平行四边形的判定典型例题及练习.docx
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平行四边形的判定典型例题及练习
平行四边形
知识点复习
1、平行四边形的判定
平行四边形的判定方法
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
④对角线相互平分的四边形是平行四边形。
2、平行线等分线段和三角形中位线定理
（1）平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
（2）平行线等分线段定理的推论：
经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。
（3）三角形的中位线：
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（4）三角形中位线定理：
三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一
半。
3、三角形的重心
（1）重心的定义：
三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。
（2）重心的性质：
三角形的三条中线相交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边
上中线的三分之一。
二、典型例题讲解
模块1平行四边形的判定
题型1平行四边形的判定
例题1如图所示，在平行四边形ABCD中，AE,CF分别是DAB，BCD的平分线,求证：
四边形AFCE是平行四边形。
例题2：
如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，以AD为边向左侧作等边三角形
ADE。
（1）求CAE的度数。
（2）取AB的中点F，连接CF、EF。
试证明四边形CDEF是平行四边形。
求证：
四边形AECF是平行四边形。
变式练习：
1如图，在ABC中，中线BD，CE相交于点O,F、G分别是OB、OC的中点，连接
EF,FG,GD,DE，求证：
四边形DEFG是平行四边形。
2如图，已知AB//DE，ABDE，AFDC，求证：
四边形BCEF是平行四边形。
3•如图，四边形ABCD中，AD//BC，作AE//DC交BC于E。
ABE的周长是25cm,
四边形ABCD的周长是37cm，那么ADcm。
题型2:
添加条件证明平行四边形
例题4：
如图，在四边形ABCD中，DACACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件不能是（）
A、ADBCB、OAOCC、ABCDD、ABCBCD180
例题5：
A、B、C、D在同一平面内，从①AB//CD•，②ABCD:
③BC//AD:
④
BCAD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有种。
变式练习
1.（如图，四边形ABCD的对角线交于点0,下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四
边形（）
A、OA0C,0BDO
B、BADBCD,AB//CD
C、AD//BC,ADBC
D、ABCD,AOCO
2.已知在四边形ABCD中,是平行四边形的是（
AB//CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD
）
3•如图所示，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE,AF,
CE,CF，添加条件，可以判定四边形AECF是平行四边形。
（填一个符合要求
的条件即可）
4•四边形ABCD中，AD//BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是
（横线上只需填一个你认为合适的条件即可）
题型3:
平行四边形的判定与性质的综合应用
例题6：
已知：
如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点0,E是BO的中点，过点B作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF。
（1）求证：
FBCO；
（2）求证：
四边形AOBF是平行四边形。
例题7：
如图所示，0为等边ABC内任意一点，OD//BC,OE//AC，
OF//AB，并
且D、E、F分别在AB、BC、AC上，求证：
ODOEOFBC.
例题8:
如图所示，BD是ABC的角平分线，点E,F分别在边BC,AB上，且
DE//AB,EF//AC.
（1）求证：
BEAF;
（2）若ABC60,BD6,求四边形ADEF的面积。
（3）
（4）
变式练习
3.如图所示，在平行四边形ABCD中，C60,M,N分别是AD,BC的中点,
BC2CD.
（1）求证四边形MNCD是平行四边形;
（2）求证BD.一3MN.
题型4:
平行四边形中的动点问题
例题18:
如图，在四边形ABCD中，AD//BC,且AD>BC,BC=6cm，点P、Q分别从A、
C两点的位置同时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动•试探究：
几秒后四边形ABQP是平行四边形？
例题19：
如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AD6,BC16,E是BC的中点。
点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动。
点P停止运动时，点Q也随之停止运动。
当运动时间t为多少秒时，以P,Q
E,D为顶点的四边形是平行四边形。
变式练习
1•如图：
在四边形ABCD中，AD//BC,且AD>BC,BC=6cm,AD=9cm,P、Q分别从A、
C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，
秒时直线QP将四边形截出一个平行四边形.
