假设检验习题及答案.docx
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假设检验习题及答案
第三章假设检验
3.2一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950（小时）。
已知这种元件寿命服从标准差
10（0小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。
提出假设：
H0:
1000,H1:
1000构造统计量：
此问题情形属于u检验，故用统计量：
代入上式得：
950-1000u=2.5
10025
拒绝域：
V=uu1本题中：
0.05u0.951.64即，uu0.95拒绝原假设H0
认为在置信水平0.05下这批元件不合格。
3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）：
3.253.273.243.263.24
设测定值服从正态分布，问在0.01下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为
提出假设：
H0:
103.25H1:
10
构造统计量：
本题属于2未知的情形，可用t检验，即取检验统计量为：
本题中，x3.252,S=0.0117,n=5
代入上式得：
0.3419
t=3.252-3.25
t=0.011751
否定域为：
V=t>t1-（n1）
1-2
本题中，0.01,t0.995（4）4.6041
tt1
2
接受H0,认为这批矿砂的镍含量为3.25。
3.5确定某种溶液中的水分，它的10个测定值X0.452%,S0.035%,
设总体为正态分布N（,2）,试在水平5%检验假设：
（i）H0:
0.5%H1:
0.5%
（ii）H0:
0.04%H1:
0.0.4%
（i）构造统计量：
本文中未知，可用t检验。
取检验统计量为
t=X0
Sn1本题中，X0.452%S=0.035%代入上式得：
0.452%-0.5%
t=-4.1143
0.035%10-1拒绝域为：
V=t>t1-（n1）本题中，0.05n=10
t0.95（9）1.8331t4.1143拒绝H0
（ii）构造统计量：
未知，可选择统计量
代入上式得
210（0.035%2）27.6563（0.04%）2
2
0
本题中，S0.035%n=1000.04%
否定域为：
V=212（n1）
本题中，
12（n1）02.95（9）16.919
212（n1）
接受H0
3.9设总体XN（,4）,X1,,X16为样本，考虑如下检验问题：
H0:
0H1:
1
=0.05
（i）试证下述三个检验（否定域）犯第一类错误的概率同为
V1={2X-1.645}
V2=1.502X2.125
V3=2X1.96或2X1.96
（ii）通过计算他们犯第二类错误的概率，说明哪个检验最好？
解：
（i）
PxVH00.05即，PUXUU0.9750.05
120.975这里H0:
0
PX2*1.960.05
V12X1.645
X0
P2X1.645P1.645（1.645）1（1.645）n
=1-0.95=0.05
X0
V21.502X2.1251.502.120
2
n
PV2H0（2.215）（1.50）0.980.930.05
V32X1.96或2X1.962X1.96X01.96
n
P（V3H0）=1-P2X1.962（1（1.96））0.05
ii）
犯第二类错误的概率
=P-VH1
V1:
1=P2X1.6451
X1
=P0.3551（0.355）0.36
n
V2:
21P1.502X2.1251
X1
=1-P3.504.125
n
=1-（4.125）+（3.50）
=1
V3:
3P2X1.961
X1
=P0.043.96
n
=（3.96）-（0.04）
=0.99996092-0.516=0.48396092
V1出现第二类错误的概率最小，即V1最好。
3.10一骰子投掷了120次，得到下列结果：
点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
23
26
21
20
15
15
问这个骰子是否均匀？
（0.05）
解：
6
本题原假设为：
H0:
Pi1i=1,2,
6
这里n=120,nPi20本题采用的统计量为Pearson2统计量
k2
即，
2k（ninpi）i1npi
代入数据为：
12（k-1）=02.9（55）=11.071由于212（k-1）所以接受H0即认为这个是均匀的。
3.11某电话站在一小时内接到电话用户的呼唤次数按每分钟记录的如下表：
呼吸次数
0
1
2
3
4
5
6
>=7
频数
8
16
17
10
6
2
1
0
试问这个分布能看作为泊松分布吗？
（=0.05）解：
检验问题为：
已知的最大似然估计
22
（1660*0.2707）2（160*0.0120）260*0.270760*0.0120
=0.6145
由于12（k-1）=02.9（55）=11.071
212（k-1）
接受H0,即分布可以看作为泊松分布。
3.13从一批滚珠中随机抽取了50个，测得他们的直径为（单位：
mm）:
15.0
15.8
15.2
15.1
15.9
14.7
14.8
15.5
15.6
15.3
15.1
15.3
15.0
15.6
15.7
14.8
14.5
14.2
14.9
14.9
15.2
15.0
15.3
15.6
15.1
14.9
14.2
14.6
15.8
15.2
15.9
15.2
15.0
14.9
14.8
14.5
15.1
15.5
15.5
15.1
15.1
15.0
15.3
14.7
14.5
15.5
15.0
14.7
14.6
14.2
是否可认为这批滚珠直径服从正态分布？
（0.05）解：
设X为滚球的直径，其分布函数为F（x）,则检验问题为
x
H0:
F（x）（）
在H0成立的条件下，参数，2的最大似然估计为=15.078，20.183314.6-15.078
p1（）（-1.1163）0.1321
10.4282
14.815.078
p2（）（-1.1163）（-0.6492）（-1.1163）0.1260
0.4282
15.115.078
