m
A．（-∞,-6）U（6,+∞）
B．（-∞,-4）U（4,+∞）
C．（-∞,-2）U（2,+∞）
D．（-∞,-1）U（4,+∞）
（2013·8）设a=log36，b=log510，c=log714，则（）
A.c>b>a
B.
b>c>a
C.
a>c>b
D.
a>b>c
（2013·10）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）
A.∃x0∈R,f（x0）=0
B.函数y=f（x）的图像是中心对称图形
C.若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞,x0）单调递减
D.
00
若x是f（x）的极值点，则f'（x）=0
（2012·10）已知函数f（x）=
1
ln（x+1）-x
，则y=f（x）的图像大致为（）
A.B.C.D.
（2012·12）设点P在曲线y=1ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为（）
2
A.1-ln2
B.2（1-ln2）
C.1+ln2
D.2（1+ln2）
（2011·2）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）
A．y=x3
B．y=|x|+1
C．y=-x2+1
D．y=2-|x|
（2011·9）由曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为（）
A．10
3
B．4C．16
3
D．6
（2011·12）函数y=
（）
1
x-1
的图像与函数y=2sinx,（-2≤x≤4）的图像所有交点的横坐标之和等于
A．2B．4C．6D．8
二、填空题
（2014·15）已知偶函数f（x）在[0,+∞）单调递减，f
（2）=0.若f（x-1）>0，则x的取值范围是.
（2016·16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=.
三、解答题
（2017·21）已知函数f（x）=ax2-ax-xlnx,且f（x）≥0.
（1）
0
求a；
（2）证明：
f（x）存在唯一的极大值点x0
，且e-2<
f（x）<2-2.
（2016·21）（Ⅰ）讨论函数f（x）=x-2ex
x+2
的单调性，并证明当x>0时，（x-2）ex+x+2>0；
x
（Ⅱ）证明：
当a∈[0,1）时，函数g（x）=（x>0）有最小值.设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）
x2
的值域.
14．（2015·21）设函数f（x）=emx+x2-mx.
（Ⅰ）证明：
f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（Ⅱ）若对于任意x1,，x2∈[-1，1]，都有｜f（x1）-f（x2）｜≤e-1，求m的取值范围．
15．（2014·21）已知函数f（x）=ex-e-x-2x.
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）-4bf（x），当x>0时，g（x）>0，求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142<<1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）.
16．（2013·21）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.
（Ⅰ）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）>0.
17.（2012·21）已知函数f（x）=
f'
（1）ex-1-f（0）x+1x2.
2
（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥1x2+ax+b，求（a+1）b的最大值.
2
18．（2011·21）已知函数f（x）=alnx+b，曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线方程为x+2y-3=0.
（Ⅰ）求a、b的值；
x+1x
（Ⅱ）如果当x>0，且x≠1时，f（x）>lnx+k，求k的取值范围.
x-1x
2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编
7．函数与导数（解析版）
（2017·11）A【解析】∵
f（x）=（x2+ax-1）ex-1
∴导函数f'（x）=⎡⎣x2+（a+2）x+a-1⎤⎦ex-1，
∵f'（-2）=0，∴a=-1，∴导函数f'（x）=（x2+x-2）ex-1，令f'（x）=0，∴x=-2，x=1，
11
当x变化时，f（x），f'（x）随变化情况如下表：
x
2
2
2,1
1
1,
fx
+
0
-
0
+
fx
极大值
极小值
从上表可知：
极小值为f
（1）=-1.故选A
（2016·12）B解析：
由f（x）=2-f（x）得f（x）关于（0，1）对称，而y=x+1=1+1也关于（0，1）对称，∴
mmm
xx
对于每一组对称点x+x'=0，y+y'=2，∴∑（x+y）=∑x+∑
y=0+2⋅m=m，故选B．
iiii
iiii2
i=1
i=1
i=1
（2016·12）B解析：
由f（x）=2-f（x）得f（x）关于（0，1）对称，而y=x+1=1+1也关于（0，1）对称，∴
mmm
xx
对于每一组对称点x+x'=0，y+y'=2，∴∑（x+y）=∑x+∑
y=0+2⋅m=m，故选B．
iiii
iiii2
i=1
i=1
i=1
222
（2015·5）C解析：
由已知得f（-2）=1+log4=3，又log12>1，所以f（log12）=2log212-1=2log26=6，故
f（-2）+f（log212）=9．
（2015·10）B解析：
由已知得，当点P在BC边上运动时，即0≤x≤时，PA+PB=
4
+
tanx；
当点P在CD边上运动时，即≤x≤3，x≠时，PA+PB=
+（1
+1）2+1，当x=时，
442tanx2
PA+PB=2
；当点P在AD边上运动时，即3≤x≤时，PA+PB=
4
-
tanx，从点P的
运动过程可以看出，轨迹关于直线x=对称，且
2
f（）>4
，且轨迹非线型，故选B．
2
（2015·12）A解析：
记函数g（x）=
f（x），则g'（x）=x'f（x）-f（x），因为当x>0时，xf´（x）-f（x）<0，故当x>0
xx2
时，g´（x）<0，所以g（x）在（0,+∞）单调递减；又因为函数f（x）（x∈R）是奇函数，故函数g（x）是偶函数，所以g（x）在（-∞,0）单调递增，且g（-1）=g
（1）=0．当00，则f（x）>0；当x<-1时，g（x）<0，则f（x）>0，综上所述，使得f（x）>0成立的x的取值范围是（-∞,-1）∪（0,1），故选A．
（2014·8）D解析：
∵y'=a-
1
x+1
，且在点（0,0）处的切线的斜率为2，∴y'|
x=0
=a-
1
0+1
=2，即a=3.
