高等数学下典型习题及参考答案.docx
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高等数学下典型习题及参考答案
第八章典型习题
、填空题、选择题
1、点M（4,1,3）到y轴的距离是
2、平行丁向量a（1,2,1｝的单位向量为
3、过点0,2,1且与平■面xy3z40垂直的直线为
4、
22
曲线：
xy
y2
z210工十“「口
在xoz面上的投影柱面方程是
5、
设直线l1：
J
2
6、
C23
已知a2ij
2k,b3i4j
5k,则与3a
b平行的单位向量为（
（A）（3,7,11}
（B）（3,7,11}
1
（C）1
有（3,7,11}（D）
-179（3,
7,11}
22
xy
7、曲线
z2
z29.
在xoy平面上投影曲线的万程为（
2x
（A）
z
y25
2
22
xy（B）yz0
z29
（C）
（D）
8、设平■面的一般式方程为
AxByCzD
0时,
该平■面必（）
（A）平行丁y轴
（B）
垂直丁z轴
（C）
垂直丁y轴
（D）
通过x轴
9、设空间
直线的方
L1：
z1m…
——则必有
4
（A）L1//L3（B）L1
L2
（C）
L2
L3
（D）
L1//L2
10、设平面的一般式方程为Ax
ByCz
。
，当A
0时，该平■面必（
（A）垂直丁x轴（B）垂直丁y轴（C）
垂直丁xoy面
（D）平行丁xoy面
、x2
11、方程一
3
22
匕—0所表示的曲面是（
35
（A）
椭圆抛物面
（B）椭球面
1、
2、
3、
4、
5、
6、
（C）
解答题
旋转曲面
（D）单叶双曲面
设一平■面垂直丁平■面
求过点
已知平■面
求过球面
0,并通过从点P（1,
1,1）到直线
x0—E
的垂线，求该平面方程。
z10
x
求经过直线-
y
4
z2一，r,
3且平"线
x
_5
4
匕NJ的平面
72
方程.
xy2z
且平行于直线7
1
0
的直线方程.
x2yz
1
0
―2x
y
2
0，一一
2x
2
0项线L:
，求通过L且与
班直的半向方程。
3y
2z
2
0
1,2,1
x3
求过直线亍
2
z2x2y4z
0的球心且与直线
x3y2z一
垂直的平■面方程。
321
f与直线外的点（3,54）所在的平面方程。
第九章典型习题
、填空题、选择题
111
1、z）的正义域为;zj|的正义域为
xy.1x2y21
2、
lim—
；0.xy11
xy
=—:
lim1
x0
y0
lim
y2
tanxy
x
3、
设z...ln
xf
-=;设z3xy,-=;
xx
设zfx2y2,fu是可微函数，其中ux2y2,求—
y
4、设zexsiny,求dz;设zarctan仝，求dz;设zex,求dz。
y
5、设z3
xy
z
0,求—
x
;由方程eyxyze确^宁函数z
zx,y，求—0
x
6、求曲线
x
t,
yt2,z
t3在t2处的切线方程；
7、求函数
f
x,y
4xy
x2y2的驻点。
8、设fx,y,zxy2
yz2zx2，求fxx0,0,1。
9、函数zfx,y在点x0,y0处fxX0,y0,fyX0,y0存在，贝Ufx,y在该点（）
A、连续B、不连续C、不一定连续D、可微
10、求曲面2y2x23z212在点（1,-2,1）处的切平■面方程；
求曲面zxy在点（1,1,1）处的切平■面方程。
11、fx,y2sinx2y在点（0,0）处（）A、无定义B、无极限C、有极限，但不连续D、连续
12、设zu2v2,而uxy,vxy,求—,—；
xy
13、如果x°,y0为fx,y的极值点，且fx,y在x°,y0处的两个一阶偏导数存在，贝Ux°,y0必为fx,y
的（）A、最大值点B、驻点C、连续点D、最小值点
14、函数fx,y在x,y处的偏导数连续是它在该点可微的（）
A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、以上均不对
15、函数fx,y在x,y处的偏导数存在是它在该点可微的（）
A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、既非必要乂非充分条件
16、如果函数fx,y在x0,y。
的某邻域有连续的二阶偏导数，且f^x°,y°fxxx。
