壽于二、匚两点，则△ND的血积为

4.（东营）如图6,直线？

和双曲线y"^>DJ交丁=、三两点，F是线段Q上的点（不与工、三重合），

过点三、三、F分别向工轴作垂线，垂足分别是厂、二、三，连结皿、0』、0P,设△丄。

7面积是5、

△加Q面积是场、面积是禺，则（）

（&?

肪3岡》场A昂（咖■■民（功£・的《$

9

答案：

由反比例函数的几何意义易知：

1,*--4;2,矩形ac®的面积等于2；3,的面积为：

0；

4,应选二o

二、三角板与二次函数（抛物线）的结合

例2：

（株洲）：

孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线『=么*仗《<0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点・•，两直角边与该抛物线交于二、三两点,请解答以下问题：

⑴若测得。

上・少・2忑（如图7）,求2的值；

⑵对同一条抛物线，孔明将厂角板绕点二旋转到如图8所示位置时，过三作&F丄蛊轴丁•点二测得

OF・1,写出此时点三的坐标，并求点二的横坐标;

⑶对该抛物线，孔明将三角板绕点二旋转任意角度时惊奇地发现，交点上、匸的连线段总经过一个固

定的点，试说明理由并求出该点的坐标。

解析：

⑴设线段4卩与匸轴的交点为L,由抛物线的对称性可得L为4E中点，又由三角板的特殊性可知,

三点的坐标为：

5（2,-2）,将5（2,一］）代入抛物线得，

⑵此问解法较多，现举例如下：

如图8,过点上作M丄嵩轴于点三，

解法一：

证厶a。

s\OFB和抛物线的有关知识可求得点上的横坐标；解法二：

由解肓•角三角形和抛物线的有关知识可求得点三的横坐标；解法三：

利用勾股定理和抛物线的有关知识可求得点三的横坐标。

■丄詔■丄”8

⑶解法一：

设二（-»•,2）（w>0）,3（<,2）（«>0）,

设直线拙的解析式为：

得0・伸

OF丽，m

线恒过点（:

-2）

（2）■—MM—

，解得2，乂易知△仙O

.2詔

解法二：

设三（-M,2）（»>0）,5（?

：

2*）（»>0）,线Q与『轴的交点为厂,

根据Qg

W8■~OC,W+^,OC,W

ABOB

化简，得2.乂易知△MOs△。

期，・・・OFBF,

0.5^nm

:

.»0•材,・・.祕・4,・・.0C・2为固定值。

故直线恒过其与丁轴的交点C（：

-2）o

由前可知，4,4,22由

2由

由前可知,

解法三：

祕的值也可以通过以下方法求得：

+3卅加■“亦■（W+N）a+詔+打呼

例3：

（东营）：

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点三

（2,0），点匸（1,0）,如图9所示；抛物线y-^-M-2经过点三。

⑴求点三的坐标；⑵求抛物线的解析式；⑶在抛物线上是否还存在点F（点三除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？

若存在，求所有点F的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：

⑴如图10,过点三作&D丄兀轴，垂足为二。

易证△成DC仝△CM0,得妙=OC=1,

CD-Q4-2,即点三的坐标为（3,1）

⑶假设存在点F,使是直角三角形。

即

1如图10,若以▲厂为直角边，点匚为直角顶点，则延长尿至点斤使得BC=CI（得到等腰直角三角形虫创，过吒作乌“丄兀轴，垂足为M。

易证△呦％△册C,即CAf-CD-2,=

__v■—""X"2

易知点&的坐标为（-1,-1）,经检验勺在抛物线22±o

2如图11,若以M为直角边，点三为直角顶点，则过点三作砂丄3使得怨得到等腰直角三角形加岛，过点互作列丄丿轴，垂足为"，同样可证△碍"竺△040。

可得点U的坐标

■2”■丄器.2

为（-2,1）,经检验込同样在抛物线'■沪■严'上。

3如图12,若以"为直角边，点二为直角顶点，则过点■二作囲丄W,使得的得到等腰直角三角形过点乓作A"丄丿轴，垂足为二同样可证△甸川竺厶*。

。

可得点乓的坐标

-丿■丄-—*-2

为（2,3）,经检验今不在抛物线22.I-.0

图10图"图佃图13

评析：

例3实际上是由2010北京市密云县的一道屮考试题改编而成。

中考链接：

（2010密云）如图13,将腰长为荷的等腰*A-i4SC（ZC是直角）放在平面直角坐标系屮的第一•象限，其屮点三在轴上，点三在抛物线丿■/+俪・2上，点匚的坐标为（一1,0）.

