1过点A11B11且圆心在直线x+y20上的圆的方程是docx.docx
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1过点A11B11且圆心在直线x+y20上的圆的方程是docx
1、过点A（1,-1）,B（-1,1）,且圆心在直线x+y—2二0上的圆的方程是（）
A、（x-3）2+（y+l）2=4B、（x+3）2+（y-l）2=4C、（x-1）2+（y-l）2=4D、（x+1）2+（y+1）2=4【解】由于圆心在直线x+y—2=0±,故可设圆心坐标为：
（a,2—a）,半径为：
r,圆方程为：
{
2、2?
，解得a=l,厂2=（a+l）2+（2_a_l）2
厂2=4。
故所求圆的方程为：
（兀_1）2+（）,_1）2=4,选C。
2、若曲线C：
x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0±所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为（）
A.（一8,-2）B.（一8,-1）C.（1,+8）D.（2,+8）
［答案］I）［解析］将OC化为标准方程得，（x+a）2+（y—2a）2=4,/.恻心C（―a,2a）,半径r=2,
r|—a|>2,
|2a|>2,
III条件知，5/.a>2.
—a<0,
、2a>0,
3、动点A在圆x2+y2=l上移动吋，它与定点B（3,0）连线的中点的轨迹方程是（）
Q1
A.（x+3）2+y2=4B.（x-3）2+y2=lC.（2x-3）2+4y2=1D.（x+-）2+y2=-
［解析］设中点M（x,y）,则点A（2x—3,2y）,TA在圆x2+y2=l±,A（2x-3）2+（2y）2=l,B|J（2x-3）2+4y2=1,
4、已知圆的半径为2,圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x+4y+4=0相切，则圆的方程是（）
A.x2+y2—4x=0B.x2+y2+4x=0C・x2+y2—2x—3=0D.x2+y2+2x—3=0
［解析］设圆心为C（m,0）（m>0）,因为所求圆与直线3x+4y+4=0相切，所以丄气呈」丄=2,整理得：
V3l+42
14
|3m+4|=10,解得m=2或m=—-（舍去），故所求圆的方程为（x—2）2+y2=22,即x2+y2—4x=0,故选A.
5、圆x2+y2-2x-2y+l=0±的点到直线x-y=2的距离的最大值是（）
A.2B.1+迈C・2+乎D.1+2边
［解析］圆的方程化为标准形式：
（x-l）2+（y-l）2=l,圆心（1,1）到直线x—y—2=0的距离d="_「2=边,
V2所求距离的最大值为边+1,故选B.
6、若点P（l,l）为圆（x-3）2+y2=9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）
A.2x+y—3=0B.x—2y+l=0C.x+2y—3=0D.2x—y—1=0
［解析］圆心C（3,0）,kcp=—山kcp・k«N=—1,得心=2,所以MN所在直线方程是2x—y—1=0,故选D.
7、圆心在曲线y=-（x>0）上，且与直线3x+4y+3=0相切的血积授小的圆的方程为（）
X
A.（x—1）'+（y—3尸=（乎尸B.（x—3）'+（y—1尸=（¥）'C.（x—2）2+（y—1）2=9D.（x—£）'+（y—£）?
=9
12
19
则古的最小值为（）
［答案］D［解析］由条件知圆心C（2,1）在直线ax+2by-2=0±,Aa+b=l,
F+f+为3+恥，等号在*%即b=2-炬aY-1时成立.
规律：
圆心互换位置，其余不变。
将直线2x-y+A=0沿兀轴向左平移1个单位，所得直线与IM］x2+y2+2x-4y=0相切，则实数2的值为
［解析］设圆心处标为（讥）3。
）,
|3a+：
+3l
则圆心到直线3x+4y+3=0的距离A—2一祚（叱+1）肴（4+1）=3,等号当口仅当a=2时成立.
此时圆心处标为（2,寺），半径为3,故所求圆的方程为（x—2）?
+（y—寸）2=9.
8>若直线ax+2by—2=0（a>0,b>0）始终平分恻x2+y2—4x—2y—8=0的周长,
解析：
直线2兀-y+2=0沿兀轴向左平移1个巾・位后的直线/为:
2（x+l）-y+2=0.已知圆的圆心为O（-1,2）,半径为厉・
解法1：
直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有
12x（-14-1）-24-21逅,得兄—3或7.
