眼科病床的合理安排数学建模竞赛试题.docx
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眼科病床的合理安排数学建模竞赛试题
眼科病床的合理安排
摘要
本文通过研究某医院眼科病床的合理安排问题，建立了合理的评价指标体系指导医院眼科病床的安排，旨在改善该医院眼科病人等待入院的队列越来越长的问题，使得医院和病人的利益达到“双赢”。
针对问题一，由于附表所给数据存在缺失，本文采用均值填补法对缺失数据进行填补。
由于不同类型病人的入住时间对医院床位的影响程度不同，在确定评价指标体系时，将病人分为急症型（外伤）、白内障型（双眼）、白内障型（单眼）、视网膜型疾病及青光眼型五类。
利用YAAHP层次分析软件建立层次结构模型结合每类病人的最短和最长住院时间确定四个等级，即优、良、中、差作为该医院眼科病床的合理评价指标体系，并得出医院采用FCFS规则不合理的结论。
针对问题二，由于医院的病床空余数量受各类病人的手术难度、术前准备时间、术后恢复及观察时间等因素的影响，因此以白内障型病人的手术时间为分段标准，将一个星期的时间分为三段，一方面保证医院当天安排的各类入院病人的比例与各类来诊病人的比例满足正相关的关系，另一方面通过合理分配不同类病人入院人数控制医院床位的流动速度，从而减轻医院的病床不足的压力，以此建立双目标线性规划模型，并通过MATLAB解得了三个阶段的最优结果。
针对问题三，首先将病人按类型分类，根据问题二中的求解结果，结合等待入院病人的统计情况确定各类病人所需的平均最短及最长时间，确定各类病人的大致入住时间区间。
针对问题四，以问题二的算法为基础，通过MATLAB编程计算出在目前该医院手术安排时间下，医院每天安排的不同类病人数的平均入院到出院时间，并通过问题一中的评价指标体系进行评价，评价结果处于优等，得出医院不需要对手术时间再进行调整的结论。
针对问题五，要使得平均逗留时间最短，那么各类病人的术前准备时间相应的也要最短。
根据题意可知白内障病人及外伤病人的术前准备时间为1天，青光眼、视网膜疾病病人的术前准备时间为2天，并且平均逗留时间等于等待入院时间与住院时间之和。
以平均逗留时间为目标函数，建立了线性规划模型，并利用LINGO软件求出五类病人的病床分配比例为外伤：
白内障（单眼）：
白内障（双眼）：
青光眼：
视网膜疾病=11：
14：
19：
9：
26。
本文利用多种软件进行数据处理，尽最大可能的挖掘了隐含信息的规律。
最后对模型进行了优化，通过SPSS线性回归拟合对缺失数据进行回归填补，并对回归方程利用ANOVA变异数分析进行了显著性差异的F检验。
关键词：
层次分析法；多目标规划；线性规划；均值填补；回归填补
一、问题的提出
医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。
我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。
该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。
该医院眼科手术主要分四大类：
白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。
白内障手术较简单，而且没有急症。
目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。
做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。
如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。
其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。
这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。
由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。
该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。
问题一：
试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
问题二：
试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。
并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。
问题三：
作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。
能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
问题四：
若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?