p3（）（-0.6492）（0.0514）（-0.6492）0.2624
0.4282
15.415.078
p4（）（-0.6492）（0.7520）（0.0514）0.2535
0.4282
p51p1p2p3p40.2260
12-（k-m-1）=02.9（52）=5.991
212-（k-m-1）=5.991
接受H0,认为滚珠直径服从正态分布。
3-13表
i
（ai1,ai）
ni
pi
npi
（ninpi）2npi
1
（0,14.6）
6
0.1321
6.6061
0.0556
2
[14.6,14.8）
5
0.1260
6.2976
0.2674
3
[14.8,15.1）
13
0.2624
13.1209
0.0011
4
[15.1,15.4）
14
0.2535
12.6752
0.1385
5
[15.4,）
12
0.2260
11.3003
0.0433
0.5059
3.15下列为某种药治疗感冒效果的3*3列联表。
疗效年龄
儿童
成年
老年
显著
58
38
32
128
一般
28
44
45
117
较差
23
18
14
55
109
100
91
300
试问疗效与年龄是否有关（0.05）？
解：
代入数据得：
=13.5862
12-（（r1）（s1））02.95（4）9.488
212-（（r1）（s1））02.95（4）
拒绝H0,认为疗效与年龄有关。
3.16自动机床加工轴，从成品中抽取11根，并测得它们直径（单位：
mm）如下：
10.5210.4110.3210.1810.6410.77
10.8210.6710.5910.3810.49
试检验这批零件的直径是否服从正态分布？
（0.05,用W检验）
2
（X（k）X）20.3821
X
（1）X
（2）X（n）
本题采用的统计量为：
解：
为了便于计算，列表如下：
这里n=11。
表3-16
k
X（k）
X（n1k）
X（n1k）X（k）
ak（W）
1
10.18
10.82
0.64
0.5601
2
10.32
10.77
0.45
0.3315
3
10.38
10.67
0.29
0.2260
4
10.41
10.64
0.23
0.1429
5
10.49
10.59
0.1
0.0695
6
10.52
10.52
0
H0:
总体服从正态分布H1:
总体不服从正态分布
将观察值按非降次序排列成：
11
i1
X10.5264
5
ak（W）[X（12k）X（k）]i=1
=0.5601*0.64+0.3315*0.45+0.2260*0.29+0.1429*0.23+0.0695*0.1=0.6130
所以
0.3821
W0.050.85
WW0.05
接受H0,认为这批零件的直径服从正态分布。
3.18用两种材料的灯丝制造灯泡，今分别随机抽取若干个进行寿命试验，其结果如下：
甲（小时）：
1610165016801700175017201800
乙（小时）：
15801600164016401700试用秩和检验法检验两种材料制成的灯泡的使用寿命有无显著差异（0.05）？
解：
将两组数据按从小到大的次序混合排列如下表所示，其中第一组的数据下边标有横线。
设两个总体的分布函数分别为F1（x）与F2（x）,它们都是连续函数，但均为未知。
我们要检验的原假设为：
H0:
F1（x）F2（x）
表3-18
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
数据
1580
1600
1610
1640
1640
1650
1680
1700
1700
1720
1750
1800
这里1700两组都有，排在第8，第9位置上，它的秩取平均数
8+9）/2=8.5这里
n17n25,T取T2,即
T=T212458.520.5
从附表13查得T
（1）T（01.0）522,T
（2）T（02.0）543T（1）22
拒绝H0,认为两种材料制成的灯泡的使用寿命有显著差异
3.21对20台电子设备进行3000小时寿命试验，共发生12次故障，故障时间为
340430
56092013801520
166017702100232023501650
试问在显著水平0.10下，故障事件是否服从指数分布？
解：
x
原假设为：
H0:
F（x）F0（x;）1ex,x>0
求未知参数
的极大似然估计值
1121
112i=1Xi112（3404301650）=1416.67
按公式
X（i）
F0（X（i）;）1e1416.67
计算X（i）点的分布函数值，在列表计算di值
X（i）
ni
F0（X（i）;）
Fn（X（i））
Fn（X（i1））
F0（X（i）;）
Fn（X（i））
Fn（X（i1））
F0（X（i）;）
di
340
1
0.2134
0
0.0833
0.2134
0.1300
0.2134
430
1
0.2618
0.0833
0.1667
0.1785
0.0951
0.1785
560
1
0.3265
0.1667
0.2500
0.1599
0.0765
0.1599
920
1
0.4776
0.2500
0.3333
0.2276
0.1443
0.2276
1380
1
0.6225
0.3333
0.4167
0.2891
0.2058
0.2891
1520
1
0.6580
0.4167
0.5000
0.2413
0.1580
0.2413
1660
1
0.6902
0.5000
0.5833
0.1902
0.1068
0.1902
1770
1
0.7133
0.5833
0.6667
0.1300
0.0467
0.1300
2100
1
0.7729
0.6667
0.7500
0.1062
0.0229
0.1062
2320
1
0.8056
0.7500
0.8333
0.0556
0.0278
0.0556
2350
1
0.8096
0.8333
0.9167
0.0237
0.1070
0.1070
2650
1
0.8470
0.9167
1.0000
0.2287
0.3120
0.3120
2.2108
由表可知Sn2.2108,给定显著水平0.10，查附表9得S12,0.101.65
SnS12,0.10
拒绝H0,既不认为故障时间服从指数分布。
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