专题11三角形的证明章末重难点题型举一反三北师大版.docx
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专题11三角形的证明章末重难点题型举一反三北师大版
专题1.1
三角形的证明章末重难点题型【北师大版】
【考点1等腰三角形的性质】
【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
【例1】（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（）
A．50°
B．130°
C．50°或140°
D．50°或130°
【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．
【答案】解：
当为锐角时，如图：
1
∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，∴∠A＝50°，
当为钝角时，如图：
∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，
∴顶角∠BAC＝180°﹣50°＝130°．
故选：
D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．
【变式1-1】（2018秋•洪山区期中）如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（）
A．3∠1﹣∠2＝180°
C．∠1+3∠2＝180°
B．2∠1+∠2＝180°D．∠1＝2∠2
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠1和∠C之间的关系，再根据三角形外角的性质可得∠1和∠2之间的关系．
【答案】解：
∵AB＝AC＝BD，
∴∠B＝∠C＝180°﹣2∠1，
2
1
1
1
12
121
12
2
123
23
2
4
∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠1，
∴3∠1﹣∠2＝180°．
故选：
A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和定理以及三角形外
角的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键，本题难度适中．
【变式1-2】（2018秋•邗江区期中）如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）
A．
（1）
（2）（3）
B．
（1）（3）（4）
C．
（2）（3）（4）
D．
（1）
（2）（4）
【分析】根据等腰三角形的判定对①②③④个选项逐一分析，只有②不能被一条直线分成两个小等腰三角形
【答案】解：
①中作∠B的角平分线即可；
3过A点作BC的垂线即可；
4中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可；
只有②选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
故选：
B．
【点睛】考查了等腰三角形的判定方法以及三角形的内角和定理；进行尝试操作是解答本题的关键．
【变式1-3】（2018秋•新吴区期中）如图，在第一个△ABA中∠B＝20°，AB＝AB，在AB上取一点C，
延长AA到A，使得AA＝AC，得到第二
AAC；在AC上取一点D，延长AA到A，使得AA＝AD；…，按此做法进行下去，则以点A为顶点的等腰三角形的底角的度数为（）
3
1
21
32
43
6
1
1
1
121
1
12
21
32
43
n
4
5
5
21
32
43
A．175°
B．170°
C．10°
D．5°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BAA的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CAA，∠DAA及∠EAA的度数，找出规律即可得出∠A的度数．
【答案】解：
∵在△ABA中，∠B＝20°，AB＝AB，
∴∠BAA＝＝80°，
∵AA＝AC，∠BAA是
AC的外角，
∴∠CAA＝＝＝40°；A
同理可得∠DAA＝20°，∠EAA＝10°，
∴∠A＝，
以点A为顶点的底角为∠A．
∵∠A＝
＝5°，
故选：
D．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CAA，∠DAA及∠EAA的度数，找出规律是解答此题的关键．
【考点2等腰三角形的判定】
【方法点拨】掌握等腰三角形的判定：
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
简称“等角对等边”
牢记：
（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注意区分；
（2）判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。
【例2】（2019春•深圳期中）如图，DE∥BC，CG＝GB，∠1＝∠2，求证
DGE是等腰三角形．
4
【分析】根据已知条件，容易得出△ADE
ABC都是等腰三角形，则G为等腰△ABC底边BC的中点，为此连接AG，由等腰三角形的轴对称性质，得出结果
【答案】解：
连接AG，
∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠1，∠ACB＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠ACB．
又∵G为BC中点，
∴AG⊥BC．
∴AG⊥DE且平分DE，
∴DG＝GE．
∴△DGE是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质和平行线的知识点，解题要充分利用已知条件，联系所学结论，灵活选用解法．
【变式2-1】（2018秋•双阳区校级期中）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．求证：
△BED是等腰三角形．
5
【分析】依据角平分线即可得到∠EBD＝∠DBC，依据平行线的性质即可得到∠EDB＝∠DBC，进而得出∠EBD＝∠EDB，由此可得△BED是等腰三角形．
【答案】证明∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBC．
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC．
∴∠EBD＝∠EDB，
∴ED＝EB，
∴△BED是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
【变式2-2】（2018秋•鸠江区期中）已知：
如图，O为△ABC的∠BAC的角平分线上一点，∠1＝∠2，求证：
△ABC是等腰三角形．
【分析】要证明三角形是等腰三角形，只需证明∠ABC＝∠ACB即可，只要∠5＝∠6，只要三角形全等即可，作出辅助线可证明三角形全等，于是答案可得．
【答案】证明：
作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵AO平分∠BAC，
∴OE＝OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∵∠1＝∠2，
∴OB＝OC．
∴
OBE≌
OCF（HL）．
6
∴∠5＝∠6．
∴∠1+∠5＝∠2+∠6．
即∠ABC＝∠ACB．∴AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定及性质；作出辅助线构建全等的三角形是正确解答本题的关键．
【变式2-3】（2019秋•望谟县期中）已知：
如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．求证：