问题五：
有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。
二、问题分析
为了解决住院部的床位合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用和帮助病人确定更好的合理住院时间，我们对各个问题给予了一定合理的分析。
对于问题一，要确定合理的评价指标体系，用以评价FCFS方案的优劣问题，我们可以考虑用层次分析法确定各类病人对时间的权重，然后对其打分，将治疗时间分为不同的等级，看其分数在那个阶段就确定其方案的优劣性。
对于问题二，要通过建立合理的病床安排模型来解决根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院的问题，我们可以考虑用平均住院时间和病床安排的分配比例为最终目标，然后建立双目标规划函数，来求解出跟据第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排各类病人住院的数量。
对于问题三，要解决病人门诊时即告知其大致入住时间区间的问题，我们可以先把这些病人分类，然后根据问题二中的求解结果，再加上等待注意病人的统计情况来确定其各类病人所需的平均最短时间和最长时间，所以也就可以确定各类病人的大致入住时间区间。
对于问题四，要解决若住院部周六和周末不安排手术，看医院的手术时间安排是否应做出相应调整的问题，我们可以考虑在模型二的基础上进行改进和增加约束条件来确定新的双目标规划函数，然后根据其治疗得分确定其等级，即可确定其手术时间是否要调整。
对于问题五，因医院病床安排采取对各类病人占用病床的比例大致固定的方案，要解决所有病人在系统中平均逗留时间最短的病床比例分配问题，我们可以以治疗时间为目标函数，然后通过线性规划来求解出最短的病床比例分配。
三、符号说明
序号
符号
含义
1
分别表示五种病人的入院分配人数
2
分别表示五种病人的门诊比例
3
分别表示五种病人的入院到出院时间
4
平均每天出院人数
5
总的平均入院到出院时间
6
五类病人平均每人入院到出院时间
7
平均每天等待入院的病人数
8
平均每天出院的病人数
9
手术准备时间为
10
术后恢复时间
11
平均每天每人所需等待时间
12
平均逗留时间
四、模型假设
1.假设该医院的设备和医生充足，不考虑手术条件的限制。
2.假设周一和周三只做白内障手术，通常情况下白内障手术与其他眼科手术不安排在同一天做。
3.假设其他眼科手术的准备时间在1-2天，不考虑其他因素导致准备时间为3天，即不会与白内障手术冲突。
4．外伤通常属于急症，急症优先安排手术，建模时眼科疾病不考虑急症。
五、模型的建立与求解
5.1问题一模型的建立与求解
5.1.1缺失数据处理
由于题中所给数据存在缺失，为了充分考虑所有病人的信息对本文所解决问题的影响，考虑采用均值填补法，即根据已经病人的信息求出各类病人的术后观察的平均时间，然后根据各类病人的术后观察的平均时间将病人的缺失数据补充完整（具体数据见附录一）。
各类病人的术后观察平均时间如表1。
表1.各类病人的平均术后观察时间
类别
平均术后观察时间（天）
白内障（单眼）
2.88
外伤
5.80
白内障（双眼）
4.90
青光眼
7.77
视网膜疾病
9.82
5.1.2.问题的分析与层次结构模型的建立
在分析了该医院当前的病床安排规则以及从7月13号到9月11号的病人入院和出院的基本信息后发现：
该医院按照FCFS规则给门诊病人安排住院是极其不合理的，这也造成了除外伤（急症）外的其他几类病人的门诊到入院的等待时间均在12天左右，大大阻碍了该医院的正常运行，使得等待住院病人的队列越来越长，为了解决该医院等待住院的人数越来越多这一难题，就需要通过制定新的住院规则。
因为不同类病人的手术难度以及平均住院时间是不同的，所以不能只根据FCFS规则对当天来诊病人进行安排，要充分考虑不同类病人的入住对之后的医院床位的影响。
为了充分体现这一原则，考虑到不同类病人的入住对医院床位的长期影响，在确定评价指标体系时，将病人分为五类，即急症型（外伤）、白内障型（双眼）、白内障型（单眼）、视网膜型、青光眼型。
为了分别确定这五种类型的病人从门诊到入院和入院到出院这两个阶段的平均时间对最终病床安排的影响，采用层次分析法[1]分析不同类病人及两段时间对安排结果影响程度，层次结构模型如图1。
