《线段的垂直平分线》 教案 公开课获奖北师版 2.docx

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《线段的垂直平分线》教案公开课获奖北师版2

线段的垂直平分线

一、学生知识状况分析

通过对前面相关内容的学习，学生对如何证明一个命题已经积累一些经验并掌握了必要的方法。

但是要证明三角形三边垂直平分线交于一点对学生来说还是较抽象的，因此，教学时，教师对此不要操之过急，应逐步引导学生理解．

二、教学任务分析

在上一节课，学生已经掌握了线段垂直平分线的性质和判定定理，本节课的主要任务是性质和判定的应用。

因此本节课的目标为：

2.经历猜测、探索，能够作出符合条件的三角形．

3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步开展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，开展实践能力和创新意识．

4.学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

教学重点、难点

重点：

①能够证明与线段垂直平分线相关的结论．

②底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形．

难点：

证明三线共点。

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：

第一环节：

情境引入；第二环节：

例题解析；第三环节：

引申拓展；第四环节：

动手操作；第五环节：

随堂练习；第六环节：

课时小结；第五环节：

课后作业。

1：

情景引入

活动内容：

尺规作图作三条边的垂直平分线。

活动目的：

让学生利用自己的动手体会三类三角形三条边的垂直平分线交于一点的正确性。

活动过程：

教师提问：

“[利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么?

（教师可用多媒体演示作图过程）〞

“三角形三边的垂直平分线交于一点．〞、“这一点到三角形三个顶点的距离相等．〞等都是学生可以发现的直观性质。

下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论?

与同伴交流．

教师质疑：

“这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？

我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义．〞

这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论．

上述活动中，教师要注意多画几种特殊的三角形让学生亲自体验和观察结论的正确性。

2：

例题解析

〔1〕教师引导学生分析，寻找证明方法。

我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点〞，但这是我们没有遇到过的．不妨我们再来看一下演示过程，或许你能从中受到启示．

通过演示和启发，引导学生认同：

“两直线必交于一点，那么要想证明‘“三线共点’，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可．〞

虽然我们已找到证明“三线共点〞的突破口，询问学生如何知道这个交点在第三边的垂直平分线上呢?

师生共析，完成证明

〔2〕讨论结束后，学生书写证明过程。

教师点评，注意几何符号语言的标准性。

：

在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP．

求证：

P点在AC的垂直平分线上．

证明：

∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）．

同理PB=PC．

∴PA=PC．

∴P点在AC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上）．

∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．

进一步设问：

“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论?

〞〔交点P到三角形三个顶点的距离相等．〕

〔3〕多媒体演示我们得出的结论：

定理　　三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等

3.引申拓展

（1）三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?

如果能，能作几个?

所作出的三角形都全等吗?

（2）等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?

如果能，能作几个?

所作出的三角形都全等吗?

（3）等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?

能作几个?

学生通过小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论。

由学生思考可得：

〔1〕三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如以下图：

：

三角形的一条边a和这边上的高h

求作：

△ABC，使BC=a，BC边上的高为h

从上图我们会发现，先作线段BC=a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定,我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD（或A1D），使AD=A1D=h，连接AB，AC（或△A1B，AlC），所得△ABC（或△A1BC）都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．〔见几何画板课件〕

〔2〕如果等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因为只要作等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．

另外有学生补充：

“不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上挖去．〞

〔3〕如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于底边的两侧．

●

例题学习

底边及底边上的高，求作等腰三角形．

：

线段a、h

求作：

△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h

作法：

1．作BC=a；

2．作线段Bc的垂直平分线MN交BC于D点；

3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；

4．连接AB、AC

∴△ABC就是所求作的三角形（如下图）．

●做一做：

课本第25页：

教师引导学生分析作出草图，注意对学生作法表达的准确性加以更正。

〔1〕例题：

直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.

学生先独立思考完成，然后交流：

说出做法并解释作图的理由。

〔2〕拓展：

如果点P是直线l外一点，那么怎样用尺规作l的垂线，使它经过点P呢？

说说你的作法，并与同伴交流.

:

：

习题1.8第1、2题。

6.课时小结

本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点〞的结论，并能根据此结论“等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形〞．

7.课后作业

习题1．8第3、4题

四、教学反思

本节课证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能利用尺规作出线段的垂直平分线．等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形，从尺规作图，逻辑推理多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。

第五章　反比例函数

一、学生知识状况分析

通过本章的学习，学生已经经历抽象反比例函数概念的过程，理解了反比例函数的概念，会作出反比例函数的图象，并探索和掌握其性质，能从函数图象中获取信息来解决实际问题。

本章的教学主要以直观操作，观察，概括和交流作为主要的活动方式。

通过这些活动，对函数的三种表示方法进行有机的整合，逐步形成对函数概念的整体性认识，逐步提高从函数图象中获取数学信息的能力，提高学生的感知水平，逐步形成从函数视角处理问题的意识，体验数形结合的数学思想方法.

