知识点11一元一次不等式组的应用.docx
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知识点11一元一次不等式组的应用
一、选择题
1.（2019·怀化）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只.在准备配发的过程中发现：
公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则可有一户可分得母羊但不足3只.这批种羊共（）只.
A.55B.72C.83D.89
【答案】C.
【解析】设该村有x户，则这批种羊中母羊有（5x+17）只，根据题意可得
，
解得10.5＜x＜12.
∵x为正整数，
∴x=11，
∴这批种羊共有11+5×11+17=83只.
故选C.
2.（2019·无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（）
A.10B.9C.8D.7
【答案】B
【解析】设原计划m天完成，开工n天后有人外出，则15am=2160，am=144，15an+12（a+2）（m-n）<2160，化简可得：
an+4am+8m-8n<720，将am=144代入得an+8m-8n<144，an+8m-8n8,至少为9，故选B.
三、解答题
23．（2019浙江省温州市，23，10分）（本题满分10分）
某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．
（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人?
（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元?
②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队?
求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．
【解题过程】
（1）该旅行团中成人有x人,少年有y人，根据题意，得：
，解得
.
答：
该旅行团中成人有17人,少年有5人；
（2）①∵成人8人可免费带8名儿童，
∴所需门票的总费用为：
100×8+100×0.8×5+100×0.6×（10-8）=1320（元）.
②设可以安排成人a人、少年b人带队，则1≤a≤17，1≤b≤5.
设10≤a≤17时，（i）当a=10时，100×10+80b≤1200，∴b≤
，
∴b最大值=2，此时a+b=12，费用为1160元；
（ii）当a=11时，100×11+80b≤1200，∴b≤
，
∴b最大值=1，此时a+b=12，费用为1180元；
（iii）当a≥12时，100a≥1200，即成人门票至少需要1200元，不符合题意，舍去.
设1≤a＜10时，（i）当a=9时，100×9+80b+60≤1200，∴b≤3，
∴b最大值=3，此时a+b=12，费用为1200元；
（ii）当a=8时，100×8+80b+60×2≤1200，∴b≤
，
∴b最大值=3，此时a+b=11＜12，不符合题意，舍去；
（iii）同理，当a＜8时，a+b＜12，不符合题意，舍去.
综上所述，最多可以安排成人和少年共12人带队，有三个方案：
成人10人、少年2人；成人11人、少年1人；成人9人、少年3人.其中当成人10人、少年2人时购票费用最少.
22．（2019山东滨州，22，12分）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
【解题过程】
解：
（1）设辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为a人，b人，
，………………………………………………………………………3分
解得
答：
1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人．………………5分
（2）设租用甲种客车x辆，租车费用为y元，
根据题意，得y=400x+280（6－x）=120x+1680．………………………………8分
由45x+30（6－x）≥240，得x≥4．………………………………………………10分
∵120＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x为最小值4时，y值最小．
即租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，费用最低，………………………………11分
此时，最低费用y=120×4+1680=2160（元）．……………………………………12分
一、选择题
9.（2019·绵阳）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【答案】C
【解析】设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，
根据题意，得：
，
解得：
20≤x＜25，
∵x为整数，
∴x＝20、21、22、23、24，
∴该店进货方案有5种，
故选C．
【知识点】一元一次不等式组的应用
三、解答题
21.（2019·遵义）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动，旅游公司有A,B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人，若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元
（1）求租用A,B两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有几种租车方案？
哪种方案最省钱？
【思路分析】
（1）设租用A型客车的费用是x元，B型客车的费用是y元，根据题意列出二元一次方程组，可求每辆车的费用；
（2）设租用A型客车a辆，B型客车b辆,由师生240人都有车坐，根据座位列出不等式；再由租车费用列出不等式，组成不等式组，根据a,b的值为正整数，可求出方案
【解题过程】解：
（1）设租用A型客车的费用是x元，B型客车的费用是y元，根据题意得
4x+3y=10700;3x+4y=10300,
解得,x=1700，y=1300;
答：
租用A型客车的费用1700元，B型客车的费用是1300元.