图1.层次结构模型
为了定量的表示不同类病人对准则层各因素的看重程度，利用saaty建议的数字1-9及其倒数作为标度，给出准则层及判断层矩阵如下。
表2.准则层的判断矩阵
门诊到出院平均时间
门诊到入院平均时间
入院到出院平均时间
门诊到入院平均时间
1
3
入院到出院平均时间
0.3333
1
表3.方案层的判断矩阵
门诊到入院平均时间
外伤（急症）
白内障（单眼）
白内障（双眼）
青光眼
视网膜疾病
外伤（急症）
1
2
3
4
5
白内障（单眼）
0.5
1
3
4
5
白内障（双眼）
0.3333
0.3333
1
3
4
青光眼
0.25
0.25
0.3333
1
2
视网膜疾病
0.2
0.2
0.25
0.5
1
入院到出院平均时间
外伤（急症）
白内障（单眼）
白内障（双眼）
青光眼
视网膜疾病
外伤（急症）
1
1
0.5
0.2
0.2
白内障（单眼）
1
1
0.5
0.25
0.25
白内障（双眼）
2
2
1
0.3333
0.3333
青光眼
5
4
3
1
1
视网膜疾病
5
4
3
1
1
利用MATLAB编程求出层次总排序如表4（程序见附录二）
表4.层次总排序
准则
门诊到入院时间
入院到出院时间
总排序权值
准则层权值
0.75
0.25
方案层单排序权值
外伤
白内障（单）
白内障（双）
青光眼
视网膜
0.404
0.304
0.163
0.080
0.053
0.072
0.079
0.134
0.357
0.357
0.321
0.246
0.156
0.149
0.129
1.3评价指标体系的确定
为了确定合理的评价指标，根据平均每类病人从门诊到出院的平均时间划分为四个等级，即优、良、中、差。
具体划分方法如下：
分析题中所给信息及附表中的数据后发现外伤病人从门诊到出院时间最短为5天左右，白内障（单眼）为6天，白内障（双眼）为9天，青光眼为14天，视网膜为15天。
分析附表中数据发现除外伤外的其他类病人门诊到入院的平均等待时间为12天左右，以此为基础作为除外伤外其他类病人的最大时间，并根据不同类病人平均划分为四个等级如下（单位：
天）：
外伤：
优：
5—6；良：
7—9；中：
10—12；差：
13—15。
白内障（单眼）：
优：
6—7；良：
8—10；中：
11—14；差：
15—18。
白内障（双眼）：
优：
9—11；良：
12—15；中：
16—20；差：
21—25。
青光眼：
优：
14—16；良：
17—20；中：
21—23；差：
24—26。
视网膜：
优：
15—17；良：
18—20；中：
21—24；差：
25—27。
由表4可知，根据层次分析模型求得的各类病人的权重比例为：
外伤：
0.321；白内障（单眼）：
0.246；白内障（双眼）：
0.156；青光眼：
0.149；视网膜：
0.129。
结合权重比以及五种类型病人的划分等级，可以求出最终的评价等级如表5。
表5.评价等级及时间范围
评价等级
各等级从门诊到出院的平均天数（天）
优
<11
良
11—14
中
15—17
差
>18
从表5可以看出，评价为优的等级所对应的平均治疗时间为11天以下，这意味着该医院在每天分配空床位给来门诊的病人时必须考虑不同类病人的接收比例，按不同比例去接收病人会得到不同的平均治疗时间，该指标为医院在以后接收病人时提供了参考，即在医院每天安排了病人后，根据安排的不同类病人的人数按照层次分析模型得到的各类病人的权重比计算出病人的平均治疗时间并参照表5的结果后可以知道这种分配方案是否合理。
并得出医院采用FCFS规则是不合理的。
5.2问题二模型的建立与求解
2.1问题的分析与准备
为了建立更加合理的病床安排模型，首先要明确造成该眼科医院等待入院病人的队列越来越长的原因，分析发现该医院在按照FCFS规则安排病人入院时并未考虑不同类病人之间的不同，除外伤外其他类病人之间由于手术难度、术前准备时间、术后恢复及观察时间等的不同必然会对医院的病床空余数量产生影响。
因此在满足一定的“先到先得”这一公平原则的基础上，有必要对医院的病床安排规则做进一步的修正，在充分考虑来诊病人的比例和医院的床位流动速度后，通过建立双目标线性规划模型，一方面保证医院当天安排的入院病人的比例与来诊病人中各类病人的比例满足正相关的关系，另一方面通过合理分配不同类病人的人数控制医院床位的流动速度，从而减轻医院的病床不足的压力。