12^直线兀cos〃+ysin&+d=0与兀sin〃一ycosO+b二0的位置关系是（
的值令关
A.平行B.垂直C.斜交D.与选B：
cos&・sin&+sin0（-cos&）=013、圆/+）"—2兀—2y+l=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（
A.2B.1+yp2.C.1D.1+2*x/2
2
解析:
B圆心为C（l,l）,r=l,14、圆x2+y2-4x=0在点P（1,V3）处的切线方程为（）
A.x+VSy—2=0B.兀+—4=0C.x—V3y+4=0D.x+2=0
解析：
D（9_22+y2=4的在点p（i,73）处的切线方程为（1-2）（兀-2）+V3y=4
15、已知圆C的半径为2,圜心在兀轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与【员1C相切，则圆C的方程为（）
A.+y~—2x-3=0B.+4x=0C.x*"+y*"+2x—3=0D.兀~+）厂一4x=0
3ci+4oo
解析：
D设圆心为（a,0）,（d〉0）,=2^=2,U-2）2+/=4
16、圆：
x24-y2-4x+6y=0和圆：
x2+y2-6x=0交于A,B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）
A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y一9=0D・4x-3y+7=0
答案：
C由平而儿何知识知4B的垂直平分线就是连心线
17、两条直线丫=x+2a,y=2x+a的交点P在圆（x-1）2+（y-1）2=4的内部，则实数a的取值范围是（A.—7l或a<—7C.—ZwaVlD.a21或aW—占
y=x+2ano1
得P（a,3a）,A（a-l）2+（3a-l）2<4,A—y=2x+a5
18、当8为任意实数时，直线（a-l）x-y+a+l=0恒过点C,则以C为圆心，半径为诟的圆的方稈为（
A.x2+y2—2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x—4y=0D.x2+y2—2x—4y=0
【解析】将已知直线化为y—2=（a—l）（x+l）,可知直线恒过定点（一1,2）,故所求圜的方程为x2+y2+2x-4y=0.
19、已知圆x2+y2+2x—4y+l=0关于直线2ax—by+2=0（a,bwR）对称,贝Ijab的取值范围是（）
I。
【解析】由
A.
C.
D.
55o5
【解析】将圆的方程配方得：
（x+lF+（y—2）2=4,若圆关于已知直线对称，即圆心在直线上代入整理得：
a+b=l,彳+牛吕，故选A.
20、以点（2,—1）为圆心，与直线3x~4y+5=0相切的圆的方程为（）
A.（X—2F+（y+1）2=3B.（兀+2）2+（），—1尸=3C.（x-2）2+（y+1）2=9D.（x+2）2+（y-1）2=9
【解析】由题意知圆的半径"一=3,圆的方程为（—2）2+（），+1）2=9.【答案】C
21、已知圆的方程为x2+y2~6x~8y=0.设该圆过点（3,5）的最长弦和最短弦分别为AC和3D,贝lj四边形ABCD的而积为（）
A.10^6B.20^6C.3（）V6D.40^6
【解析】由x2+/-6x-8y=0,得（兀一3）2+©—4）2=25,圆心为（3,4）,半径为5.
又点（3,5）在圆内，则最长弦L4CI=10>最短的弦\BD\=2-^25-（3-3）2-（4-5）2=2y[24=4V6,・：
S四边形Abcd=2^10X4^6=20^6.【答案】B
22、已知|员]C与宜线x—y=0及x—y—4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）
A.（x+1）2+^-1）2=2B.（x-l）2+（y+l）2=2C.（x-l）2+（y-1）2=2D.（x+1）2+^+1）2=2
AC:
（x-1）2+®+I）2=2.答案：
B
23、若直线x+ay-a=0与直线ax~（2a~3）y-l=0垂苴则a的值为（）
A.2B.-3或1C.2或0D.1或0
解析：
当沪0吋,显然两直线垂直;aHO吋,则-丄•=得a二2.故选C答案：
C
ala一3
24、已知点J（l,-1）,2/（-1,1），则以线段/〃为直径的恻的方程是（）
A.x+y=2B.x+/=V2C.x+y=\D.x+y=4
解析：
圆心坐标为（0,0）,半径r=y-1-12+1+12=^2,・・・圆的方程为/+y=2.答案：
A
25、点必川在|员I/+F+总+2y—4=0上，且点必W关于直线厶x—y+l=0对称，则该圆的半径为（）
A.2^2B.a/2C.3D・1
£
解析：
必川关于直线/对称，则直线7为侧的中垂线，故过此圆圆心（一务-1）,所以k=4.所以原方程可化为#
+/+4z+2y-4=0,即（x+2）2+（y+l）2=9,所以其半径为3•答案:
C
B.
