解三角形角度高度问题.docx
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解三角形角度高度问题
第2课时角度、高度问题
学习目标1.准确理解实际测量中常用的仰角、俯角、方向角等概念.2.掌握测量高度的常见
方法.3.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件，解决航海等角度问题.
知识点一测量仰角（或俯角）求高度问题
思考如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，
D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？
（已知测角仪器的高是
h）
在Rt△AEC中，AE＝ACsinα，AB＝AE＋h.
梳理问题的本质如图，已知∠AEC为直角，CD＝m，用α，β，m表示AE的长，所得结果
再加上h.
知识点二测量方向角求高度
A处时测得公路北侧远处一山顶
思考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到
D在北偏西75°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在北偏西65°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?
5sin15°
答案先在△ABC中，用正弦定理求
BC＝5ssiinn1105，°°再在Rt△DBC中求DC＝BCtan8.°梳理问题本质如图，已知三棱锥D－ABC，DC⊥平面ABC，AB＝m，用α，β，m，γ表示
DC的长.
1.在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针.（×）
2.在仰角或俯角中，视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影.（√）
类型一测量仰角（或俯角）求高度问题例1如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角
分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于（）
解析方法一设AB＝xm，则BC＝xm.
∴BD＝（10＋x）m.
解得x＝5（3＋1）m.
∴A点离地面的高AB等于5（3＋1）m.
方法二∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.
∴AB＝ACsin45＝°5（3＋1）m.
反思与感悟
（1）底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形.
（2）底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进.
跟踪训练1某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为m.（精确到1m）
答案811
解析如图，过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，由正弦定理，得
ADsin∠ADB1000×sin135°
AB＝＝＝10002（m）.
sin∠ABDsin30°
在Rt△ABC中，BC＝ABsin35≈°811（m）.
答山的高度约为811m.
类型二测量方向角求高度问题
例2如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得
山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
考点解三角形求高度
题点测量俯角（仰角）求高度
解由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
ABAD由＝，sin15°sin45°
2
800×得AD＝ABsi·nsi1n545°＝°6－22＝800（3＋1）（m）.
4
即山的高度为800（3＋1）m.
反思与感悟此类问题特点：
底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题
跟踪训练2如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东
＝45°，则塔AB的高是（）
A.10m
C.103m
考点解三角形求高度题点测量方向角、仰角求高度答案D解析在△BCD中，CD＝10m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
BCCD由正弦定理，得sin∠BCBDC＝sin∠CDDBC，
解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则CD＝103t，BD
＝10t，
在△ABC中，由余弦定理，有
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA
＝（3－1）2＋22－2（3－1）·2·cos120＝°6.
又∠ABC∈（0°，60°），∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
BDCD
在△BCD中，由正弦定理得BD＝CD，
sin∠BCDsin∠CBD
∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝6.
∴t＝106小时≈15分钟.
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.
反思与感悟解决航海问题一要搞清方位角（方向角），二要弄清不动点（三角形顶点），然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题跟踪训练3甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
考点解三角形求距离题点测量方向角求距离
解如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，
BC＝at（海里），
AC＝3at（海里），
B＝90°＋30°＝120°，
由BC＝AC，得sin∠CABsinB
BCsinBat×sin120sin∠CAB＝AC∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇
1.某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在地面选择了A，B两个观测点，且A，B，C三点在同一直线上，如图所示，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β.若AB＝
A.asinα－βsinα
A.sinβ
asinβsinα－β
答案
解析
在△ABC中，由正弦定理得sinA3B0＝°sinA1C35，
∴AC＝1002.
AC＝CDsinθ＋90°sin15
3.一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和
45°，则这个海岛的宽度为m.（精确到0.1m）
考点解三角形求宽度
题点已知高度、俯角（仰角）求宽度
答案5856.4
4.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，
则甲、乙两楼的高分别是.
考点解三角形求高度
题点测量俯角（仰角）求高度
答案203米，4033米
3
解析甲楼的高为20tan60°＝20×3＝203（米），乙楼的高为203－20tan30＝°203－20×33＝4033（米）.
5.某船开始看见一灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见该灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是km.
考点解三角形求距离
题点测量方向角求距离
答案153
解析设灯塔位置为A，船的初始位置为O，船的终止位置为B，由题意知∠AOB＝30°，∠OAB＝120°，
则∠OBA＝30°，
所以由正弦定理，得AB＝153，
即此时船与灯塔的距离是153km.
1.在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐，
如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式.
2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题
、选择题1.为了测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB的高为（
D.30m
3
A.201＋3m
C.20（1＋3）m
考点解三角形求高度
题点测量俯角（仰角）求高度答案A
2.在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进2003m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为（）
A.200mB.300mC.400mD.1003m
考点解三角形求高度
题点测量俯角（仰角）求高度
答案B
解析如图，△BED，△BDC为等腰三角形，
BD＝ED＝600m，
BC＝DC＝2003m.
