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与名师对话理指数与指数函数

第六节　指数与指数函数

高考概览：

1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4.知道指数函数是一类重要的函数模型．

[知识梳理]

1．根式

（1）根式的概念

①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

（2）根式的性质

2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

（2）有理数指数幂的性质

①aras＝ar＋s（a>0，r，s∈Q）；

②（ar）s＝ars（a>0，r，s∈Q）；

③（ab）r＝arbr（a>0，b>0，r∈Q）．

3．指数函数的图象与性质

[辨识巧记]

1．一个关系

分数指数幂与根式可以互化，利用分数指数幂进行根式的化简运算．

2．指数函数图象和性质的两个注意点

（1）指数函数y＝ax（a>0，a≠1）的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0

（2）画指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：

（1，a），（0,1），.

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2．（必修1P58练习T1改编）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝2x＋1与g（x）＝x－1的图象关于（　　）

A．y轴对称B．x轴对称

C．原点对称D．直线y＝x对称

[解析]　函数f（x）＝2x＋1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位得到，函数g（x）＝x－1的图象可由y＝x的图象向右平移1个单位得到，而y＝2x与y＝x的图象关于y轴对称，所以f（x）＝2x＋1与g（x）＝x－1的图象关于y轴对称．故选A.

[答案]　A

3．（必修1P59T6改编）某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为（　　）

A．y＝a（1＋p%）x（0

B．y＝a（1＋p%）x（0≤x≤m，x∈N）

C．y＝a（1＋xp%）（0

D．y＝a（1＋xp%）（0≤x≤m，x∈N）

[解析]　由题意可知，y＝a（1＋p%）x，其中0≤x≤m，x∈N，故选B.

[答案]　B

4．下列函数中值域为（0，＋∞）的是（　　）

A．y＝－5xB．y＝1－x

C．y＝D．y＝

[解析]　函数y＝－5x的值域为（－∞，0），故A选项不适合；函数y＝1－x的值域为（0，＋∞），故B选项适合；函数y＝的值域为[0，＋∞），故C选项不适合；函数y＝的值域为[0,1），故D选项不适合．故选B.

[答案]　B

5．已知函数f（x）＝a－x（a>0，且a≠1），且f（－2）>f（－3），则a的取值范围是________．

[解析]　因为f（x）＝a－x＝x，

且f（－2）>f（－3），

所以函数f（x）在定义域上单调递增，

所以>1，解得0

[答案]　（0,1）

考点一　指数幂的运算

[解]　

（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：

①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．

（2）当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

（3）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

[对点训练]

1．化简（x<0，y<0）得（　　）

A．2x2yB．2xy

C．4x2yD．－2x2y

[答案]　D

[解析]　将a＋a＝3两边平方得a＋a－1＋2＝9即a＋a－1＝7.

将a＋a－1＝7两边平方有a2＋a－2＋2＝49，得a2＋a－2＝47，∴＝＝6.

[答案]　6考点二　指数函数的图象及应用

【例2】　

（1）（2018·洛阳市高三统考）已知f（x）＝（x－a）（x－b）（a>b）的大致图象如图所示，则函数g（x）＝ax＋b的大致图象是（　　）

（2）若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

[思路引导]　

（1）

→

（2）→

→→→

[解析]　

（1）由函数f（x）的大致图象可知3

（2）曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：

如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．

[答案]　

（1）A　

（2）[－1,1]

[拓展探究]　

（1）若将本例

（2）中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．

（2）若将本例

（2）改为：

函数y＝|2x－1|在（－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是什么？

（3）若将本例

（2）改为：

直线y＝2a与函数y＝|ax－1|（a>0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是什么？

[解]　

（1）曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是（0,1）．

（2）因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为（－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为（－∞，0]．

（3）y＝|ax－1|的图象是由y＝ax先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的．

当a>1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图

（1）；

当0

（2）．

综上可知，a的取值范围是.

　与指数函数有关的图象问题的求解方法

（1）已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

（2）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

（3）有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

[对点训练]

1．函数y＝ax－a－1（a>0，且a≠1）的图象可能是（　　）

[解析]　函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到，A项显然错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B选项错误；当01，平移距离大于1，所以C项错误，故选D.

[答案]　D

2．（2019·北京丰台一模）已知奇函数y＝如果f（x）＝ax（a>0，且a≠1）对应的图象如图所示，那么g（x）＝________.