（2014·12）C解析：
∵f'（x）=
3cosx，令f'（x）=3cosx=0得x=m（1+k）,k∈Z，
mmmm2
∴x=m（1+k）,k∈Z，即|x|=|m（1+k）|≥|m|，f（x）=3sinπx的极值为±，
02022m
2
2
2∴22m222m2
∴[f（x0）]
=3，
x0+[f（x0）]≥
4+3x0+[f（x0）]
+34
即：
m2>4，故：
m<-2或m>2.
（2013·8）D解析：
根据公式变形，a=lg6=1+lg2，b=lg10=1+lg2，c=lg14=1+lg2，
lg3lg3
lg5lg5
lg7lg7
因为lg7＞lg5＞lg3，所以lg2lg7lg5lg3
（2013·10）C解析：
∵f´（x）=3x2+2ax+b，∴y＝f（x）的图像大致如右图所示，若x0是f（x）的极小值点，则则在（－
∞，x0）上不单调，故C不正确．
（2012·10）B解析：
易知y=ln（x+1）-x≤0对x∈（-1,0）U（0,+∞）恒成立，当且仅当x=0时，取等号，故的值域是（-∞,0）.所以其图像为B.
（2012·12）B解析：
因为y=1ex与y=ln（2x）互为反函数，所以曲线y=1ex与曲线y=ln（2x）关于直线y=x
22
对称，故要求|PQ|的最小值转化为求与直线y=x平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为A，则A
点到直线y=x距离的最小值的2倍就是|PQ|的最小值.则y'=（1ex）'=1ex=1，∴ex=2，即x=ln2，
22
故切点A的坐标为（ln2,1），因此，切点A点到直线y=x距离为d==
，所以
|PQ|=2d=2（1-ln2）.
（2011·2）B解析：
由各函数的图像知，故选B.
4
23116
（2011·9）C】解析：
用定积分求解S=⎰0（
-x+2）dx=（
x2-
32
x2+2x）|4=
，故选C.
3
（2011·12）D解析：
y=
1
x-1
的对称中心是（1,0）也是y=2sinx（-2≤x≤4）的中心，-2≤x≤4他们
的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点.不妨把他们的横坐标由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2，故选D.
二、填空题
（2014·15）（-1,3）
解析：
∵
f（x）是偶函数，∴
f（x-1）>0⇔
f（|x-1|）>0=
f
（2），又∵
f（x）在
[0,+∞）单调递减，∴|x-1|<2，解得：
-1（2016·16）1-ln2解析：
y=lnx+2的切线为：
y=1⋅x+lnx+1（设切点横坐标为x），y=ln（x+1）的
11
1
1x2
⎧1=
⎪x1
1
x2+111
切线为：
y=x
+1x+ln（x2+1）-x
+1，∴⎨
x，解得x1=2
x2=-2，∴
22⎪lnx
+1=ln（x
+1）-2
b=lnx1+1=1-ln2．
⎩⎪12
x2+1
三、解答题
（2017·21）已知函数f（x）=ax2-ax-xlnx,且f（x）≥0.
（1）求a；
（2）证明：
f（x）存在唯一的极大值点x0
，且e-2<
f（x）<2-2.
0
（2017·21）解析：
（1）法一：
由题知：
f（x）=x（ax-a-lnx）（x>0），且f（x）≥0，所以a（x-1）-lnx≥0，
即当x∈（0,1）时，a≤
lnx
x-1
；当x∈（1,+∞）时，a≥
lnx
x-1
；当x=1时，a（x-1）-lnx≥0成立.
令g（x）=x-1-lnx，g'（x）=1-=
x-1
，
xx
lnx
当x∈（0,1）时，g'（x）<0，g（x）递减，g（x）（1）=0，所以：
x-1>lnx，即：
x-1>1，所以a≤1
；
当x∈（1,+∞）时，g'（x）>0，g（x）递增，g（x）>g
（1）=0，所以：
x-1>lnx，即：
x-1<1.
