通用版202x版高考数学大一轮复习 第11讲 函数与方程学案 理 新人教A版.docx
《通用版202x版高考数学大一轮复习 第11讲 函数与方程学案 理 新人教A版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《通用版202x版高考数学大一轮复习 第11讲 函数与方程学案 理 新人教A版.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
通用版202x版高考数学大一轮复习第11讲函数与方程学案理新人教A版
第11讲 函数与方程
1.函数的零点
（1）函数零点的定义
对于函数y=f（x）（x∈D）,把使 的实数x叫作函数y=f（x）（x∈D）的零点.
（2）等价关系
方程f（x）=0有实数根⇔函数y=f（x）的图像与 有交点⇔函数y=f（x）有 .
（3）函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数y=f（x）在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数y=f（x）在区间 内有零点,即存在c∈（a,b）,使得 ,这个 也就是方程f（x）=0的根.
2.二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图像与零点的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=
ax2+bx+
c（a>0）
的图像
与x轴的交点
无交点
零点个数
常用结论
1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.
2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.
题组一 常识题
1.[教材改编]函数f（x）=lnx+2x-6的零点的个数是 .
2.[教材改编]如果函数f（x）=ex-1+4x-4的零点在区间（n,n+1）（n为整数）内,则n= .
3.[教材改编]函数f（x）=x3-2x2+x的零点是 .
4.[教材改编]若函数f（x）=x2-4x+a存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是 .
题组二 常错题
◆索引:
错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在R上无零点的充要条件（判别式小于零）.
5.函数f（x）=x+
的零点个数是 .
6.函数f（x）=x2-3x的零点是 .
7.若二次函数f（x）=x2-2x+m在区间（0,4）上存在零点,则实数m的取值范围是 .
8.若二次函数f（x）=x2+kx+k在R上无零点,则实数k的取值范围是 .
探究点一 函数零点所在区间的判断
例1
（1）函数f（x）=ex-x-2在下列哪个区间上必有零点（ ）
A.（-1,0）B.（0,1）
C.（1,2）D.（2,3）
（2）已知函数f（x）=lgx+
x-5在区间（n,n+1）（n∈Z）上存在零点,则n= .
[总结反思]判断函数零点所在区间的方法:
（1）解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;
（2）零点存在性定理;（3）数形结合法,画出相应函数图像,观察与x轴交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断.
变式题[2018·南昌模拟]函数f（x）=ln（x+1）-
的零点所在的区间为（ ）
A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）
探究点二 函数零点个数的讨论
例2
（1）已知f（x）是定义在R上的奇函数,且满足f
-
+x
=f
当x∈
时,f（x）=ln（x2-x+1）,则函数f（x）在区间[0,6]上的零点个数是（ ）
A.3B.5C.7D.9
（2）[2018·河南中原名校模拟]函数f（x）=sin
2x+
-log3πx的零点个数为 .
[总结反思]函数零点个数的讨论,基本解法有:
（1）直接法,令f（x）=0,有多少个解则有多少个零点;
（2）定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;（3）图像法,一般是把函数分拆为两个简单函数,依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数.
变式题
（1）[2018·重庆巴蜀中学月考]函数f（x）=
-2e-x的零点个数为（ ）
A.0B.1C.2D.3
（2）已知函数f（x）=
则函数g（x）=[f（x）]2-3f（x）+2的零点个数为 .
探究点三 函数零点的应用
例3
（1）设函数f（x）=ex+x-2,g（x）=lnx+x2-3,若实数a,b满足f（a）=g（b）=0,则（ ）
A.f（b）<0C.0（2）[2019·安徽肥东高级中学调研]已知函数f（x）=
若函数g（x）=f（x）-m（x-1）有两个零点,则实数m的取值范围是（ ）
A.（-2,0）B.（-1,0）
C.（-2,0）∪（0,+∞）D.（-1,0）∪（0,+∞）
[总结反思]函数零点的应用主要体现在三类问题中:
一是函数中不含参数,零点又不易直接求出,考查各零点的和或范围问题;二是函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围
;三是函数中有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合或分离参数求解.
变式题
（1）[2018·山东、湖北部分重点中学二模]若函数f（x）=cosx+2|cosx|-m,x∈[0,2π]恰有两个零点,则m的取值范围为（ ）
A.（0,1]B.{1}
C.{0}∪（1,3]D.[0,3]
（2）若x1,x2分别是函数f（x）=x-2-x,g（x）=xlog2x-1的零点,则下列结论成立的是（ ）
A.x1=x2B.x1>x2
C.x1+x2=1D.x1x2=1
第11讲 函数与方程
考试说明结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.