教师应从现实情境和学生已有的知识经验出发，以本章三维教学目标为标准来考查学生的学习情况，考查学生对反比例函数的定义，图象，性质及其应用掌握的程度，以及从函数图象中敏锐地获取相关信息、分析问题、解决问题的能力.

二、教学任务分析

函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的根底上抽象出来的数学概念,是研究现实世界变化规律的重要内容及数学模型,学生已经在七年级下册和八年级上册学习过变量之间的关系、一次函数等内容,对函数已有了初步的认识,在此根底上讨论反比例函数,可以进一步领悟函数的概念，并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理和解决实际问题的经验,为后继学习二次函数等产生积极的影响。

教学目标

（一）知识与能力

1.经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念.

2.会作反比例函数的图象，并探索和掌握反比例函数的主要性质.

3.会从函数图象中获取信息，能运用反比例函数的概念、图象和主要性质解决实际问题.

（二）过程与方法

1.熟练掌握本章的整体知识结构，培养学生的概括和归纳能力，形成知识体系.

2.在经历抽象反比例函数概念的过程中，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，进一步培养学生的抽象思维能力.

3.经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流中开展学生的合作意识和交流能力.

　4.能根据所给信息确定反比例函数的表达式、会作反比例函数的图象，并能运用数形结合思想解决与反比例函数相关的数学问题和实际应用问题.

　　（三）情感与价值观

　　通过本章内容的回忆与思考，开展学生的数学应用能力，经历函数图象信息的识别与应用过程，开展学生的形象思维能力，激发学生学习的热情，培养学生学习数学的兴趣。

教学重点

　本章知识的网络结构体系.

　反比例函数的概念.

　会作反比例函数的图象，并掌握其性质.

　反比例函数的相关应用.

教学难点

　利用反比例函数的图像，探索反比例函数的主要性质.

　反比例函数的相关应用.

教学方法

　自主探究、合作交流.

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：

第一环节：

复习提问，引人入胜；第二环节：

知识串联，形成体系；第三环节：

例题精练，稳固新知；第四环节：

交流探讨、收获小结；第五环节：

课后作业

第一环节：

复习提问，引人入胜

活动目的给学生设置疑问，激发学生的思考和回忆，明确本节课的学习任务。

活动过程：

本章的内容已全部学完，请大家先回忆一下，本章学习了哪些主要内容?

学生答复预设：

反比例函数的定义；反比例函数的图象及性质；反比例函数的应用。

.教师引入：

下面我们就来系统全面地对本章内容进行复习。

.

第二环节：

知识串联，形成体系

活动目的：

引导学生对本章的所学的根底知识进行系统的归纳和整理，使学生明确各个知识点之间的联系，将根底知识网络化，形本钱章知识的框架结构体系。

活动过程：

〔一〕本章知识结构

引导学生构造本章知识结构图。

（可课前让学生自己制作本章知识的内容框架或思维导图，上课进行展示和交流）

本章内容框架

活动效果：

学生可以根据以上内容框架，对自己整理的知识框架进行补充和整理，完善自己的知识体系，并能用自己的语言归纳总结本章内容.

考前须知：

1.应以学生自主总结和归纳为主，教师要在适时适当的给予指导；

2.对于学生个性化的结构框架的整理设计，只要合理，老师都应给予肯定。

（二）举出现实生活中有关反比例函数的实例，并归纳出反比例函数概念.

学生答复预设：

例：

当三角形的面积是16cm2时，它的底边a（cm）是这个底边上的高h（cm）的函数.

解：

a＝

.

在上式中，任意给定h一个值，相应地就确定了一个a的值.因此a是h的函数。

所以一般地，如果两变量x，y之间的关系可以表示成y=

（k是常数，k≠0）的形式,那么称y是x的反比例函数.

〔三〕说说函数y＝

和y＝-

的图象的联系和区别.

联系：

（1）图象都是由两支曲线组成；

（2）它们都不与坐标轴相交；

（3）它们都不过原点，既是中心对称图形，又是轴对称图形.

（4）虽然y＝

和y=-

的图象不同，但是在这两个函数图象上任取—点，过这两点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积相等，都为2.

区别：

（1）它们所在的象限不同，y=

的两支曲线在第一象限和第三象限；y=-

的两支曲线在第二象限和第四象限.

（2）y＝

的图象在每个象限内，y随x的增大而减小；y=-

的图象在每个象限内，y随x的增大而增大.

〔四〕回忆反比例函数图象的作图步骤及反比例函数图象的性质

画函数图象的步骤有列表、描点、连线.在作反比例函数的图象时应注意：

列表时自变量的取值应选取绝对值相等而符号相反的—对一对的数值，并尽量多取一些点，连线时要连成光滑的曲线，而不是折线.

反比例函数图象的性质有〔课件演示〕：

1.形状：

反比例函数的图象是两支双曲线.

2.位置：

当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.