⑴点三的坐标为—，点三的坐标为—；

⑵抛物线的关系式为其顶点坐标为_；

⑶将二角板3绕顶点三逆时针方向旋转90。

，至IJ达△^乜‘的位置•请判断点「、厂是否在⑵中的抛物线上，并说明理由。

例4：

（绍兴）抛物线4与匸轴交于点三，顶点为三，对称轴EU与工轴交于点匚.

⑴如图14,求点三的坐标及线段的长；

⑵点F在抛物线上，直线""°C交：

r轴丁.点0,连接".①若含4沪角的直线二角板如图15所示放直，其中，一个顶点与匚重合，直角顶点二在f2±,另一顶点三在农上，求直线月仑的函数解析式;

②若含刃0角的玄角三角板一个顶点与点厂重合，玄角顶点三在玄线上，另一个顶点三在W上,

yy

图仙图侶图16

解析：

⑴把需・o代入抛物线解析式得^"7,即

肥为对称轴，&口，・・.兀・1。

求点匸的朋标…

（2）①如图15,过点二分别作QM丄工轴，测丄PQ,垂足分别为M,Vo

先证四边形血昭为矩形，再证△力“处DRN,可得四边形辺媲为正方形。

即Z%7■45°,•••△恥°为等腰直角二•角形，

...CQ.5C.3,...0fl・4,即三、。

的坐标为处,耳«4,0）,设直线％的函数解析式为丿求得冷・7b・4,所求直线％的函数解析式为丿・7+4。

②当点F在对称轴的右侧时，如图16,过点二作丄凭轴，垂足为点M,过点二作3丄P。

，垂足为N,设点Q（",^CDU-ZADAT+ZMDA-90°,

CD

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・.・3・W,.••而■丽，・・."//胆，・••两帀，.••页■口

赏析：

以上试题，借助三角板和函数基本图形的基本特征出发，体现了以下特点：

1.试题背景突出学科核心主干•把握数学问题的本质

核心主干是数学知识的结构中的''连结点”，在上面的试题中，题冃以函数图象为载体，将二角板在函

数图象中的不同放置方式作为试题的基本背景，如例1将含的直角三角板放在直角坐标系中与反比例函数图象相结合设置了一个操作性的对称变换的综合性试题。

例4分别将含45。

、30°角的直线三角板按题中婆求放置，考查了一次函数、一次函数、•「角形全等和相似等初中数学的核心内容。

试题的巧妙Z处在丁•问题屮的三角板为求解问题提供的数量依据。

把握数学问题的本质，体现数形结合。

2•试题解法基于数学活动经验，关注学生的学习过程

以上试题的一个基木特点是：

基于学生数学活动经验，关注“过程与方法”在获得、应用数学知识的过程中的重耍作用。

解决以上试题的数学活动经验主婆包括2个层次：

第一，来源丁•日常生活经验，如对的“三角板”的直接认识；第二，建立在日常生活经验基础之上的探究活动，如例2将一把含30°角的直角三角板的玄角顶点置于平面玄角坐标系的原点二处旋转，探索在旋转过程屮三角板与抛物线的交点的连线段

Q总经过一个固定的点匚（.，-2）Q

3•试题考查注重理性数学思维，体现能力立意命题理念

数学不仅是一种重要的“工具”和“方法”，而是人们学习的一种思维模式。

在解决以上试题的过程中,学生要通过观察、实验、归纳、类比等获得猜想，并在解决问题的过程中进行合情推理，有条理地表达自己的思考过程。

如例3以二次函数为载体，设置了一块等腰直角三角板放在直角坐标系第一象限，斜靠在两坐标轴上的情境，要求探索是否还存在一点匸，使仍然是以虫匕为直角边的等腰直角三角形，要用分类思考方法。

强调了数学索养，以能力立意，以考查学生的思维品质为出发点和归宿，还考虑到学生升入高中学习所必备的数学知识和素质，考查了进一步学习的潜质。

二次函数常见关系式符号的判定

二次函数是初中数学的重点内容之一，它的图像是市字母系数a、b、c的符号确定的，反之在给定抛物线的条件下如何确定字母系数的范围呢?

现将二次函数的图像与字母系数的关系归纳如下：

（1）抛物线开口向上；A抛物线开口向下.

（2）恻O抛物线开口大小，同越大开口越小

（3）金、三同号=对称轴在丁轴左侧；金、乂异号=对称轴在严轴右侧；

三=0=对称轴为】轴.

（4）c>0二抛物线与匸轴的交点在匸轴上方；e

©■0=抛物线必过原点.

（5）Aa-4flff>0=抛物线与兰轴有两个交点；=抛物线与工轴有唯一交点；

沪・4砌<0=抛物线与工轴没有交点.

（6）a+b+c的符号由点（1,）的位置来确定；“的符号由点（-1,）的位

置来确定；+的符号由点（2,4a+2b+c）的位置来确定。

-4«

0

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