（0,
C.
0）
D.（-8,*）
26、[i^|x+y+2^r—4y+l=0关于直线2站一妙+2=0（白，Z?
GR）对称，则日b的取值范围是（）
解析：
由题可知直线2恣一"+2=0过恻心（一1,2）,故可得a+b=\,乂因/W（字）2=*答案：
A
3
27、圆心在曲线尸；30）上，且与直线3卄仃+3=0相切的面积最小的圆的方程为（）
A.（x—1尸+（y—3尸=（学尸B.（X—3）2+（y—1）2=（^）2C.（x—2）2+（y—2=9D.（x—萌）'+（y—寸5尸=9
|3a+^+3|
解析：
设圆心&-）（，>0）,则圆心到直线的距离4—.—‘而咒（
33
即臼=2时，取“=”，此时圆心为（2,半径为3,圆的方程为匕一2）2+（y—；；）2=9.答案：
C
28、已知圆G：
a+l）2+（y-l）2=l,圆。
与圆G关于直线x-y-\=0对称,则圆G的方程为（）
A.（a^+2）2+（y—2）'=1B.{x—2）"+（y+2）'=1C.（/+2）'+（y+2）'=ID.{x—2）2+（y—2）2=1解析：
・・•圆G:
（x+lF+Cr—1尸=1,.・・圆G是以（-1,1）为圆心，1为半径的圆.
乂丁点（—1,1）关于直线x—y—1=0的对称点为（2,—2）,・••圆C＞的方程为（x—2）'+（r+2）2=l,故选B.
29、过点/（I,-1）,〃（一1,1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（）
A.（a-3）2+（/+1）2=4B.（a+3）2+（/-1）2=4C.匕一1尸+（尸一1尸=4D.（^+1）2+（y+1）2=4
x=\.
得
X'='Vy【解析】初中垂线方程为（z-l）2+（y+l）2=a+l）2+（y-l）2,即尸y,解,
[x+y—2=0,半径zr/o+T,・・・圆的方程为（x-l）2+（y-l）2=4.【答案】C
30.圆心在曲线y=-（z>0）±,且与直线3x+4y+3=0相切的血积放小的圆的方程为（）
3x+y+3【解析】据题意设圆心为［j，寸（Q0）,若直线与恻相切，则I员I心到直线的距离即为半径.故有R=—-—2寸3以¥+312（3、
2—=3,当且仅当3尸节，即*=2时取等号，即所求圆的最小半径为3,此时恻心为（2,-J,故恻的方
程为（x-2）2+fy-^2=9.
A.1
B.2
D.2^3
C.
31、已知方>0,直线（F+l）x+日y+2=0与直线x-by~l=0互相垂直，则"的最小值等于（）
解析：
由两条直线垂直的充要条件，可得一仝严・+=—1,解得日所以妇岁点乂因为方〉0,故b+器2\b・*=2,当且仅当b气,即0=1时取等号.答案：
B32、若直线日砂+2=0@>0,Q0）被恻F+"2—y+l=0截得的弦长为4,则£+*的最小值是（）
A.边+弓B.2^2+3C.3D.|
乙O
解析：
圆的方程可化为a+l）2+（y—2）2=4,其圆心c（—1,2）,半径尸2,由弦长为4可知圆心在直线上,即日X（―
1）-227+2=0,即卄2*2,而丄+£=钗（吐辿+斗严）=钗（3+逆+》詁><（3+恥）=迈+弓，当比仅当丝斗ab2ab2ab2vv2ab
时取等号，即日=2迈一2,〃=2—1时取等号.答案：
A
33、将直线y=3/绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）
A.y=-*+*B.y=-*卄1C.y=3x-3D.y=*+l
解析：
将直线y=3才绕原点逆时针旋转90°得到直线y=—扌X,再向右平移1个单位，所得到的直线方程为y=—*（x—1）,即y=—*x+g.答案：
A
34、一个动点在圆x+y=l上移动时，它与定点（3,0）连线中点的轨迹方程是（）
A.（^r+3）2+y=4B.（%-3）2+y=lC.（2%-3）2+4/=1
解析：
令圆上的动点为（尤），y°）,它Ai定点（3,0）连线中点为（x,y）,则有
广并+隔=1,
Ab+3
=>（2^-3）2+（2y）2=1=>（2x-3）2+4/=1.答案：
C
_/o+O厂2
35、已知圆G：
（x+l）'+（y—1）'=1,圆G与圆G关于直线x—y—1=0对称，则圆Q的方程为（）
A.（x+2）~+（y—2）2—1B.（x—2）2+（y+2）2—1C.（x+2）'+（y+2）~=lD.{x—2）2+（y—2）2—1
从而可知圆G的圆心为（2,-2）,又知其半径为1,故所求圆Q的方程为（%-2）2+（y+2）2=l,选B.
