分析可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.
i
解因为a=20=1,b=（—3）2=9,c=^~9=—^9,d=】=2,而一而<1<2<9,所以cv
2
avdvb.故应选A.
说明比较实数的大小有好多种方法，在具体求解时应根据题目自身的特点选择容易比较的方法.
考点7实数的运算
例7（市）
（1）有这样一个问题：
很与下列哪些数相乘，结果是有理数？
问题的答案是（只需填字母）：
分析
（1）可利用实数的运算验证，看结果情况判断.
（2）设出这个数，从而列式求解
（2）设这个数为x,则根据题意，得x-J2=a（a为有理数），所以x=-—（a为有理数），这个
说明本题是考查实数的运算，其题型以前不常见，虽然不难，但请同学们应注意关注.另外，应注意
避免对无理数的几种错误认识：
（1）错误认为无限小数就是无理数如1.414141•-（41无限循环）；
（2）错误
认为带根号的数是无理数，如44;（3）错误认为两个无理数的和、差、积、商也还是无理数，如J3+J2,
43-J2都是无理数，但它们的积却是有理数；（4）错误认为无理数是无限不循环小数，所以无法在数
轴上表示出来，这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有一个唯一位置，如42,我们可以用几何作图
的方法在数轴上把它找出来，其他的无理数也是如此^
三、同步训练
1
1.实数一2,0.3,-,72,-兀中，无理数的个数是（）
7
A.2B.3C.4D.5
2.通过世界各国卫生组织的协作和努力，甲型H1N1流感疫情得到了有效的控制，到目前为止，全球
感染人数约为20000人左右，占全球人口的百分比约为0.0000031，将数字0.0000031用科学记数法表示为
（）
A.3.1X105B.3.1X106C.3.1X107D.3.1X108
3.平方根节是数学爱好者的节目，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的平方根，
例如2009年的3月3日，2016年的4月4日.请你写出本世纪你喜欢的一个平方根（题中所举例子除外）.
年月日.
4.|2|-（1仞°+V4.
专题二整式
一、考点扫描
1.代数式的有关概念：
代数式是由运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子.求代数式的值的方
法：
①化简求值；②整体代入.
2.整式的有关概念：
只含有数与字母的积的代数式叫做单项式；几个单项式的和，叫做多项式；所含
字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项^
3.去括号与添括号：
括号前面是正号，把括号和括号前的正号去掉后，括号里的各项不改变符号；括
号前是负号，把括号和括号前的负号去掉，括号里的各项都要改变符号；给括号前添正号，括在括号里的各项都不改变符号；给括号前添负号，括到括号里的各项都要改变符号^
4.合并同类项：
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变^
5.乘法公式：
平方差公式：
（a+b）（a—b）=a2—b2；完全平方公式：
（a土b）2=a2±2ab+b2.
6.整指数藉的运算：
amxan=am+n,（am）n=amn,（axb）n=anxbn,am+an=am+n（a乒0）.
7.零指数藉与负整数指数藉：
不等于零的数的零次藉等于1.即a°=1（a乒0）.不等于零的数的负整数次藉
一1
等于这个数的正整数次藉的倒数.即ap=土（a乒0,p是正整数）.
8.整式的运算：
（1）加减运算：
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接.
整式加减的一般步骤是：
①如果遇到括号，按去括号法则去括号；②合并同类项.
（2）乘除运算：
单项式
与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的藉分别相乘，对于只在一个单项式出现的字母，则连同它的指
数作为积的一个因式；单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；多项式与多项式相乘，就是先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.单项式相除，
把系数、同底数藉分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
9.因式分解：
多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积.分解因式要进行到每一个因式
都不能再分解为止.分解因式的常用方法有：
提公因式法和运用公式法^
二、考题分析考点8列代数式
例8（株洲市）孔明同学买铅笔m支，每支0.4元，买练习本n本，每本2元.那么他买铅笔和练习本
一共花了元.
分析买铅笔m支，每支0.4元，贝U需钱0.4m元，买练习本n本，每本2元，贝U需钱2n元，由此可以列式求解.
解因为买铅笔m支，每支0.4元，买练习本n本，每本2元，
所以铅笔和练习本一共花了（0.4m+2n）元钱.
说明列代数式的关键是正确掌握数学关联词，并且书写代数式时应注意规性^
考点9藉的运算
例9（市）下列计算中，结果正确的是（）
A.a2-a3=a6B.（2a）•（3a）=6aC.（a2）3=a6D.a6+a2=a3
分析为了能准确地获得答案，可利用藉的运算法则逐一计算验证^
解因为a2-a3=a5,（2a）-（3a）=6a2,a6-a2=a4,所以选项A,B,D都是错误的，只有（a2）3=a6
运算是正确的,故应选C.