在△BCD中，由余弦定理可得
cos2θ＝
6002＋20032－20032
2×600×2003∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，4θ＝60°.
在Rt△ABC中，AB＝BCsin4θ＝2003×23＝300（m），故选B.
3.海上有A，B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是（）
C.52nmileD.56nmile考点解三角形求距离题点测量方向角求距离答案D
解析在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°.
BCABBC10由正弦定理，得＝，∴＝，
sinAsinCsin60°sin45°
解得BC＝56nmile.
4.
灯塔B
已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（）
A.北偏东10°B.北偏西10°
C.南偏东10°D.南偏西10°
考点三角形中角度的求解
题点三角形中角度的求解
答案B
解析如图，因为△ABC为等腰三角形，
45°，
45°，此人沿南偏东40°方向前进10m到D，
解析如图所示，
BC＝3h，AC＝h，
∴AB＝3h2＋h2＝2h（米）.
6.某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为
测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为（）
A.15mB.5mC.10mD.12m
考点解三角形求高度
题点测量俯角（仰角）求高度
答案C
解析如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，
则OC＝OA＝h.
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，
则OD＝3h.
在△OCD中，∠OCD＝120°，
CD＝10，
由余弦定理，
得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，
即（3h）2＝h2＋102－2h×10×cos120，°
∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5（舍）.
即塔高为10m.
7.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）
A.102海里B.103海里
C.203海里D.202海里
考点解三角形求距离
题点测量俯角（仰角）求距离
答案A
解析如图所示，易知，
在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得
BC＝AB，sin30＝°sin45，解得BC＝102.
8.要测量河流一侧某建筑物的高度，在河流的另一侧选择甲、乙两个观测点，在甲、乙两点分别测得该建筑物顶点的仰角为45°，30°，在水平面上测得该建筑物和甲地连线与甲、乙两
地连线所成的角为120°，甲、A.1002m
C.2003m考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度答案D解析由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h.在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC×CD×cos∠BCD，得
乙两地相距500m
则该建筑物的高度是（）
B.400m
D.500m
由已知得BC＝h.
答案
3π
4
解析在△ABC中，由余弦定理，得
考点
解三角形求距离
题点
测量俯角（仰角）求距离
答案
32＋6
20
∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
所以BC＝3s0insin13350＝°°152.
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×tan60
＝156（米）.
的仰角均为60°，AC＝0.1km.若AB＝BD，则B，D间的距离为km.
解析在△ABC中，∠BCA＝60°，∠ABC＝75°－60°＝15°，AC＝0.1km，
由正弦定理，得sin∠ABBCA＝sin∠ACABC，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，
222
60＋2h－4h得cos∠PBA＝，①
2×60×2h
2242
602＋2h2－3h2
cos∠PBC＝3.②
2×60×2h
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③
即（28t）2＝92＋（20t）2－2×9×20t×－21，
239
128t2－60t－27＝0，∴t＝4或t＝－32（舍去），
设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60°前进40m到达C处，
即BC＝40，∠CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°.
ACBC
在△ABC中，＝，
sin∠ABCsin∠CAB
即AC＝40，∴AC＝202.
sin30°sin135°
过点A作AG⊥BC，垂足为G，此时仰角∠AGE最大，
在△ABC中，由面积公式知
11
21×BC×AG＝12×BC×AC×sin∠ACB.
＝AC×sin∠ACB＝202sin15，∴AG＝202sin（45°－30°）
＝20222×23－22×12＝10（3－1）.
在Rt△AEG中，∵AE＝AGtan∠AGE，∴AE＝10（3－1）×33＝10－1033，∴塔高为10－1033m.
15.为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不
能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西3千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
考点解三角形的实际综合应用
题点解三角形的实际综合应用
解如图所示，考点为A，检查开始处为B，设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上两点到考点的距离为1千米.
在△ABC中，AB＝3（千米），
AC＝1（千米），∠ABC＝30°，由正弦定理，得sin∠ACB＝sinAC30×°AB＝23，∴∠ACB＝120°（∠ACB＝60°不合题意），∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1（千米）.
在△ACD中，AC＝AD＝1，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1（千米）.∵B1C2×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟.
∴最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格
1
所以∠CBA＝21（180°－80°）＝50°，
60°－50°＝10°，故选B.
5.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为则此时两船间的距离为（）
A.2h米B.2h米
C.3h米D.22h米
考点解三角形求距离
题点测量俯角（仰角）求距离
答案A
222
3h2＝h2＋5002＋h×500，解得h＝500（m）（负值舍去）.故选D.
、填空题
9.如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3mm，
BC＝22mm，AB＝29mm，则∠ACB＝.
考点解三角形求角度题点解三角形求角度
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