[解析]　依题意，f

（1）＝，

∴a＝，∴f（x）＝x，x>0.

当x<0时，－x>0.

∴g（x）＝－f（－x）＝－－x＝－2x.

[答案]　－2x（x<0）

考点三　指数函数的性质

指数函数的性质是高考的重点，主要以选择题或填空题的形式呈现．指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按01进行分类讨论．

常见的命题角度有：

（1）比较大小或解不等式；

（2）与指数函数有关的函数值域问题；

（3）与指数函数有关的单调性问题．

角度1：

比较大小或解不等式

（2）若偶函数f（x）满足f（x）＝2x－4（x≥0），则不等式f（x－2）>0的解集为________．

[思路引导]　

（1）→

（2）→→

[解析]　

（1）∵y＝x为减函数，∴b

又∵y＝x在（0，＋∞）上为增函数，∴a>c，

∴b

（2）f（x）为偶函数，

当x<0时，f（x）＝f（－x）＝2－x－4.

∴f（x）＝

当f（x－2）>0时，有或

解得x>4或x<0.

∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．

[答案]　

（1）D　

（2）{x|x>4或x<0}

（1）比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造同一幂函数，利用图象比较大小．

（2）有关指数不等式问题，应注意a的取值，及结合指数函数的性质求解．

角度2：

与指数函数有关的函数值域问题

【例3－2】　

（1）（2018·辽宁省实验中学分校月考）函数y＝的值域是（　　）

A．[0，＋∞）B．[0,4]

C．[0,4）D．（0,4）

（2）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝－＋，则此函数的值域为________．

[思路引导]　

（1）→→

（2）→

[解析]　

（1）函数y＝中，因为16－2x≥0，所以2x≤16.因此2x∈（0,16]，所以16－2x∈[0,16）．故y＝∈[0,4）．故选C.

（2）设t＝，当x≥0时，2x≥1，∴0

[答案]　

（1）C　

（2）

形如y＝a2x＋b·ax＋c（a>0，且a≠1）型函数最值问题多用换元法，即令t＝ax转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．

角度3：

与指数函数有关的单调性问题

【例3－3】　已知函数f（x）＝.

（1）若a＝－1，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）有最大值3，求a的值；

（3）若f（x）的值域是（0，＋∞），求a的值．

[解]　

（1）当a＝－1时，f（x）＝，

令g（x）＝－x2－4x＋3，

由于g（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上单调递减，而y＝t在R上单调递减，

所以f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增，即函数f（x）的单调递增区间是（－2，＋∞），单调递减区间是（－∞，－2）．

（2）令g（x）＝ax2－4x＋3,f（x）＝g（x），

由于f（x）有最大值3，所以g（x）应有最小值－1，

因此必有

解得a＝1，即当f（x）有最大值3时，a的值等于1.

（3）由指数函数的性质知，

要使y＝g（x）的值域为（0，＋∞）．

应使g（x）＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0.（因为若a≠0，则g（x）为二次函数，其值域不可能为R）．

故a的值为0.

与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．

[对点训练]

1．设a＝40.8，b＝80.46，c＝－1.2，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a>b>cB．b>a>c

C．c>a>bD．c>b>a

[解析]　∵a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c＝－1.2＝21.2,1.6>1.38>1.2，y＝2x为R上的增函数，

∴a>b>c.故选A.

[答案]　A

2．若函数f（x）＝a|2x－4|（a>0，a≠1）满足f

（1）＝，则f（x）的单调递减区间是（　　）

A．（－∞，2]B．[2，＋∞）

C．[－2，＋∞）D．（－∞，－2]

[解析]　由f

（1）＝得a2＝，又a>0，所以a＝，因此f（x）＝|2x－4|.因为函数g（x）＝|2x－4|在区间[2，＋∞）上单调递增，所以f（x）的单调递减区间是[2，＋∞）．故选B.

[答案]　B

3．（2018·沧州百校联盟期中）要使函数y＝1＋2x＋4x·a在x∈（－∞，1]时恒大于0，则实数a的取值范围是________．

[解析]　由题意，得1＋2x＋4x·a>0在x∈（－∞，1]时恒成立，即a>－在x∈（－∞，1]时恒成立．令f（x）＝－＝－2x－x＝－2＋.

∵x∈（－∞，1]，∴x∈.