2.2模型的说明
根据题意可知，该眼科医院只在周一、周三白内障手术，并且周一做第一只，周三做第二只，因此过早的安排白内障患者住院不仅不能解决问题，反而会浪费患者的时间和金钱并且增加医院对空余病床的需求压力。
为了解决这一问题，可以考虑按照白内障患者的最佳入院时间进行分类，为了解决问题方便，对一个星期内该医院接收病人的情况分为三个阶段。
第一阶段：
术前准备时间>2天时，不安排白内障患者入院。
第二阶段：
术前准备时间<2天时，如果在星期一，安排白内障单眼和双眼患者均入院。
第三阶段：
术前准备时间<2天时，如果在星期三，不安排白内障双眼患者入院，只安排白内障单眼患者入院。
2.3双目标规划模型的建立与求解
在对附件中所给数据进行处理后发现五类眼科患者的入院到出院平均用时及平均每天接到不同类病人的数量占总来诊病人的比例如表6
表6.各类病人的平均出院时间及数量比例
病人类别
入院到出院的平均用时（天）
各类病人数量的比例
外伤
7
0.12
白内障（单）
5.2
0.19
白内障（双）
8.6
0.25
青光眼
10.5
0.12
视网膜疾病
12.5
0.32
第一阶段（星期3，4，5）：
术前准备时间>2天时，不安排白内障患者入院。
双目标规划模型如下：
及
的值见表6。
利用MATLAB[3]编程求解得到结果如下（程序见附录三）：
即外伤病人安排1人，白内障病人不安排入院，青光眼安排1人，视网膜疾病安排3.6942人。
第二阶段（星期6，7）：
术前准备时间<2天时，如果在星期一，安排白内障单眼和双眼患者均入院。
双目标规划模型如下：
及
的值见表6。
利用MATLAB[3]编程求解得到结果如下（程序见附录四）：
即外伤病人安排1人，白内障病人（单眼）安排1.9241人，白内障病人（双眼）安排1.0025，青光眼安排1人，视网膜疾病安排1.5734人。
第三阶段（星期1，2）：
术前准备时间<2天时，如果在星期三，不安排白内障双眼患者入院，只安排白内障单眼患者入院。
双目标规划模型如下：
及
的值见表6。
利用MATLAB[3]编程求解得到结果如下（程序见附录五）：
即外伤病人安排1人，白内障病人（单眼）安排2.609人，白内障病人（双眼）不安排，青光眼安排1人，视网膜疾病安排1.891人。
综合以上三个阶段所得的结果计算平均入院到出院时间（天）：
=412
=
模型评价：
根据问题一中提出的评价指标可知，要评价问题二的病床安排模型，要再将病人从门诊到入院的时间加上，由于题中并不确定病人从门诊到入院的时间，因此可以考虑均加上2天，因此修正后的
（天），参照评价指标体系中的等级及相应范围可知该模型所求的平均时间在11—14天的范围内，即处于良的等级。
由所得结果可知在对该医院的病床分配原则进行修改后建立的新的病床安排模型取得了良好的效果，我们有理由相信在实施此模型后医院的床位紧张问题会得到极大的改善。
5.3问题三模型的建立与求解
5.3.1模型的建立与求解
要解决问题三，根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人
门诊时即告知其大致入住时间段，首先对不同类病人进行分类，分别给出其大致入住时间区间。
通过对附件中的数据进行处理后求出不同类病人的平均术后恢复时间如下表7。
表7.各类眼科病人的平均术后恢复时间
疾病类型
术后恢复时间（天）
外伤
5.80
白内障（单）
2.88
白内障（双）
4.90
青光眼
7.77
视网膜疾病
9.82
现设平均每天等待入院的病人数为
，平均每天出院的病人数为
，手术准备时间为
术后恢复时间为
。
则平均每天每人所需等待时间为:
由于白内障病人的术前准备时间为1—2天，青光眼和视网膜疾病的术前准备时间为2—3天，并且外伤病人的手术准备时间一般为1天，由此可知每类病人的从入院到手术及手术到出院总的平均最短时间和最长时间如下表8。
表8.不同类病人总的平均最短时间和最长时间
病人类型
外伤
白内障（单）
白内障（双）
青光眼
视网膜疾病
最短时间
1
3.88
5.9
8.77
10.82
最长时间
1
4.88
6.9
9.77
11.82
根据表8可以得到各类病人的平均等待时间区间如下（单位：
天）：
外伤：
1天
白内障（单眼）：
白内障（双眼）：
青光眼：
视网膜疾病：
如果用现有数据进行估计，可以求出其具体区间。