36、过原点且倾斜角为60°的直线被圆%2+），-4y=0所截得的眩长为（）
A.V3B.2C.>/6D.2>/3
答案：
1）解析:
直线方程为=V3x,圆的标准方程为F+（y-2）2=4,
圆心（0,2）到直线的距离d=1屁0_2|=i,「诵径定理知所求弦长为J=2>/22-12=2>/3，故选D.、
J（⑹+（—1）2
37、已知圆0：
x2+y2=5和点A（l,2）,则过A且与圆0相切的直线与两坐标轴围成的三角形的而积等于・
解析：
・・•点A（l,2）在（DO：
x'+y2=5上，.••过A的切线方程为x+2y=5,
令x=0得,y=~,令y=0得,x=5,・•・三角形而积为S=-X-X5=—
38、与圆匕一2）2+@+3）2=16同心且过点^（-1,1）的圆的方程是.
解析：
恻心为（2,-3）,设半径为则（x-2）2+（y+3）2=?
又因为过点户（一1,1）,则/=（-1-2）2+（1+3）2=
25.答案：
G~2）2+（y+3）2=25
39、已知直线/：
x-y+4=0与圆C:
（x—l『+（y—l）2=2,则C上各点到/的距离的最小值为。
【解】：
如图可知：
过原心作直线l:
x-y+4=0的垂线，则AD长即为所求;
点C到直线l:
x-y+4=0的距离为d
=2^2
・・・C:
（兀—1『+（y—1『=2的圆心为C（2,2）,半径为V2
・・・AD=CD-AB=2^2-y/2=y/2故C上各点到/的距离的最小值为近
40、过点A（4,1）的圆C与直线X-y二0相切丁•点B（2,1）,则圜C的方程为—_
【答案】（^-3）2+/=2
（4—d）'+（l—砂=r2a=3
41、以直线3x—4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为
【解析】方法一:
直线3x-4y+12=0与两坐标轴的交点分别为A（—4,0）、B（0,3）,
方法二：
易得圆的直径的两端点为A（—4,0）、B（0,3）,设P（x,y）为圆上任一点，则PA丄PB・+4）+y（y—3）=0.
42、已知点.1/（1,0）是圆a/+4x—2y=0内的一点那么过点〃的最短弦所在直线的方程是.
v（2-6Z）2+（l-Z?
）2=r2=>\b=0a—b—11r2=2
a=3
b=0
r2=2
f=——-=r
1—0
解析：
过点〃的最短的弦与蚀垂直，圆Gxz+y-4x~2y=0的圆心为C（2,1）,；•滋=厂〒=1,・••最短弦所在直线z—1
的方程为y-0=-l（^-l）,即x+y-l=Q.答案：
x+y—l=0
43、己知两圆/+/=10和匕一1尸+（y—3）2=20相交于力，〃两点，则玄线加的方程是.
解析：
圆的方程（t—1）2+（y—3）'=20对化为x+y2—2y—6y=10,①
又/+y2=10,②
①一②得2/+6y=0,即x+3y=0.答案：
x+3y=0
44、已知圆C过点（1,0）,且圆心在x轴的正半轴上，直线l:
y=x-l被该圜所截得的弦长为2血，则圆C的标准方程
为•
答案：
（兀一3）2+）,2=4
解析：
山题意，设圆心坐标为（a,0）,则山直线厂y二x-1被该圆所截得的弦长为2血得
（歩当2*2二（a_1）2,解得a=3或-1,又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a二3.