3.增减性：

当k>0时.在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y随x的增大而增大.

4.因为在y=

（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.

5.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2那么S1＝S2

6.对称性：

反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点.

第三环节：

例题精练，稳固新知

活动目的：

使学生运用反比例函数的概念、图象和主要性质熟练的解决实际问题，提高学生获取信息、分析问题、解决问题的能力。

活动过程：

课件展示

例一

1.以下函数中，其图象位于第一、三象限的有哪些?

在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的是哪些（）

（1）y=

（3）y=

（2）y=

（4）y=-

2.在函数y＝

的图象上任取一点P，过P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积是多少?

分析：

根据反比例函数图象的性质，当k＞0时，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，正好相反，但在y＝

中，形式虽然和反比例函数的形式不相同，但可以化成y=

的形式。

答案：

1.图象位于第一、三象限的有

（1）

（2）.在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有（3）（4）.

2.S=｜k｜=3.

例二

，当下底面放在桌子上时，对桌面的压强是200Pa，倒过来放，对桌面的压强是多少?

2，当体积v＝5米3ρ＝1.98千克／米3，求

（1）ρ与v的函数关系式；

（2）当v=9米3时，CO2的密度.

分析：

压强p、受力面积S、压力F三者之间的关系为p=

，因为是同一物体，所以F是一定的，由于受力面积不同，因此压强也不同.

质量m、密度ρ、体积v三者之间的关系为：

ρ=

，由v=5米3，ρ=1.98千克／米3,可知质量m，实际代表反比例函数中的k，求出m，就确定了反比例函数的关系式.

答案：

解：

1.当下底面放在桌面上时，对桌面的压强为p1＝

＝200Pa,所以倒过来放时，对桌面的压强p2＝

＝800Pa.

2的质量为m千克，将v=5米3，ρ=1.98千克／米3代入公式ρ＝

中，得m=9.9千克.

故所求ρ与v间的函数关系式为ρ＝

.

（2）当v＝9米3时，ρ=

＝1.1（千克／米3）。

课堂练习课件演示：

1.对于函数y=

，当x>0时，y_______0，这局部图象在第______象限；对于y＝-

，当x<0时，y____0，这局部图象在第_____象限.

2.函数y=

的图象在第____象限内，在每一个象限内，y随x的增大而______.

3.根据以下条件，分别确定函数y＝

的表达式

（1）当x=2时，y＝-3；

（2）点（-

）在双曲线y＝

上.

答案：

1.>一、三<二、四

2.一、三减小

3.

（1）y=

（2）y=

；

考前须知：

在本环节教学中，教师可以引导学生首先进行独立思考，防止替代思维，然后可以通过小组讨论、合作交流等形式，启发学生对问题进行探究，分析，完善解题思路，进而感悟和总结解决此类问题的一般方法和规律。

第四环节：

交流探讨收获小结

活动内容：

教师引导学生进行回忆和整理，然后通过师生交流和生生交流，答复以下问题：

本节课我们都一起回忆和复习了哪些内容？

交流预设：

1.反比例函数概念

2.反比例函数图像的做法及性质

3.反比例函数在生活中的应用

4.做题时要注意数形结合

5.具体题目的解题思路

活动目的：

使学生通过再次的回忆和总结，完善自己知识框架，进一步培养了学生归纳和交流能力。

第五环节：

课后作业

〔一〕复习题

〔二〕活动与探究

反比例函数图象与矩形的面积

假设点A是反比例函数y=

（k≠0）图象上的任意一点，且AB垂直于x轴，垂足为B，AC垂直于y轴，垂足为C,那么矩形面积SABOC=｜k｜.如图

（1）.

1.如图

（2），P是反比例函数）y=

（k≠O）图象上的一点，由P点分别向x轴，y轴引垂线，得阴影局部（矩形）的面积为3，那么这个反比例函数的表达式______.

2.如图〔3〕过双曲线y=

上两点A、B分别作x轴，y轴的垂线，假设矩形ADDC与矩形BFOE的面积分别为S1,S2,那么S1与S2的关系是_____.

答案：

1.解：

由题意得｜k｜=3.

又双曲线的两支分布在第二、四象限，所以k<0，故k＝-3.

∴k=

.

2.解：

由题意得

S1=S2=｜k｜=2.

〔三〕补充练习（课件展示〕

〔四〕反比例函数与正比例函数图象性质比拟分析

四、板书设计

回忆与思考

一、本章知识结构

二、课堂练习

三、课时小节

四、课后作业

五、教学反思

本节作为本章的复习课，涉及到了中学数学里所有的数学思想方法，包括待定系数法、数形结合法、方程思想等等，这些方法相互渗透，相互融合，构成了函数应用的广泛性，解法的多样性，和思维的创造性。

   函数的性质、图象及函数与方程、不等式知识的联系和综合应用是命题的热点，尤以探索性题型考查较多，其主要特点是要求学生能够建立数学模型，对相关知识进行综合应用。