中考数学常考易错点31平面直角坐标系及函数的图象1.docx

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中考数学常考易错点31平面直角坐标系及函数的图象1

3.1　平面直角坐标系及函数的图象

易错清单

1.能确定较复杂函数的自变量取值范围吗?

【例1】　（2014·山东济宁）函数

中的自变量x的取值范围是（　　）.

A.x≥0B.x≠-1

C.x>0D.x≥0且x≠-1

【解析】　根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出x的范围.

【答案】　根据题意,得x≥0且x+1≠0,

解得x≥0.

故选A.

【误区纠错】　本题考查了自变量的取值范围,函数自变量的范围一般从三个方面考虑:

当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.

2.能利用直角坐标系探讨点的坐标的变化规律.

【例2】　（2014·山东泰安）如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B,O分别落在点B1,C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去….若点

B（0,4）,则点B2014的横坐标为　　　　. 

【解析】　首先利用勾股定理得出AB的长,进而得出三角形的周长,进而求出B2,B4的横坐标,进而得出变化规律,即可得出答案.

【答案】　∵

BO=4,

故答案为10070.

【误区纠错】　此题主要考查了点的坐标以及图形变化类,根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键.由特殊总结一般性.

3.借助函数图象描述问题中两个变量之间的关系.

【例3】　（2014·山东烟台）如图,点P是ABCD边上一动点,沿A→D→C→B的路径移动,设P点经过的路径长为x,△BAP的面积是y,则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（　　）.

【解析】　分三段来考虑点P沿A→D运动,△BAP的面积逐渐变大;点P沿D→C移动,△BAP的面积不变;点P沿C→B的路径移动,△BAP的面积逐渐减小,据此选择即可.

【答案】　点P沿A→D运动,△BAP的面积逐渐变大;点P沿D→C移动,△BAP的面积不变;点P沿C→B的路径移动,△BAP的面积逐渐减小.故选A.

【误区纠错】　本题主要考查了动点问题的函数图象.注意分段考虑.

名师点拨

1.会画出直角坐标系,能标识点在平面直角坐标系的位置.

2.能根据点的坐标的正、负性确定点的对称性及所在象限.

3.理解函数的意义,会解释并区分常量与变量,能列简单的函数关系,会进行描点法画函数的图象.

4.能列举函数的三种表示方法.

5.会求出函数中自变量的取值范围,如保证分母不为零,使二次根式有意义等.

6.能利用代入法求函数的值.

7.能利用函数变化规律进行准确猜想、判断.

提分策略

1.函数的概念及函数自变量的取值范围.

函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑:

（1）当函数关系式是整式时,自变量可取全体实数;

（2）当函数关系式是分式时,考虑分式的分母不能为0;

（3）当函数关系式是二次根式时,被开方数为非负数.此题就是第三种情形,考虑被开方数必须大于等于0.

【解析】　根据二次根式的意义,被开方数不能为负数,据此求解.

【答案】　C

2.函数解析式的求法.

具体地说求函数的解析式和列一元一次方程解实际问题基本相似,即弄清题意和题目中的数量关系,找到能够表示所求问题含义的一个相等的关系,根据这个相等的数量关系,列出所需的代数式,从而列出两个变量之间的关系式.

【例2】　某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务,有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱.供应这种纸箱有两种方案可供选择:

方案一:

从纸箱厂定制购买,每个纸箱价格为4元;

方案二:

由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱,机器租赁费按生产纸箱数收取.工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元,每加工一个纸箱还需成本费2.4元.

（1）若需要这种规格的纸箱x个,请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）关于x（个）的函数关系式;

（2）假设你是决策者,你认为应该选择哪种方案?

并说明理由.

【答案】　

（1）从纸箱厂定制购买纸箱费用y1=4x.

蔬菜加工厂自己加工纸箱费用y2=2.4x+16000.

（2）y2-y1=（2.4x+16000）-4x=16000-1.6x,

由y1=y2,得16000-1.6x=0,

解得x=10000.

∴　当x<10000时,y1

选择方案一,从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低.

∴　当x>10000时,y1>y2.

选择方案二,蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低.

∴　当x=10000时,y1=y2.

两种方案都可以,两种方案所需的费用相同.

3.坐标系中的图形的平移与旋转.

求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标,一般要把握三点:

一是根据图形变换的性质,二是利用图形的全等关系;三是确定变换前后点所在的象限.

【例3】　在平面直角坐标系中,规定把一个三角形先沿着x轴翻折,再向右平移2个单位长度称为1次变换.如图,已知等边三角形ABC的顶点B,C的坐标分别是（-1,-1）,（-3,-1）,把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A'B'C',则点A的对应点A'的坐标是　　　　. 

4.运用函数的图象特征解决问题.

（1）由函数图象的定义可知图象上任意一点P（x,y）中的坐标值x,y是解析式方程的一个解,反之,以解析式方程的任意一解为坐标的点一定在函数的图形上.

（2）注意方程与函数的结合,抓住“方程（方程的解）——点的坐标——函数图象与性质”这个网,结合数学知识,用数形结合法来解题.

【例4】　小刚上午7:

30从家里出发步行上学,途经少年宫时走了1200步,用时10分钟,到达学校的时间是7:

55.为了估测路程等有关数据,小刚特意在学校的田径跑道上,按上学的步行速度,走完100米用了150步.