说明要能正确地猎取答案，就必须熟练掌握藉的运算法则，弄清楚每一个法则的前因后果^
考点10同类项
例10（贺州市）已知代数式2a3bn+1与—3am2b2是同类项，贝U2m+3n=.
分析利用同类项的定义，构造出m和n的简易方程，求得m和n即可求解.
解因为代数式2a3bn+1与一3am2b2是同类项，所以3=m—2,且n+1=2,
解得m=5,n=1,当m=5,n=1时，2m+3n=2X5+3x1=13.
说明同类项是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，根据同类项的定义可得字母指数的方程，然后再求代数式的值，这是中考中常出现的题型^
考点11去括号
）
B,—2（a—b）=-2a+b
D,—2（a—b）=—2a+2b
例11（市）下列运算正确的是（
A.—2（a—b）=—2a—b
C.-2（a—b）=—2a—b
分析利用去括号的法则进行化简
解因为一2（a—b）=—2a+2b,所以D是正确的，故应选D.
说明去括号时一定要注意两点，一是括号前面是负号，去掉括号时，括括号的各项都要改变符号，
二是括号前面有因数或因式时，去掉括号时，应运用乘法的分配律运算，不能漏掉任何一项^
考点12乘法公式
例12（江市）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图甲），把余下的部分
B.（a—b）2=a2—2ab+b2
D.（a+2b）（a—b）=a2+ab—2b2
拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）
A.（a+b）2=a2+2ab+b2
C.a2—b2=（a+b）（a-b）
分析依题意，甲、乙两个图形中阴影部分的面积相等，由此，可列式验证
解因为甲图的阴影部分的面积=a2-b2,而乙图的阴影部分面积=（a+b）（a-b）,
所以a2—b2=（a+b）（a—b）.故应选C.
说明求解本题时要注意图形在变换过程中面积的不变性，由此可以利用几何图形的面积公式求得
考点13整式运算与因式分解
例13（市）给出三个多项式：
【x2+2x—1,■―x2+4x+1,■―x2一2x.请选择你最喜欢的两个多项式进行
222
加法运算，并把结果因式分解.
分析给定的是三个多项式，要求选择其中的两个进行加减运算，显然，选择的方法不惟一，即结果
不惟一，进而因式分解的结果也不惟一，但只要符合题意即可^
解答案不惟一.如，情形一：
—x2+2x—1+【x2+4x+1=x2+6x=x（x+6）;
22
情形二：
—x2+2x—1+】x2—2x=x2-1=（x+1）（x—1）;
22
•—v2+41-i-—v2——2xx21——1\2
旧）iz-~-•x+4x+l+x乙人x+2x+l—（x+l）.
说明本题若改成“请选择你最喜欢的两个多项式进行加减法运算”，则情况则更多，同学们不妨一
考点14规律探索
a5
例14（0一组按一定规律排列的式子：
一a2,一，
2
（n为正整数）.
分析先观察分母，发现从1,2,3,4,…，随项数依次递增，第n个式子的分母应该是n；而分子是关于a的藉，且指数分别是2,5,8,11,…，而2=3X1—1,5=3X2-1,8=3X3-1,11=3X4-〔，•••，第n个式子的分母应该是3n-1;再来看各项前面的符号特点是逢奇是负，逢偶是正，由此可以探索到结果.
3n1
第n个式子是（-）n一.
说明对于规律探索类的问题，一定要观察一些特殊式的结构特点，并从中找到规律性的问题，然后再将这一规律推广，得到一般的结论.
三、同步训练
5.小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（）
A.（a—b）2=a2—b2B.（—2a3）2=4a6
C.a'+a?
=Na，D.—（a—1）=—a—1
6.一个矩形的面积为a3—2ab+a,宽为a,则该矩形的长为.
7.分解因式x2—4y2+x—2y=.
8.已知M=x+5a—1,N=—2x4+ax3—x2,2xM+N安一2的值与x无关，求a的值.
专题三分式
一、考点扫描
1.分式：
整式A除以整式B,可以表示成A的形式，如果除式B中含有字母，那么称山为分式.此时,
BB
若B丰0，则△有意义；若B=0，则A无意义；若A=0且B乒0,则—=0.
BBB
2.分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
3.通分与约分：
根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通
分；通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次藉的积.把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分^
4.分式的乘除、乘方法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘；分式的乘方要把分子、分母分别乘方.