△ABC是等腰三角形．
【分析】由OB＝OC，即可求得∠OBC＝∠OCB，又由，锐
ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC是等腰三角形．
【答案】证明：
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC＝∠CDB+∠DBC+∠ACB＝180°，
∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD，
∴∠ABC＝∠ACB，
7
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定，以及角平分线的判定等知识．此题难度不大，注意等角对等边与三线合一定理的应用．
【考点3“三线合一”性质的应用】
【方法点拨】等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
【例3】（2019秋•武昌区期中）如图，
ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点，求证：
AG⊥EF．
【分析】只要证明AF＝AE，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题；
【答案】证明：
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠CBE∠AEF＝90°﹣∠ABE
又∵∠AFE＝∠DFB＝90°﹣∠CBE
∴∠AFE＝∠AEF，
∴△AFE为等腰三角形
又∵G为EF的中点
∴AG⊥EF．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3-1】（2019秋•青山区期中）在△ABC中，BC边上的高AG平分∠BAC．
（1）如图1，求证：
AB＝AC；
（2）如图2，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BC＝10cm，DE＝6cm，求BD的长．
8
【分析】
（1）想办法证明∠B＝∠C即可解决问题．
（2）如图2中，作AG⊥BC于G．利用等腰三角形的三线合一的性质证明BD＝CE即可解决问题．【答案】
（1）证明：
如图1中，
∵AG为∠BAC的平分线，∴∠BAG＝∠CAG，
∵AG为BC边上高
∴∠AGB＝∠AGC＝90°，∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
（2）如图2中，作AG⊥BC于G．
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴BG＝CG，
∵AD＝AE，AG⊥BC，
∴DG＝EG，
∴BG﹣DG＝CG﹣EG，
∴BD＝CE，
∵BC＝10cm，DE＝6cm，
∴BD＝2cm．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9
【变式3-2】（2019•衡阳校级期中）已知：
如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：
BD＝DE．
【分析】欲证BD＝DE，只需证∠DBE＝∠E，根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明∠DBE＝∠E＝30°．
【答案】证明：
∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE＝∠ABC＝30°．
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E．
∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，
∴∠CDE+∠E＝60°．
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠DBE＝∠DEB＝30°，
∴BD＝DE．
【点睛】本题考查等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180°等知识．此类已知三角形边
之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
【变式3-3】如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：
DM＝DN；
（2）若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明．
10
【分析】
（1）连接AD，可得∠ADM＝∠CDN，可证△AMD≌△CND，可得DM＝DN；
（2）连接AD，可得∠ADM＝∠CDN，可证△AMD≌△CND，可得DM＝DN．【答案】解：
（1）连接AD，
∵D为BC中点，
∴AD＝BD，∠BAD＝∠C，
∵∠ADM+∠ADN＝90°，∠ADN+∠CDN＝90°，
∴∠ADM＝∠CDN，
在△AMD和△CND中，
，
∴△AMD≌△CND（ASA），
∴DM＝DN．
（2）连接AD，∵D为BC中点，∴AD＝BD，∠BAD＝∠C，
∵∠ADM+∠MDC＝90°，∠MDC+∠CDN＝90°，
∴∠ADM＝∠CDN，
∵∠MAD＝MAC+DAC＝135°，∠NCD＝180°﹣∠ACD＝135°在△AMD和△CND中，
11
，
∴△AMD≌△CND（ASA），
∴DM＝DN．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AMD≌△CND是解题的关键．
【考点4等边三角形的判定与性质】
【方法点拨】等边三角形的性质：
（1）等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对称轴；
（2）等边三角形的每个角都等于60°。
等边三角形的判定：
（1）三边相等的三角形是等边三角形。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。
（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【例4】（2018秋•松桃县期末）如图，点P，M，N分别在等
ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：
△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝12cm，求CM的长．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；
（2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得BM+PB＝AB＝12cm，
根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的长，进而得出MC的长．
12
【答案】解：
（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，
∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，
∴△PMN是等边三角形；
（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，
∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，
∴BM+PB＝AB＝12cm，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴2PB＝BM，
∴2PB+PB＝12cm，
∴PB＝4cm，
∴MC＝4cm．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质等，得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP是本题的关键．