"。
fyyx°,y00,
则fx°,y0（）A、必为fx,y的极小值B、必为fx,y的极大值
C、必为fx,y的极值D、不一定为fx,y的极值
二、解答题
1、求曲面x22y23z26在点P（1,1,1）的切平■面方程和法线方程。
2、已知zfx2y,—，其中f为可微函数，求一^,—^。
xxy
3、设zzx,y是由方程-ln-确定，求—,—0zyxy
4、求函数zx2y2在条件2xy2下的极值。
5、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。
6、将正数a分成三个数之和，使它们的乘积为最大。
7、设zfx,—，求dz;设ezxyz0,求dz。
y
第十章、第^一章典型习题
、填空题、选择题
1、将二重积分
fx,ydxdy化为二次积分，其中积分区域D是由y4,yx2,x0所围成，下歹U各式
D
2、
3、
旋转抛物面
）A
4
2dxx
2,
0fx,ydyB、
44
dxfxydy
00
4
y
4y
C、
0dy
fxydxD、0
dyfx,ydx00
0,x
1,y
0,y1,z0,z
1所围成的区域，则
2
2
x
y一
中正确的是（
z
设是由x
z
2
xyzdxdydz
A、
x2
侦1x2y2dxdyB、
y22x2
1x2y2dxdyy24
C、
x2
V1x2y2dxdyD、v1x2y2dxdy
y24x2y22
4、
1x1,y
右0dxx2fx,ydy0dYgy
fx,ydx，贝Ugy
AVyB、yC、y2D、x2
5、
利用球坐标计算三重积分
fx2
其中
z22z,下列定限哪一个是正确
2
（）A、0d
02d
2fr2rdr
0
0d
2cos
22・，
frrsindr
6、
_2
Gd
0
曲线L为圆x2
2d0
2y
2cos22
frrsindr
0
1的边界的负向曲线积分
2cos
0
fr2rdr
7、
设D是长方形区域:
0x3,1y3，贝U
D
:
:
ydx
L
ydxdy
xdy
8、设fx,y是连续函数，贝
1y
A0dy0fx,y
1
dxB、0
9、曲线L为y2
x从（1,
10、设L为圆x2
!
22
ya
A02-
AadB
2
22
、ad
0
11、设D是由x
0,y0,x
12、设D:
x2
y24,f
2-.
A2rfrdr
B、4
0
13、
』二次积分dxfx,ydy（）
0x
dy0fx,ydxC、°dyyfx,ydxD、°dy〔fx,ydx
-1）到（0,0）,则Lxdy
0的边界，把曲线积分令、「x2y2ds化为定积分时的正确结果是（
L
0
ad
2
一2一_
C、adD
0
y2所围成的区域,
是域D上的连续函数,
2一一一-
rfrdrC、2
0
dxdy
D
f.x2
D
2.frdr
重积分中球面坐标系中体积元素为（
A、
2
rsindrddB、rsindrd
、rdrddz
14、
aa2y222
dyxydx
00
dr3drB、2dr3dr
0000
3dr
15、
卜列曲线积分哪个与路径无关
Lx2dyy2dxB
lydx
xdy
L6xy2
y3dx
16、设：
0x1,1
y3,2z
4,
dxdydz
17、设区域D是圆x2
y21部,
rdrd
drd
dxdy（
r
rfrdr
0
6x
2
正确的（）A0
d
a1
dr
00
r3dz
2
B、d
0
a1
drr
00
2r
z2dz
2
C、
0
d
a1
dr
00
r2dz
2
D、d
0
a1
dr
00
2r
z2dz
19、设D为坏形区域
20、设Q为球面x2
2y
4x2
2z
y29,WJ3d
D
1所围成的闭区域,
则
dxdydz
18、利用柱坐标计算三重积分
dv,其中Q:
2.
则0AxyzdS
设两点O0,0,0,A0,0,2,
2z
2x
D
22
xy
21、
dz
a3
rdr
0
3xy2dy
22c
ya,0
.ydxxdy
Lx2y2
z1,下歹U定限哪一个是
22、
若dxfx,ydydxfx,ydy
1000
11y
dyfx,ydx，贝Uy
0y
23、
L是曲线yx2上点（0,0）与点（1,
1）之间的一段弧，MLJyds（）
A、
1j2一1=2
v12xdxB、2x*TxdxC
0•0
2.