5.分式的加减法法则：
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加；异分母的分式相加减，先通分，
化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算^
6.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.对于化简求值的题型
要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值.
二、考题分析
考点15分式的意义
例15（黔东南州）当x时，有意义.
x1
分析要使分式有意义，必须满足分式的分母不为0,从而可得到不等关系求解.
1
解要使分式有意乂，只要分母x+1丰0,即x乒—1,
x1
所以当x乒一1时，分式—有意义.
x1
说明分式无意义时，只要分式的分母等于0,进而构造出方程求解.
例16（市）已知分式工」的值为0,那么x的值为.
x1
分析要使分式的值为0,必须满足分式的分子为0,而分式的分母不为0,从而列式求解
解由分式的分母x+1=0,得x=—1,而当x=—1时，分母x—1乒0,~,x1,
所以分式—的值为0时，x的值为一1.
x1
说明处理分式的值的为0时，一定要注意强调分母不等于0,否则容易出现错误.
考点16分式的基本性质
分析先对分子与分母分别分解因式，再约去公因式
22
m4mn4n
2.2
m4n
2
m2nm2n
=m2nm2nm2n
首先得进行因式分解，以便更好地发现公因式，进而约分
说明对于分式的分子或分母是多项式时,考点17分式的运算
x42xx
例18（市）化简y——土己+,其结果是
x4x4x2x2
C.-三d.里
x2x2
对第二个分式的分子进行符号变换，进而进行括号的加法运
A.-土
分析先对括号的第一个分式分解因式,算，同时将除法转化为乘法，再约分化简
x242x-=[x2x2_^2xx2
x24x4x2x2x22x2x
x2x4x4x4x4x28—队X=.故应选D.x2x2xx2
说明有关分式的运算，一般都是考查整式的因式分解及分式的加减乘除混和运算，要注意运算顺序.
先乘除后加减，有括号先算括号里的或按照乘法的分配律去括号.
例19（市）先化简，再求值：
1—-—+，其中x=2.
x2x2
分析先进行括号的减法运算，同时将除法转化为乘法，并分解因式，对分式化简，再将条件中x的
取值代入计算.
2」,一,
1x1x1x21
解1+=X=
x2x2x2x1x1x1
当x=2时，原式==1.
21
说明解决分式的化简求值试题，要正确运用分式的通分或约分，对分式进行必要地化简，然后根据条件中给定的字母的取值，代入化简后的式子进行计算^
考点18开放型
立x—=土
aabab
当b=—1,并取a=2时，原式==1.
21
说明解决此类的分式化简与求值问题时，除了要能正确地先运用分式通分或约分法则，对分式进行
化简，然后根据分式有意义的情况下取字母适当的值代入化简后的式子进行计算.本题的a不能取0和土1.
三、同步训练
9.下列各式从左到右的变形一定正确的是（）
2.
ax_a1y_yn_naa_ab
bxb1xx2mmabb2
二次根式：
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.（3）同类二次根式：
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式
2.二次根式的性质：
（1）Va=a（aA0）、,a2=a,
（2）Vab=VaVb（a>0,b>0）,
3.二次根式的运算：
二次根式的加减：
①先把各个二次根式化成最简二次根式；②再把同类二次根式分别合并.二次根式的乘除法：
按ja・jb=jab,—=区运算，再化成最简二次根式.
、一b'、b
二、考题分析
考点19最简二次根式
例21（市）下列根式中，不是.最简二次根式的是（）
A.万B,V3C.WD.72
分析对照最简二次根式的概念逐一筛选^
解因为J1=—，所以任不是最简二次根式,故应选C.
说明最简二次根式的判断，必须遵循其两个条件，缺一不可^
考点20确定二次根式的字母值
例22（市）已知Jl2n是正整数，则实数n的最大值为（）
A.12B.11C.8D.3
分析由于二次根式J12n是正整数，则其式必须满足12-n>0,且12-n是一个完全平方数，由
此可以求解.
解因为<12n是正整数,所以有12-n>0,且12—n是一个完全平方数,
所以nv12,且12-n是一个完全平方数，此时，要使实数n的最大值，则n=11.
故应选B.
说明求解本题时一定要注意：
既要考虑
J12n是正整数，又必须考虑实数n的最大值，若一不小
心，求得的解就有可能使题目本身失去意义
考点21实数的估算
例23（眉山市）估算J27-2的值（）
分析首先得估算出J27的大小围，由于25V27V36,于是可得到J分的大小围发，进而求解
解因为25v27V36,即5vJ27V6,所以3<、,27—2V4,即岳一2的值在在3到4之间,故应
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