所以，a≥1.
综上，a=1.
法二：
洛必达法则：
由题知：
f（x）=x（ax-a-lnx）（x>0），且f（x）≥0
，所以：
a（x-1）-lnx≥0.
即当x∈（0,1）时，a≤
lnxx-1
；当x∈（1,+∞）时，a≥
lnx
；
x-1
当x=1时，a（x-1）-lnx≥0成立.
1（x-1）-lnx
1-1-lnx
令g（x）=
，g'（x）=x
x-1
（x-1）2
=x.
（x-1）2
1111-x
令h（x）=1-x-lnx，h'（x）=x2-x=x2.
当x∈（0,1）时，h'（x）>0,h（x）递增，h（x）（1）=0；
所以g'（x）<0，g（x）递减，g（x）>lim
lnx
=lim
（lnx）'
=lim1
=1，所以：
a≤1；
x→1x-1
x→1（x-1）'
x→1x
当x∈（1,+∞）时，h'（x）<0,h（x）递减，h（x）（1）=0；
所以g'（x）<0，g（x）递减，g（x）lnx
=lim
（lnx）'
=lim1
=1，所以：
a≥1.
故a=1.
x→1x-1
x→1（x-1）'
x→1x
1
（2）由
（1）知：
f（x）=x（x-1-lnx），f'（x）=2x-2-lnx，设（x）=2x-2-lnx，则'（x）=2-x.
x∈⎛0,1⎫'（x）<0x∈⎛1,+∞⎫
'（x）>0
当ç2⎪时，；当ç2
⎪时，.
⎝⎭
（x）
⎛0,1⎫
⎝⎭
⎛1,+∞⎫
所以在ç2⎪递减，在ç2⎪递增.
⎝⎭⎝⎭
（e-2）>0
⎛1⎫<0
（1）=0
（x）
⎛0,1⎫
x⎛1,+∞⎫
又，ç2⎪
，，所以在ç
2⎪有唯一零点
0，在ç2
⎪有唯一零点1，
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
且当x∈（0,x0）时，（x）>0；当x∈（x0,1）时，（x）<0；当x∈（1,+∞）时，（x）>0.
又f'（x）=（x），所以x=x0是f（x）的唯一极大值点.
由f'（x0）=0得lnx0=2（x0-1），故f（x0）=x0（1-x0）.
由x0∈（0,1）得f（x0<.
因为x=x0
是f（x）在（0,1）的唯一极大值点，由e-1∈（0,1），f（e-1）≠0得f（x
）>f（e-1）=e-2
0
0
所以e-2
（2016·21）（Ⅰ）讨论函数f（x）=x-2ex
x+2
的单调性，并证明当x>0时，（x-2）ex+x+2>0；
x
（Ⅱ）证明：
当a∈[0,1）时，函数g（x）=（x>0）有最小值.设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）
x2
的值域.
'（）=
x⎛x-2+4⎫=
x2ex
（-∞，-
）（-+∞）
'（）>
（2016·21）证明：
⑴fx
eç
çx+2
⎪
（x+2）2⎪
（x+2）
2，∵当x∈
22,
时，fx0，
⎝⎭
∴f（x）在（-∞，-2）和（-2,
+∞）上单调递增，∴x>0时，x-2ex>f（0）=-1，∴（x-2）ex+x+2>0.
x+2
⑵g'（x）=
（ex-a）x2-2x（ex-ax-a）
x4
x（xex-2ex+ax+2a）
x4
（x+2）（x-2⋅ex
=x+2
x3
+
a）
，a∈[0，1），由
（1）
知，当x>0时，f（x）=x-2⋅ex的值域为（-1，+∞），只有一解．使得t-2⋅et=-a，t∈（0，2]，当
x+2t+2
x∈（0,t）时，
g'（x）<0，
g（x）单调减；当
x∈（t,+∞）时
g'（x）>0，
g（x）单调增，
h（a）=
et-a（t+1）et
2
+（t+1）t-2⋅ett
t+2
2
，记k（t）=e
，在t∈（0,2]时，k'（t）=
et（t+1）
2
>0，∴
ttt+2
kt⎛1e2⎤
t+2
（t+2）
（）单调递增，∴h（a）=k（t）∈ç，⎥．
⎝24⎦
（2015·21）设函数f（x）=emx+x2-mx.
（Ⅰ）证明：
f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（Ⅱ）若对于任意x1,，x2∈[-1，1]，都有｜f（x1）-f（x2）｜≤e-1，求m的取值范围．
（2015·21）解析：
（Ⅰ
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