（1）f（x）=0
（2）x轴 零点 （3）f（a）·f（b）<0 （a,b） f（c）=0 c
2.（x1,0）,（x2,0） （x1,0） 2 1 0
对点演练
1.1 [解析]函数f（x）单调递增,且f
（2）<0,f（3）>0,故存在唯一零点.
2.0 [解析]函数f（x）单调递增,且f（0）<0,f
（1）>0,故其零点在区间（0,1）内,则n=0.
3.0,1 [解析]由f（x）=x3-2x2+x=0,解得x1=0,x2=1,所以函数的零点是0,1.
4.（-∞,4） [解析]Δ=16-4a>0,解得a<4.
5.0 [解析]函数的定义域为{x|x≠0},当x>0时,f（x）>0,当x<0时,f（x）<0,所以函数没有零点.
6.0,3 [解析]由f（x）=x2-3x=0,得x=0或x=3.
7.（-8,1] [解析]二次函数f（x）图像的对称轴方程为x=1.若在区间（0,4）上存在零点,只需f
（1）≤0且f（4）>0即可,即-1+m≤0且8+m>0,解得-88.（0,4） [解析]Δ=k2-4k<0,解得0【课堂考点探究】
例1 [思路点拨]
（1）利用零点存在性定理判断即可;
（2）利用函数的单调性和零点存在性定理即可求出n.
（1）C
（2）3 [解析]
（1）f（-1）=
-1<0,f（0）=-1<0,f
（1）=e-3<0,f
（2）=e2-4>0,故选C.
（2）f（x）=lgx+
x-5是定义在（0,+∞）上的增函数,
根据零点存在性定理,
可得
因为f
（1）=
-5<0,f
（2）=lg2+
-5<0,f（3）=lg3+
-5<0,f（4）=lg4+5-5=lg4>0,
所以函数f（x）在（3,4）上存在零点,故n=3.
变式题 B [解析]f（x）=ln（x+1）-
在（0,+∞）上单调递增,且f
（1）=ln2-2<0,f
（2）=ln3-
>0,则f
（1）·f
（2）<0,所以函数f（x）=ln（x+1）-
的零点所在的区间为（1,2）.
例2 [思路点拨]
（1）由已知可得函数是奇函数,周期为3,且f
=f（-1）=f（0）=f
（1）=f
=0,即可得函数f（x）在区间[0,6]上的零点个数;
（2）函数f（x）=sin
-log3πx的零点个数即为y=log3πx与y=cos2x（x>0）图像的交点个数,利用数形结合可得结果.
（1）D
（2）6 [解析]
（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数,且满足f
=f
∴f
-
+x+
=f
+x+
可得f（x+3）=f（x）,
则函数f（x）的周期为3.
当x∈
时,f（x）=ln（x2-x+1）,
令f（x）=0,则x2-x+1=1,解得x=0（舍去）或1,
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数,
∴在区间
上,有f（-1）=-f
（1）=0,f（0）=0.
由f
=f
取x=0,得f
=f
又f
=-f
∴f
=f
=0,
∴f
=f（-1）=f（0）=f
（1）=f
=0.
又∵函数f（x）是周期为3的周期函数,
∴函数f（x）在区间[0,6]上的零点有0,1,
2,3,4,
5,6,共9个.
（2）函数f（x）=sin
-log3πx=cos2x-log3πx的零点个数就是y=log3πx与y=cos2x（x>0）图像的交点个数.
在同一坐标系内作出y=log3πx与y=cos2x（x>0）的图像,如图,
由图可知,y=log3πx与y=cos2x（x>0）的图像有6个交点,
所以函数f（x）=sin
-log3πx的零点个数为6.
变式题
（1）B
（2）3 [解析]
（1）∵y=
单调递增,y=-2e-x单调递增,
∴f（x）=
-2e-x单调递增.
∵f（0）=-2<0,f（8）=2-
>0,
∴由零点存在性定理可得,f（x）=
-2e-x的零点个数为1,故选B.
（2）函数g（x）=[f（x）]2-3f（x）+2的零点个数即为方程[f（x）]2-3f（x）+2=0的解的个数,解方程得f（x）=1或f（x）=2.由f（x）=1得lnx=1（x>0）或ex=1（x≤0）,解得x=e或x=0;同理,由f（x）=2得lnx=2（x>0）或ex=2（x≤0）,解得x=e2.所以函数g（x）共有3个零点.
例3 [思路点拨]
（1）首先确定函数f（x）和g（x）的单调性,然后结合函数的性质计算即可;
（2）先转化为函数y=f（x）的图像与y=m（x-1）的图像有且仅有两个交点,数形结合即可得答案.