故圆心坐标为（3,0）.又已知圆C过点（1,0）,所以所求圆的半径为2,
故圆C的标准方程为（x-3）2+y2=4.
45、点P（a,b）在直线x+y+1二0上，求Jo2-2d-2b+2的最小值.
解：
J（g_1）2+@_i）2的最小值为点（1,1）到直线x+y+1二0的距离，
|3一|
解:
设圆心为（3t,t）,半径为r=|3t|,令〃=
而（J7）2=厂2一“2,9/2_2/2=7昇=±1,・・・（x一3）2+（y_1）2=9或（兀+3）2+（y+1）2=9.
47、已知两定点水一2,0）,〃（1,0）,如果动点戸满足|別=2|阳，则点P的轨迹所包围的图形的而积等于・
【解析】设户匕，y）,l+l题知有：
&+2）2+y2=4[S—l）2+y2],整理得/-4x+/=0,配方得（^-2）2+/=4,可知
圆的而积为4兀.【答案】4兀
48、直线（2A+l）%+（A-l）y+l=0（AFR），恒过定点.
解析：
原式整理为x~y+l+4（2x+y）=0.令
[2x+y=Qf
・・・直线恒过定点（一扌，I）答案：
（一右|
则动圆圆心的轨迹方程是
49、已知半径为1的动圆与定圆U-5）2+（y+7）2=16相切,
解析：
动圆与定圆相切可以是外切也可以是内切,所以动圆与定圆两圆圆心距为4—1=3,或4+1=5.因此动圆圆心的轨迹方程是（x—5）2+@+7）2=25,或（x-5）2+（y+7）2=9.答案:
（^-5）2+（y+7）2=25,或（x-5）2+（y+7）2=950、求过直线2x+y+4二0和圆%2+/+2x-4y+l=0的交点，且面积最小的圆的方程。
【解】设过直线2x+y+4二0和圆x2+/+2%-4y+l=0交点的圆方程为：
dAu
x2+/+2x-4y+l+A（2x+^+4）=0,贝ij（x+Z+1）24-（^+^—^）2=-Z2-4/L+4o
要使圆的面积最小，必须半径r最小，r=J-A2-U+4=-j5（A--）2+-
V42V55
51、已知圆C：
x2+y2-4x-6y+12=0,点A（3,5）,求:
⑴过点A的圆的切线方程;
（2）0点是坐标原点，连结OA,0C,求AAOC的而积S.
[解析]
（1）G）C：
（x—2）2+（y—3）2=1.
当切线的斜率不存在时，过点A的直线方程为x=3,C（2,3）到直线的距离为1,满足条件.当k存在时，设直线方程为y—5=k（x—3）,
即kx—y+5—3k=0,由宜线与圆相切得，
311
・・・直线方程为x=3或y弓x+半
（2）|A0|=#9+25=価,
直线OA：
5x-3y=0,
点C到直线OA的距离d=
S=1・d•|AO|=£52、己知圆M过两点C（l,-1）,D（-l,1），且圆心M在x+y—2=0上.
（1）求圆"的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点,求四边形PAMBffl积的最小值.［解析］⑴设恻M的方程为：
（X—a）2+（y—b）"=r2（r>0）・
'1-a2+-1-b2=r2
根据题意，得*-1-a2+1-b2=r2
a+b—2=0
解得a=b=l,r=2,
故所求圆M的方程为（x-l）2+（y-l）2=4.
（2）因为四边形PAMB的而积
S—Sapam+Sapim
又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,
所以S=2|PA|,
而|PA|=7|PM|2—|AM|2=7|PM|2—4,
即S=2p|PMf_4.
因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线3x+4y+8=0上找一点P,
所以|PM
min
|3X1+4X1+8|
y/32+42
使得|PM|的值最小,
所以四边形PAMB血积的最小值为
S=2\］|PMl2—4=2它32-4=2诟.
53、根据下列条件，求圆的方程：
（1）经过A（6,5）、B（
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