AD24cm,BC26cm，点P从点A出发，以1cm/S的速度向点D运动；点Q从点C
同时出发，以3cm/s的速度向点B运动。
规定，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，使PQ//CD和PQCD,分别需经过多少时间？
为什么？
模块2:
三角形的中位线
题型1：
直接利用三角形的中位线性质
点，则DEF的周长为（）
例题2：
如图，ABC周长为1,连接ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2018个三角形的周长为（）
A、22016
B、22017
C、22018
D、22019
变式练习
1.已知三角形的
3条中位线分别为3cm、
4cm、6cm
，则这个三角形的周长是（）
A、3cm
B、
26cmC、
24cm
D、65cm
2•如图所示，EF是
ABC的中位线，
BD平分
ABC,交EF于D,若DE2，则
EB
题型2:
利用三角形的中位线解决图形的面积问题
例题3:
如图，DE是ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G,若
CEF的面积为12cm2，则Sdgf的值为（
变式练习
2
cm。
2•如图，在ABC中，BAC90,AB4,AC6，点D,E分别是BC,AD的中点,
AF//BC交CE的延长线于F，则四边形AFBD的面积为。
题型3:
与三角形中位线有关的动点问题
例题4：
如图，四边形ABCD中，A90,AB8,AD6,点M,N分别为线段BC,AB
上的动点（含端点，但点
M不与点B重合），点E,F分别为DM,MN的中点，贝UEF长
度的最大值为（）
C、4
变式练习
1.如图，已知四边形ABCD中，R,P分别是BC,CD边上的点，E,F分别是AP,RP的
中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，下列结论成立的是（）
A、EFP的周长不变
C、点P到EF的距离不变
B、线段EF的长与点P的位置无关
D、APR的大小不变
2.如图，已知四边形ABCD中，C90,点P是CD边上的动点，连接AP,E,F分别
是AB,AP的中点，当点P在CD上从点D向点C移动过程中，下列结论成立的是（）
A、线段EF的长先减小后增大B、线段EF的长不变
C、线段EF的长逐渐增大D、线段EF的长逐渐减小
题型4:
三角形中位线性质的综合应用
例题5：
如图，在ABC中，点D是边BC的中点，点E在ABC内，AE平分BAC，CEAE,点F在边AB上，EF//BC.
（1）求证：
四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？
证明你所得到的结论。
变式练习
1•如图所示，已知AO是ABC中BAC的平分线，BDAO的延长线于点D,E是BC
1
的中点。
求证：
DE一（ABAC）.
2
课后作业
一、选择题。
1.下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（）
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C•一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D.对角线相互平分的四边形是平行四边形
2.能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）
A、AB//CD,ADBCB、AB,CD
3.
小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）
若BC6，则DF的长是（）
A、3
5.如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC,
BC4BF4CG,EF与DG相交于点0,若DFE40,DGE80，那么DOE
的度数是（）
A、100B、120C、140D、160
7.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,ADBC5，DC7，AB13，点P从点
A出发以3个单位/s的速度沿ADDC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单
位/s的速度沿BA向终点A运动。
当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）
A、4sB、3sC、2sD、1s
8.如图，平行四边形ABCD中，AB6cm，AD10cm，点P在AD边上以每秒1cm
的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往
返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以
P,D,Q,B四点组成平行四边形的次数有（）
A、1次B、2次C、3次D、4次
二、填空题。
9•如图，在ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，B50，先将ADE沿DE折
叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1，贝UBDA1的度数为。
&
10•如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出平
行四边形。
11.如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，ADBC,BAC90,将此
三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边
形，则能拼出平行四边形个。
Bb—c
12.已知直角坐标系内有四个点0（0,0）,A（3,0）,B（1,1）,C（x,1），若以O,A,B,C,为顶
点的四边形是平行四边形，贝Ux=。
13.如图，在等边三角形ABCD中，BC6cm,射线AG//BC，点E从点A出
发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度
运动。
如果点E,F同时出发，设运动时间为t（s），当t=s时，以A,C,E,F
为顶点的四边形是平行四边形。
三、解答题
14•如图，四边形ABCD中，AABC90,AD1,BC3,E是边CD的中点,
连接BE并延长，与AD的延长线相交于点F•
求证：
四边形BDFC是平行四边形。
15.如图，在平行四边形ABCD中，AECG,BFDH,连接EF,FG,GH,HE.求证:
四边形EFGH是平行四边形。
16.在平行四边形
ABCD和平行四边形ADEF中，AB8,AF6,ABAF,M,N分别
AEB,
17.如图，平行四边形ABCD是对角线AC、BD交于E点，DF//AC,DFC
连接EF。
（1）求证：
DFAE;
（2）求证：
四边形BCFE是平行四边形。
是DC的
18如图所示，在四边形ABCD中，ADBC,P是对角线BD的中点，M
中点，N是AB的中点。
请判断PMN的形状，并说明理由。
C
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