在对附件中数据进行分析后得到
人，
人，则
将其带入上面给出的等待时间区间，得到目前该医院具体的各类病人的平均等待时间区间如下（单位：
天）：
外伤：
1天
白内障（单眼）：
白内障（双眼）：
青光眼：
视网膜疾病：
5.4问题四模型的建立与求解
5.4.1问题分析与求解
如果该住院部周六、周日不安排手术，要知道医院的手术时间安排是否要做出调整，可以利用问题一中评价指标体系来确定。
根据问题二的讨论可知，计算出在目前该医院手术安排时间下，医院每天安排的不同类病人数的平均入院到出院时间，并于问题一中的评价指标体系进行比对，只要比对结果处于优或良的等级，就可以认为医院不需要对手术时间再进行调整，否则要进行调整。
若星期六、星期天不做手术，则星期五、星期六就不安排外伤病人入院，可以优先安排其他类病人入院，然后在星期一优先安排星期五、星期六来门诊的外伤病人入院，之后再考虑安排白内障病人优先进行手术治疗，而青光眼和视网膜疾病主要安排在星期四、星期五手术。
根据以上原则，在对问题二的模型进行改进和从新约束的基础上建立新的双目标规划模型，按优先级
的原则分类如下表9：
表9.日期与手术类型1
日期
手术类型
星期一
外伤、白内障（单双）
星期二
外伤、青光眼、视网膜疾病
星期三
外伤、白内障（单双）
星期四
外伤、青光眼、视网膜疾病
星期五
外伤、青光眼、视网膜疾病
在此基础上进一步考虑住院时间，则其优先级如下表10：
表10.日期与手术类型2
日期
手术类型
星期一
外伤、白内障（单）、青光眼、视网膜疾病
星期二
外伤、白内障（单）、青光眼、视网膜疾病
星期三
外伤、青光眼、视网膜疾病
星期四
外伤、青光眼、视网膜疾病
星期五
白内障（单，双）
星期六
白内障（单，双）、青光眼、视网膜疾病
星期日
外伤、白内障（单、双）
4.2双目标规划模型的建立与求解
星期一：
外伤、白内障（单）、青光眼、视网膜疾病。
星期二：
外伤、白内障（单）、青光眼、视网膜疾病。
星期三、四：
外伤、白内障（单）、青光眼、视网膜疾病。
星期五、六：
白内障（单，双）。
星期天：
外伤、白内障（单、双）。
及
的值见表6。
利用MATLAB[3]编程求解得到结果如下表11（程序见附录六）：
表11.各类病人平均每天安排人数
类别
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期天
外伤
3.00000.00000.00001.26462.2354
1.0000
2.6090
0.0000
1.0000
1.8910
1.00000.00000.0000
1.70383.7962
1.00000.00000.0000
1.70383.7962
0.00004.17022.32980.00000.0000
0.00004.17022.32980.00000.0000
2.00001.28691.00001.0000
1.2131
白单
白双
青光眼
视网膜
综合以上7天所得的结果计算平均入院到出院时间（天）：
与问题一中评价指标体系进行比对后发现;在该住院部周六、周日不安排手术的前提下所计算的平均入院到出院时间（天）处于优的等级，说明医院的手术时间不用做出相应调整。
5.5问题五模型的建立与求解
为了方便管理，医院病床安排采取使得各类病人占用病床的比例大致固定的方案并且使得所有病人在系统内的平均逗留时间最短。
要使得平均逗留时间最短，那么各类病人的术前准备时间相应的也要最短，根据题意可知白内障病人的术前准备时间为1天，青光眼、视网膜疾病病人的术前准备时间为2天，外伤病人的术前准备时间为1天
，平均逗留时间=等待入院时间+住院时间。
表12.各类病人的平均逗留时间
疾病类型
外伤
白内障（单）
白内障（双）
青光眼
视网膜疾病
时间
6.8
3.88
5.9
8.77
10.82
表13.各类病人入院数量比例
疾病类型
外伤
白内障（单）
白内障（双）
青光眼
视网膜疾病
比例
15%
18%
24%
11%
32%
根据入院的各类病人的比例可知
以逗留时间为目标函数，建立线性规划模型如下：
平均逗留时间（天）：
通过Lingo[4]编程计算得各类病人的人数如下表14：
表14.各类病人的人数
疾病类型
外伤
白内障（单）
白内障（双）
青光眼
视网膜疾病
人数
11
14
19
9
26
六、模型优化与检验
在问题一中对于缺失数据的处理采用
升级会员 