（1）小刚上学步行的平均速度是多少米/分?

小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米?

（2）下午4:

00,小刚从学校出发,以45米/分的速度行走,按上学时的原路回家,在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后,赶紧以110米/分的速度回家,中途没有再停留.问:

①小刚到家的时间是下午几时?

②小刚回家过程中,离家的路程s（米）与时间t（分）之间的函数关系如图,请写出点B的坐标,并求出线段CD所在直线的函数解析式.

②小刚从学校出发,以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米,用时

分,此时小刚离家1100米,所以点B的坐标是（20,1100）.

点C的坐标是（50,1100）,点D的坐标是（60,0）,

设线段CD所在直线的函数解析式是s=kt+b,将点C,D的坐标代入,得

所以线段CD所在直线的函数解析式是s=-110t+6600.

5.分段函数的应用

自变量在不同的范围内取值时,函数y和x有不同的对应关系,这种函数称为分段函数,解决分段函数的有关问题时,关键是弄清自变量的取值范围,选择适合的解析式解决问题.

【例5】　如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,动点P从点B出发,沿路线B→C→D作匀速运动,那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（　　）.

【答案】　B

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一、选择题

1.（2014·四川中江县一模）已知点A（a,1）与点A'（-5,b）是关于原点O的对称点,则a+b的值为（　　）.

A.1B.5

C.6D.4

2.（2014·深圳模拟）已知点A（a+2,a-1）在平面直角坐标系的第四象限内,则α的取值范围为（　　）.

A.-2

C.-1

3.（2014·宁夏银川外国语学校模拟）已知点P（a+1,2a-3）关于x轴的对称点在第一象限,则a的取值范围是（　　）.

4.（2014·内蒙古赤峰模拟）小芳的爷爷每天坚持体育锻炼,某天他慢步行走到离家较远的公园,打了一会儿太极拳,然后沿原路跑步回到家里.下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系的大致图象是（　　）.

5.（2013·广东佛山模拟）在直角坐标系xOy中,点P（4,y）在第四象限内,且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2,则y的值是（　　）.

A.2B.8

C.-2D.-8

6.（2013·湖北宜昌调研）在正方形ABCD中,点P从点C出发沿着正方形的边依次经过点D,A向终点B运动,运动的路程为x（cm）,△PBC的面积为y（cm2）,y随x变化的图象可能是（　　）.

7.（2013·河南南阳模拟）如图,在平面直角坐标系中,在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA,OB,使OA=OB;再分别以点A,B为圆心,以大于AB长为半径作弧,两弧交于点C.若点C的坐标为（m-1,2n）,则m与n的关系为（　　）.

（第7题）

A.m+2n=1B.m-2n=1

C.2n-m=1D.n-2m=1

二、填空题

8.（2014·广西玉林模拟）在平面直角坐标系中,点（0,2）到x轴的距离是　　　　. 

9.（2014·甘肃天水模拟）函数

中,自变量x的取值范围　　　 

10.（2014·四川达州模拟）如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按向上,向右,向下,向右的方向不断地移动,每移动一个单位,得到点A1（0,1）,A2（1,1）,A3（1,0）,A4（2,0）,…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为　　　　（用n表示）. 

（第10题）

11.（2013·北京房山区一模）如图,在平面直角坐标系中,以原点O为圆心的同心圆半径由内向外依次为1,2,3,4,…,同心圆与直线y=x和y=-x分别交于A1,A2,A3,A4,…,则点A31的坐标是　　　　. 

（第11题）

三、解答题

12.（2014·四川峨眉山二模）如图所示,在平面直角坐标系中,每个小方格的边长是1,把△ABC先向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到△A'B'C'.在坐标系中画出△A'B'C',并写出△A'B'C'各顶点的坐标.

（第12题）

13.（2013·辽宁葫芦岛一模）如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△AOB的三个顶点均在格点上,点A,B的坐标分别为（3,2）,（1,3）.△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.

（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为　　　　; 

（2）点A1的坐标为　　　　; 

（3）在旋转过程中,点B经过的路径为

的长为　　　　. 

（第13题）

参考答案与解析

1.D　[解析]a=5,b=-1.

2.A　[解析]由a+2>0,a-1<0,得-2

4.C　[解析]先慢步行走,再打了一会儿太极拳,最后原路跑步回到家里.只有C图能反映爷爷离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系

6.A　[解析]利用图象可以发现△PBC的面积,从增大到不变,再到不断减小,结合图象可选出答案.

7.B　[解析]根据题意可知OC为∠AOB的平分线,点C的坐标为（m-1,2n）且在第一象限,点C到x轴、y轴距离为m-1,2n,根据角平分线上的点到角两边距离相等,可知m-1=2n,所以m-2n=1.

8.2　[解析]点p（a,b）到x轴的距离是|b|,到y轴的距离是|a|.

9.x≥0且x≠1　[解析]根据被开方数具有非负性且分母不等于零,得x≥0且x≠1.

10.（2n,1）　[解析]A4（2,0）,A8（4,0）,A12（6,0）,

∴　A4n（2n,0）.

11.

　[解析]根据31÷4=7……3,得出A31在直线y=x上,在第三象限,且在第8个圆上,求出OA31=8,通过解直角三角形即可求出答案.

12.图略;各顶点坐标为A'（2,2）,B'（3,-2）,C'（0,-6）.