（2）设租用A型客车a辆，B型客车b辆,根据题意得
45a+30b≥240；1700a+1300b≤10000；
∴
∵a,b均为正整数，
∴a=2,b=5;a=4,b=2两种方案
当a=2,b=5时，费用为
（元）
当a=4,b=2时，费用为
（元）
答：
租用A型客车4辆，B型客车2辆时费用最低，最低费用为9400元
【知识点】二元一次方程组，不等式组
22．（2019·福建）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元.
（1）求该车间的日废水处理量m；
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.
【思路分析】
（1）根据每天花费废水处理费370元，判断每天处理废水量是否8元，若超过则需要交给第三方企业处理，然后列式求出m的值；
（2）分为该车间每天自己处理废水，和将废水交给第三方企业处理，两种情况列不等式分别讨论，然后取其公共部分，即可求得该厂一天产生的工业废水量的范围.
【解题过程】解：
（1）因为工厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元，又
＝
＞8，所以m＜35，依题意得，30+8m+12（35－m）＝370，解得m＝20，故该车间的日废水处理量为20吨.
（2）设一天生产废水x吨.
①当0＜x≤20时，依题意得，8x+30≤10x，解得x≥15，所以15≤x≤20.
②当x＞20时，依题意得，12（x－20）+20×8+30≤10x，解得x≤25，所以20＜x≤25.
综上所述，15≤x≤25.
故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间.
【知识点】一元一次方程；一元一次不等式；反比例函数
21．（2019·广东）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元.
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
【思路分析】
（1）根据题意列二元一次方程组求解；
（2）根据题意列出不等式求解。
【解题过程】解：
（1）设篮球、足球各买了
，
个，根据题意，得
解得
∴篮球、足球各买了20个，40个.
（2）设购买了
个篮球，根据题意，得
.
解得
.∴最多可购买篮球32个.
【知识点】二元一次方程组的应用不等式解应用题
20.（2019·资阳）为了参加西部博览会，资阳市计划印制一批宣传册．该宣传册每本共10页，由A、B两种彩页构成．已知A种彩页制版费300元/张，B种彩页制版费200元/张，共计2400元．（注：
彩页制版费与印数无关）
（1）每本宣传册A、B两种彩页各有多少张？
（2）据了解，A种彩页印刷费2.5元/张，B种彩页印刷费1.5元/张，这批宣传册的制版费与印刷费的和不超过30900元．如果按到资阳展台处的参观者人手一册发放宣传册，预计最多能发给多少位参观者？
【思路分析】
（1）设每本宣传册A、B两种彩页各有x，y张，根据题意列出方程组解答即可；
（2）设最多能发给a位参观者，根据题意得出不等式解答即可．
【解题过程】解：
（1）设每本宣传册A、B两种彩页各有x，y张，
，解得：
，
答：
每本宣传册A、B两种彩页各有4和6张；
（2）设最多能发给a位参观者，可得：
2.5×4a+1.5×6a+2400≤30900，解得：
a≤1500，
答：
最多能发给1500位参观者．
【知识点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
一、选择题
14.（2019·云南）若关于x的不等式组
的解集为x＞a，则a的取值范围是（）
A.a＜2B.a≤2C.a＞2D.a≥2
【答案】D
【解析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解关于x的
不等式组
得
，∴a≥2，因此本题选D．
二、填空题
15.（2019·东营）不等式组
的解集是.
答案：
-7
x＜1
解析：
本题考查了解不等式组，∵不等式x-3（x-2）＞4的解集为x＜1，不等式
的解集是x
-7，∴不等式组的解集为-7
x＜1.