令t＝x，g（t）＝－2＋，t∈.

∵g（t）在上为减函数，

∴g（t）≤g＝－2＋＝－，

即g（t）∈.

∵a>g（t）恒成立，∴a∈.

[答案]　

易错系列②——忽略对底数a的分类讨论而出错

素养解读：

指数函数的图象、单调性等性质与底数的取值范围有紧密联系，在解决与值域有关的问题时，要注意对底数的分类讨论．

【典例】　已知函数y＝a2x＋2ax－1（a>0，且a≠1），当x≥0时，求函数的值域．

[错因分析]　忽略对底数a的分类讨论而出错．

（1）当a>1时，如果x≥0，那么ax≥1；

（2）当0

[规范解答]　y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，

则y＝g（t）＝t2＋2t－1＝（t＋1）2－2.

当a>1时，∵x≥0，∴t≥1，∴当a>1时，y≥2.

当0

∵g（0）＝－1，g

（1）＝2，∴当0

综上所述，当a>1时，函数的值域是[2，＋∞）；

当0

注意指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的函数值的变化情况．当00，则01时，若x≤0，则00，则y>1.在综合应用时，如求复合函数y＝af（x）的值域，一定要先确定f（x）的值域，再由a的取值范围确定y的取值范围．

[感悟体验]

1．如果函数y＝a2x＋2ax－1（a>0，且a≠1）在区间[－1,1]上的最大值是14，那么a的值为（　　）

A.B．1C．3D.或3

[解析]　令ax＝t，则y＝t2＋2t－1＝（t＋1）2－2.

当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈，又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，

所以ymax＝（a＋1）2－2＝14，解得a＝3.

当0

又函数y＝（t＋1）2－2在[a，]上单调递增，

则ymax＝（＋1）2－2＝14，解得a＝.

综上知a＝3或a＝.故选D.

[答案]　D

2．若函数f（x）＝ax－1（a>0，a≠1）的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.

[解析]　当a>1时，f（x）为增函数，

∴，∴a＝；

当0

∴无解，故a＝.

[答案]　

课后跟踪训练（九）

基础巩固练

一、选择题

[答案]　C

2．（2019·山西太原一模）当a≠0时，函数y＝ax＋b和y＝bx的图象不可能是（　　）

[解析]　A，B，D三个选项中，指数函数单调递减，故0

[答案]　B

3．函数y＝的单调增区间是（　　）

A.B．（－∞，－1]

C．[2，＋∞）D.

[解析]　由－x2＋x＋2≥0，解得－1≤x≤2，故函数y

＝的定义域为[－1,2]．根据复合函数“同增异减”原则，得所求增区间为.故选D.

[答案]　D

[答案]　D

5．（2019·天津部分区期末）已知函数f（x）＝2|x|，且f（log2m）>f

（2），则实数m的取值范围为（　　）

A．（4，＋∞）

B.

C.∪（4，＋∞）

D.∪（4，＋∞）

[解析]　由题意知函数f（x）＝2|x|为偶函数，且在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．

∵f（log2m）>f

（2），

∴|log2m|>2，即log2m>2或log2m<－2，解得m>4或0

∴实数m的取值范围为∪（4，＋∞）．故选D.

[答案]　D

二、填空题

6．不等式2>x＋4的解集为________．

[解析]　2>2－x－4，∴－x2＋2x>－x－4，即x2－3x－4<0，∴－1

[答案]　{x|－1

7．（2019·陕西西安二模）若函数f（x）＝ax－2－2a（a>0，a≠1）的图象恒过定点，则函数f（x）在[0,3]上的最小值等于________．

[解析]　令x－2＝0得x＝2，且f

（2）＝1－2a，所以函数f（x）的图象恒过定点（2,1－2a），因此x0＝2，a＝，于是f（x）＝x－2－，f（x）在R上单调递减，故函数f（x）在[0,3]上的最小值为f（3）＝－.

[答案]　－

8．若函数f（x）＝ax（a>0，a≠1）在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g（x）＝（1－4m）在[0，＋∞）上是增函数，则a＝________.

[解析]　若a>1，有a2＝4，a－1＝m.

此时a＝2，m＝，此时g（x）＝－为减函数，不合题意．

若0

故a＝，m＝，检验知符合题意．

[答案]　

三、解答题

9．求下列函数的定义域和值域．

（1）y＝－|x＋1|；

（2）y＝；

（3）y＝2；（4）y＝4x＋2x＋1＋1.