（1）B
（2）D [解析]
（1）易知f（x）是增函数,g（x）在（0,+∞）上也是增函数.
由于f（0）=-1<0,f
（1）=e-1>0,所以0又g
（1）=-2<0,g
（2）=ln2+1>0,所以1所以f（b）>f
（1）>0,g（a）（1）<0,据此可知g（a）<0（2）若函数g（x）=f（x）-m（x-1）有两个零点,
则函数y=f（x）的图像与y=m（x-1）的图像有且仅有两个交点.
在同一坐标系内画出函数y=f（x）的图像与y=m（x-1）的图像,如图所示.
由图像可得,当m>0时,满足条件;
当m=-1时,直线y=m（x-1）与y=2-ex（x≤1）的图像相切,可得当-1故m∈（-1,0）∪（0,+∞）.
变式题
（1）C
（2）D
[解析]
（1）f（x）=cosx+2|cosx|-m,x∈[0,2π]的零点个数就是y=cosx+2|cosx|=
的图像与y=m的图像的交点个数.作出y=cosx+2|cosx|,x∈[0,2π]的图像,如图,由图像可知,当m=0或1（2）因为f（0）≠0,所以x1≠0.
当x≠0时,由x-2-x=0,得2x=
则x1就是曲线y=
与曲线y=2x交点的横坐标.
由xlog2x-1=0,得log2x=
则x2就是曲线y=
（x>0）与曲线y=log2x交点的横坐标.
因为曲线y=
关于直线y=x对称,
且曲线y=2x与曲线y=log2x关于直线y=x对称,
所以点
与点
关于直线y=x对称,
所以
=-1,
可得x1x2=1,故选D.
【备选理由】例1考查将函数的零点问题转化为两函数图像的交点问题,通过分析交点横坐标得零点所在区间;例2结合函数的奇偶性、周期性,考查函数的零点个数,需要数形结合处理,综合性强;例3为有关方程的解的问题,考查换元法、数形结合思想等.
例1 [配合例1使用][2018·运城二模]已知x0是函数f（x）=2sinx-πlnx（x∈（0,π））的零点,则（ ）
A.x0∈（0,1）B.x0∈（1,e）
C.x0∈（e,3）D.x0∈（e,π）
[解析]B 设h（x）=2sinx（x∈（0,π））,g（x）=πlnx（x∈（0,π））,则g
（1）=0,g（e）=π>2,作出函数h（x）与g（x）的图像（图略）可知,交点在区间（1,e）内,即x0∈（1,e）.
例2 [配合例2使用][2018·茂名模拟]已知定义在R上的函数y=f（x+2）的图像关于直线x=-2对称,且函数f（x+1）是偶函数.若当x∈[0,1]时,f（x）=sin
x,则函数g（x）=f（x）-e-|x|在区间[-2018,2018]上的零点个数为（ ）
A.2017B.2018
C.4034D.4036
[解析]D 函数g（x）=f（x）-e-|x|在区间[-2018,2018]上的零点个数,就是y=f（x）的图像与y=e-|x|的图像在区间[-2018,2018]上的交点个数.
∵函数y=f（x+2）的图像关于直线x=-2对称,
∴函数y=f（x）的图像的对称轴为直线x=0,故y=f（x）是偶函数,即f（-x）=f（x）.
又函数f（x+1）是偶函数,
∴f（x+1）=f（-x+1）,
故f（x+2）=f（-x）=f（x）,
∴函数f（x）是周期为2的偶函数.
又当x∈[0,1]时,f（x）=sin
x,画出y=f（x）与y=
的部分图像如图所示,
由图像可知,在每个周期内两函数的图像有2个交点,
∴函数g（x）=f（x）-e-|x|在区间[-2018,2018]上的零点个数为2018×2=4036.故选D.
例3 [配合例3使用]函数y=g（x）（x∈R）的图像如图所示,若关于x的方程[g（x）]2+m·g（x）+2m+3=0有三个不同的实数解,则m的取值范围是 .
[答案]
[解析]设g（x）=t,
∵关于x的方程[g（x）]2+m·g（x）+2m+3=0有三个不同的实数解,
∴关于t的方程t2+mt+2m+3=0有两个实数根,且一个在（0,1）上,一个在[1,+∞）上.
设h（t）=t2+mt+2m+3,
①当有一个根为1时,h
（1）=1+m+2m+3=0,解得m=-
此时另一个根为
符合题意;
②当没有根为1时,则
解得-
.
综上可得,m的取值范围是
.
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
升级会员 