13.（2019·荆州）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数时，若n﹣0.5≤x＜n+0.5，则（x）＝n．如（1.34）＝1，（4.86）＝5．若（0.5x﹣1）＝6，则实数x的取值范围是 ．
【答案】13≤x＜15
【解析】解：
依题意得：
6﹣0.5≤0.5x﹣1＜6+0.5
解得13≤x＜15．
故答案是：
13≤x＜15．
【知识点】一元一次不等式组的应用
三、解答题
23．（2019·襄阳）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调査，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：
有机蔬菜种类
进价（元/kg）
售价（元/kg）
甲
m
16
乙
n
18
（1）该超市购进甲种蔬菜10kg和乙种蔬菜5kg需要170元：
购进甲种蔬菜6kg和乙种蔬菜10kg滞要200元．求m，n的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100kg进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20kg，且不大于70kg.实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60kg的部分，当天需耍打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y（元）与购进甲种蔬菜的数x（kg）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在
（2）的条件下，超市在获得的利润额y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求a的最大值．
答案：
解：
（1）由题可得
，解得
（2）购进甲种蔬莱x（kg），则甲种蔬菜的售价（元/kg）为：
则甲种蔬菜的利润为
（元）
乙种蔬菜100-x（kg），乙种蔬菜的利润为（18-14）（100-x）=400-4x（元）
∴超市当天售完这两种蔬案获得的利润额（元）为
（3）当20≤x≤60时，y=2x+400≤2×60+400=520，当60∴当x=60时，y取得最大值520元.
则甲种蔬菜共捐出2a·60=120a元，乙种蔬菜共捐出（100-60）a·=40a元.
由题意“捐款后的盈利率不低于20%”，可得
解得a≤1.8，即a的最大值为1.8.
23.（2019·荆州）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为 辆；
（3）学校共有几种租车方案？
最少租车费用是多少？
解：
（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，
依题意，得：
，
解得：
．
答：
参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．
（2）∵（234+16）÷35＝7（辆）……5（人），16÷2＝8（辆），
∴租车总辆数为8辆．
故答案为：
8．
（3）设租35座客车m辆，则需租30座的客车（8﹣m）辆，
依题意，得：
，
解得：
2≤m≤5
．
∵m为正整数，
∴m＝2，3，4，5，
∴共有4种租车方案．
设租车总费用为w元，则w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w的值随m值的增大而增大，
∴当m＝2时，w取得最小值，最小值为2720．
∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．
【知识点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用
12.（2019·台湾）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧购买10盒蛋糕，花费的金额不超过2500元．若他将蛋糕分给75位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？
A．2150B．2250C．2300D．2450
【答案】D
【解析】解：
设阿慧购买
盒桂圆蛋糕，则购买
盒金爽蛋糕，依题意有
，解得
，
是整数，
，
（元
．
故选：
D．
【知识点】一元一次不等式组的应用
22.（2019·赤峰）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：
（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元．其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？
解：
（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了（x+1）个，
依题意得：
10（x+1）×0.85＝10x﹣17．
解得x＝17．
答：
小明原计划购买文具袋17个．
（2）设小明可购买钢笔y支，则购买签字笔（50﹣x）支，
依题意得：
[8y+6（50﹣y）]×80%≤400--－17×10+17．
解得y≤4.375．
即y最大值＝4．
答：
明最多可购买钢笔4支．
【知识点】一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用
21.（2019四川泸州，21，7分）某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．
（1）A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？
（2）该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
解：
（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：
，解得
，
答：
A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为30万元；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车（10﹣m）辆，根据题意得：
解得：
3≤m＜5，
∵m是整数，∴m＝3或4，
当m＝3时，该方案所用费用为：
25×3+30×7＝285（万元）；
当m＝4时，该方案所用费用为：
25×4+30×6＝280（万元）．
答：
最省的方案是购买A型汽车4辆，购进B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元．
【知识点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用
22.（2019·孝感）为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机.
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（5分）
（2）该市明年计划采购A型、B型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
（5分）
答案：
解：
（1）设今年每套A型一体机的价格为x万元，每套B型一体机的价格为y万元由题意得：
解得
故今年每套A型一体机的价格为1.2万元，每套B型一体机的价格为1.8万元.
（2）设该市明年购买A型一体机m套，则购买B型一体机（1100-m）套,
由题意得：
1.8（1100-m）≥1.2（1+25%）m，解得m≤600
设明年需投入W万元，W=1.2×（1+25%）m+1.8（1100-m）=-0.3m+1980
∵-0.3<0，∴W随m的增大而减小
∵m≤600，∴当m=600时，W有最小值为-0.3×600+1980=1800.
故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划.
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