【变式4-1】（2018秋•邵阳县期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
【分析】
（1）证明∠ABC＝∠ACB＝60°；证明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解决问题．
13
（2）证明BD＝OD；同理可证CE＝OE；即可解决问题．
【答案】解：
（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；
∴△ODE的周长＝BC＝10．
【点睛】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用平行线的性质、等边三角形的性质来分析、判断、解答．
【变式4-2】（2019秋•寿光市期末）如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC
的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN．
（1）求证：
△ABE≌△DBC．
（2）试判断△BMN的形状，并说明理由．
【分析】
（1）由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等；
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（2）三角形BMN为等边三角形，理由为：
由第一问三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形
的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD＝∠EBC＝60°，利用平角的定义得到∠MBE＝∠NBC＝
60°，再由EB＝CB，利用ASA可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等
得到MB＝NB，再由∠MBE＝60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形．
【答案】解：
（1）证明：
∵等
ABD和等边△BCE，
∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC＝120°，
在△ABE和△DBC中，
∵，
∴△ABE≌△DBC（SAS）；
（2）△BMN为等边三角形，理由为：
证明：
∵△ABE≌△DBC，
∴∠AEB＝∠DCB，
又∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠MBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
即∠MBE＝∠NBC＝60°，
在△MBE和△NBC中，
∵，
∴△MBE≌△NBC（ASA），
∴BM＝BN，∠MBE＝60°，
则△BMN为等边三角形．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．同时做第二问时注意利用第一问已证的结论．
【变式4-3】（2019秋•中江县期末）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、
点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到
15
达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？
如存在，请求出此时M、N运动的时间．
【分析】
（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；
（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证
ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．
【答案】解：
（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+12＝2x，
解得：
x＝12；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝12﹣2t，
解得t＝4，
∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由
（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
16
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN，
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
y﹣12＝36﹣2y，
解得：
y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
【考点5直角三角形全等的判定】
【方法点拨】对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
【例5】（2018秋•思明区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥CB，BD＝AC．求证
ABD≌△BAC；
【分析】根据AD⊥BD，AC⊥CB，可得∠ADB＝∠BCA＝90°，而AB＝BA，BD＝AC，利用HL可证
ADB≌
BCA．
【答案】证明：
∵AD⊥BD，AC⊥CB，
17
∴∠ADB＝∠BCA＝90°，
在
ADB和
BCA中，
AB＝BA，BD＝AC，
∴
ADB≌
BCA（HL）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是证明
ADB≌
BCA．
【变式5-1】（2019秋•睢宁县校级月考）如图，
ABC中，∠C＝90°，BC＝2，一条直线MN＝AB，M、
N分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AP上运动．问点M运动到什么位置，才能使△ABC和△AMN全等？
并证明你的结论．
【分析】由条件可知∠C＝∠MAN＝90°，且AB＝MN，故要使△ABC和△AMN全等则有AM与CA对应或AM和BC对应，从而可确定出M的位置．
【答案】解：
当点C和点M重合或AM＝2时两个三角形全等，
证明如下：
∵PA⊥AC，
∴∠BCA＝∠MAN＝90°，
当点C、点M重合时，则有AM＝AC，
在
ABC和
MNA中，
∴
ABC≌
MNA（HL），当AM＝BC＝2时，
在
ABC和
MNA中，
∴
ABC≌
MNA（HL），
综上可知当点C和点M重合或AM＝2时两个三角形全等．
18
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
【变式5-2】（2019秋•合浦县期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：
ABF≌
DCE．
【分析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．【答案】证明：
∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在
ABF和
DCE中，
，
∴
ABF≌
DCE（HL）．
【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE＝CF通过等量代换得到BF＝CE．
【变式5-3】（2019春•醴陵市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交
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