[解]　

（1）定义域为R.因为－|x＋1|≤0，

所以y＝－|x＋1|≥0＝1，

所以值域为[1，＋∞）．

（2）定义域为R.又因为y＝＝1－，而0<<1，所以－1<－<0，则0

（3）令－x2－3x＋4≥0，解得－4≤x≤1，所以函数y＝2的定义域为[－4,1]．

设u＝（－4≤x≤1），易得u在x＝－时取得最大值，在x＝－4或1时取得最小值0，即0≤u≤.所以函数y＝2u的值域为[20,2]，即函数y＝2的值域为[1,4]．

（4）定义域为R，因为y＝4x＋2x＋1＋1＝（2x）2＋2·2x＋1＝（2x＋1）2，且2x>0.

所以y＝4x＋2x＋1＋1的值域为{y|y>1}．

10．已知函数f（x）＝a＋b（a，b是常数且a>0，a≠1）在区间上有最大值3和最小值，试求a、b的值．

[解]　令t＝x2＋2x＝（x＋1）2－1，∵x∈，

∴t∈[－1,0]．

①若a>1，函数y＝at在[－1,0]上为增函数，

∴at∈，则b＋a∈，

依题意得解得

②若0

∴at∈，

则b＋a∈，

依题意得

解得

综上，所求a，b的值为或

能力提升练

11．设函数f（x）＝若f（a）<1，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－3）B．（1，＋∞）

C．（－3,1）D．（－∞，－3）∪（1，＋∞）

[解析]　当a<0时，不等式f（a）<1可化为a－7<1，

即a<8，即a<－3，

因为0<<1，所以a>－3，此时－3

当a≥0时，不等式f（a）<1可化为<1，

所以0≤a<1.故a的取值范围是（－3,1），故选C.

[答案]　C

12．（2019·广东广州模拟）若存在负实数使得方程2x－a＝成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（2，＋∞）B．（0，＋∞）

C．（0,2）D．（0,1）

[解析]　在同一坐标系内分别作出函数y＝和y＝2x－a的图象，则由图知，当a∈（0,2）时符合要求．故选C.

[答案]　C

13．当x∈（－∞，－1]时，不等式（m2－m）·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．

[解析]　原不等式变形为m2－m

因为函数y＝x在（－∞，－1]上是减函数，

所以x≥－1＝2，

当x∈（－∞，－1]时，m2－m

[答案]　（－1,2）

14．（2019·天津期末）已知函数f（x）＝ex－e－x（x∈R，且e为自然对数的底数）．

（1）判断函数f（x）的单调性与奇偶性；

（2）是否存在实数t，使不等式f（x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切x∈R都成立？

若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

[解]　

（1）∵f（x）＝ex－x，

∴f′（x）＝ex＋x，

∴f′（x）>0对任意x∈R都成立，

∴f（x）在R上是增函数．

又∵f（x）的定义域为R，

且f（－x）＝e－x－ex＝－f（x），

∴f（x）是奇函数．

（2）存在．由

（1）知f（x）在R上是增函数和奇函数，

则f（x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切x∈R都成立，

⇔f（x2－t2）≥f（t－x）对一切x∈R都成立，

⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，

⇔t2＋t≤x2＋x＝2－对一切x∈R都成立，

⇔t2＋t≤（x2＋x）min＝－

⇔t2＋t＋＝2≤0，

又2≥0，∴2＝0，∴t＝－.

∴存在t＝－，使不等式f（x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切x∈R都成立．

拓展延伸练

15．若函数f（x）＝，其定义域为（－∞，1]，则a的取值范围是（　　）

A．a＝－B．a≥－

C．a≤－D．－≤a<0

[解析]　由题意可知，1＋3x＋a·9x≥0解集为（－∞，1]．当x≤1时，＝－2x－x≤－2－＝－.因为函数f（x）＝的定义域为（－∞，1]，所以a＝－.故选A.

[答案]　A

16．（2018·湖南益阳调研）已知函数f（x）＝（a∈R）的图象关于点对称，则a＝________.

[解析]　由已知，得f（x）＋f（－x）＝1，即＋＝1，

整理得（a－1）[22x＋（a－1）·2x＋1]＝0，所以当a－1＝0，即a＝1时，等式成立．

[答案]　1