2xdxD、
011x2dx
24、
设Dx,yx
2
25、
26、
27、
1、
2、
3、
2y21，则ex2y：
D
1-'1x21x2y2
0dx0虬dz
重积分柱面坐标系中体积元素为（
r2sin
dxdy
drddB
rsindrdd
rdrddzD、drddz
x,y在区域D
a
frcos,rsin
0，
x,y
rdr
2a,a
0上连续，贝Ufx,yd
D
—a
402d0frcos,rsinrdr
a
rdrD、22d
frcos,rsinrdr
设D由x轴和y
sinx,x
0,所围成，则积分
D
d
设:
0x1,0
y1,0
zK，且xdxdydz
1,则
4
解答题
rsin
28、
29、
K
计算二重积分
2x
其中Q是由曲面2x2y2
-22
、.ax
L22
ax
a
adx22frcos
0a
求由曲面z2
2,
ydv,
y2勺z
x2y2所围立体的体积。
z与平■面z4所围成的区域。
计算曲线积分l
ydxy
xdy，其中L是曲线x2t2
t1,yt21上从点（1,1）到（4,2）
的一段弧。
4、计算x3
L
xydx
y2dy，其中L为区域0x1,0
y1的反向边界。
计算L2x
y4dx
5y3x6dy，其中L以（0,0）、（3,0）、（3,2）为顶点的三角形区域的正
向边界。
计算Lx
ydxy
xdy，其中L是沿从（1,1）到（1,2）再到（4,2）的折线段。
5、计算三重积分zdxdydz,其中Q是为球面x2y2z24与抛物面x2y23z所围成的闭区域。
6、计算二重积分y2xdxdy，其中D由直线yx,y2x,y2所围成的区域。
D
计算二重积分e2x22y2dxdy，其中D由x2y24与x2y29所围成的圆环形区域。
D
区域。
第十二章典型习题
、填空题、选择题
3、如果un1,则limun
4、函数In1x的麦克劳林级数展开式为（）A、
1n11nx
n1n
n1
n
—x
n1n!
1nx
n1n!
5、籍级数Rxn的收敛半径R=
n12
3n
;籍级数-xn1n
1n的收敛半径
R=
6、下列级数中是收敛的级数为（
3n
1
1—…，「，
7、级数是绝对收敛级数,
n1n
则（）A、
/皿1n1口/皿
8、级数一是（）；级数
n17
n2
cosn
一是（
n13
n3
A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性不定
9、设Un为任意项级数，且
Un
n1
收敛，则（）
A、原级数绝对收敛B、原级数条件收敛C、原级数发散D、原级数敛散性不定
10、籍级数二一xn的收敛区间是
n1n
11、设籍级数anXn在x2发散，则它在x3是（）n1
A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性不定
12、如果Un5,Vn10，贝U2Vn3Un
13、函数fx—1一展开成X的籍级数为（）
12x
A1n2xnB、xnC、1n2xnD、2xn
n1n0n0n0
14、limun0是级数un收敛的（）
A、充要条件B、必要条件C、充分条件D、既不充分乂不必要条件
15、设正项级数Un与Vn,如果Un100Vn，且Un发散，则Vn（）
A、一定收敛B、绝对收敛C、一定发散D、敛散性不定
皿2n1廿L
16、级数2满足（）
n05
A、发散B、收敛且其和为1C、收敛且其和为2D、收敛且其和为2/3
17、下列级数发散的是（）A%B、1C、1cos—D、cos—
n1nn1\nn1nn1n
18、设籍级数anx1n在x4收敛，贝U它在x1是（）
n1
A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、前三者都有可能
19、若anxn在xx°收敛，则该级数收敛半径R满足（）
ARx0B、RXoC、Rx0D、Rx0
1B、1C、2D、0
27、收敛级数加括号后所成的级数（
28、若级数Un收敛，M
1Un
解答题
第八章典型习题答案
一、1、5;
5、B;6、D;
2、
7、C;
1_
6
8、D；
1,2,1；
9、D;10、
3
■D;
、
x
11、C
oz1;4、
y23
x2z26；
二、1、x
2y1
0；
2、23x
16y
10z
1530；3、y
3
2z1
11
4、x2y
z2
0;5、
3x2y
z
30;
6、10x21y8z103
0。
第九章典型习题答案
4、
y
exxdyydx
dz
5、
y
xyeyz
3z21
z
exy
6、史2L-4J8；7、（2,-2）;8、2;9、C;
1412
10、
x4y3z120
xyz10
11-16
11
12
13
14
15
16
D
zz
—4x,—4yxy
B
A
A
D
第十、十一章典型习题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
D
1/8
B
B
B
0
12
A
1/3
B
2
A
A
B
C
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
4
B
15
4/3
0
y-1
C
（e-1）
/3
C
A
2
1/2
1
2
3
4
5
6
8/3
32/3
1/2;12;14
14/3
1;-e18e8
2
7
8
9
10
11
12
1arctan-
e
52
64
34/3
/10
2a
236
第十二章典型习题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
C
A;C
0
C
2;1/3
D
D
A;A
A
[-1,1]
C
5
D
B
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
C
D
D
A
D
A
C
D
A
D
C
A;B
B
C
1、收敛；收敛；收敛；发散；收敛。
n
X
ln1xxxln1
n2nn1
3、收敛，S=1/24、绝对收敛5、
（-1,1],Sxln1
x6、[-1,3）
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