人教版九年级数学上册第23章 旋转单元复习同步练习题.docx

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人教版九年级数学上册第23章旋转单元复习同步练习题

人教版九年级数学上册第23章旋转单元复习同步练习题

一、选择题

1．下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（B）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．点（－1，2）关于原点的对称点坐标是（B）

A．（－1，－2）B．（1，－2）C．（1，2）D．（2，－1）

3．在平面直角坐标系中，点M（－2，6）关于原点对称的点在（D）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

4．已知点P1（－4，3）和P2（4，－3），则点P1和点P2（A）

A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于x轴对称D．不存在对称关系

5．若点P（m－1，5）与点Q（3，2－n）关于原点成中心对称，则m＋n的值是（C）

A．1B．3C．5D．7

6．已知点P（a＋1，2a－3）关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是（B）

A．a＜－1B．－1＜a＜

C．－

＜a＜1D．a＞

7.如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（2，4）．若直线y＝kx＋k将▱ABCO分割成面积相等的两部分，则k的值是（A）

A.1　　　　　　　B．3　　　　　　　C．－1　　　　　　　D．无法确定

8．如图，P为等边三角形ABC内的一点．且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△PAB的面积为（D）

A．10B．8C．6D．3

二、填空题

9.如图，△BCD是由△ABD旋转而成的，其中AB＝CD，AD＝BC，则旋转中心是BD的中点，旋转角是180度．

10．将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，则点A′关于原点对称的点的坐标是（1，－2）．

11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1关于原点对称，则点A1，B1，C1的坐标分别为A1（－2，－4），B1（－1，－1），C1（－3，1）．

12.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（1，2）．

13.如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转α得到的，点A′与A对应，则α的大小为90°．

14.如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（－a，－b＋2）．

15.如图，点A，B的坐标分别为（1，2），（3，

），现将线段AB绕点B顺时针旋转180°得线段A1B，则A1的坐标为（5，－1）．

16．若点A（1－m，3）在函数y＝2x－3的图象上，则点A关于原点对称的点的坐标是（－3，－3）．

三、解答题

17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，－1），B（3，－3），C（0，－4）．

（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；

（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2.

解：

（1）△A1B1C1如图所示，B1（－3，3）．

（2）△A2B2C2如图所示．

18．如图1是由2个白色和2个黑色全等正方形组成的“L”型图案，请你分别在图2、图3上按下列要求画图：

（1）在图2中，添加1个白色或1个黑色正方形，使它成中心对称图案；

（2）在图3中，先改变1个正方形的位置，再添加1个白色或1个黑色正方形，使它既成中心对称图案，又成轴对称图案．

解：

（1）如图所示．

（2）如图所示（答案不唯一）．

19．如图所示，AB∥CD∥x轴，且AB＝CD＝3，点A点的坐标为（－1，1），点C的坐标为（1，－1）．

（1）写出点B，D坐标；

（2）你发现点A，B，C，D坐标之间有何特征？

解：

（1）∵AB∥CD∥x轴，A（－1，1），C（1，－1），

∴点B，D的纵坐标分别是1，－1.

∵AB＝CD＝3，

∴B（2，1），D（－2，－1）．

（2）∵A（－1，1），C（1，－1），即点A，C的横、纵坐标互为相反数，∴点A，C关于原点对称．

同理，点B，D关于原点对称．

20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；

（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；

（3）在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．

解：

（1）

（2）如图所示．

（3）如图所示，P（2，0）．

21．

（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD，DE，CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD，DE，CE之间的等量关系式是BD2＋CE2＝DE2；

图1　

图2

（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝60°，∠ADE＝45°，试仿照

（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD，DE，CE之间的等量关系，并证明你的结论．

解：

仿照

（1）将△AEC绕点A顺时针旋转120°后为△AFB，则△AEC≌△AFB.

∴BF＝CE，AE＝AF，∠EAC＝∠FAB.

∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，

∴∠BAD＋∠EAC＝60°，即∠FAD＝∠DAE＝∠FAB＋∠BAD＝60°.

∴△AFD≌△AED，

∴∠ADF＝∠ADE，FD＝DE.

∵∠ADE＝45°，∴∠ADF＝45°.∴∠BDF＝90°.

在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2＝BD2＋DF2.

∴CE2＝BD2＋DE2.

22．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM.

（1）求证：

EF＝MF；

（2）当AE＝1时，求EF的长．

解：

（1）证明：

∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，

∴DE＝DM，∠EDM＝90°.

∵∠EDF＝45°，∴∠MDF＝45°.

∴∠EDF＝∠MDF.

又∵DF＝DF，DE＝DM，

∴△DEF≌△DMF（SAS）．

∴EF＝MF.

（2）设EF＝MF＝x，

∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3，

∴EB＝AB－AE＝3－1＝2，BM＝BC＋CM＝3＋1＝4.

∴BF＝BM－MF＝4－x.

在Rt△EBF中，由勾股定理，得EB2＋BF2＝EF2，

即22＋（4－x）2＝x2.

解得x＝

.

∴EF的长为

.

23．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：

（1）EA是∠QED的平分线；

（2）EF2＝BE2＋DF2.

证明：

（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，四边形ABCD是正方形，

∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAD＝∠QAF＝90°，∠ABQ＝∠ADB＝∠ABD＝45°.

∵∠EAF＝45°，

∴∠QAE＝∠FAE＝45°.

在△AQE和△AFE中，

∴△AQE≌△AFE（SAS）．∴∠AEQ＝∠AEF.

∴EA是∠QED的平分线．

（2）由

（1）得△AQE≌△AFE，∴QE＝EF.

∵∠ABQ＝∠ADF＝∠ABD＝45°，∴∠QBE＝90°.

在Rt△QBE中，QB2＋BE2＝QE2，

∴EF2＝BE2＋DF2.

24.【问题解决】

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：

如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3.你能求出∠APB的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：

将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；

思路二：

将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，连接PA，PB，PC，且PA＝

PC，设∠APB＝α，∠CPB＝β.

（1）如图1，若∠ACP＝45°，将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连接DP，易证△DAP为等边三角形，则α＝150°，β＝105°；

（2）如图2，若PB＝

PA，求α，β的值；

（3）猜想并写出α与β之间的数量关系：

α－β＝45°．

解：

将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连接DP.

∴BP＝AD，CD＝CP，∠DCP＝90°，

∴PD＝

PC，∠CPD＝∠CDP＝45°.

∵PA＝

PC，PB＝AD＝

PA，

∴PD＝PA.∴PD2＋PA2＝AD2.

∴△ADP是等腰直角三角形，且∠APD＝90°.

∴∠ADP＝45°.

∴∠APC＝∠APD＋∠CPD＝135°，∠BPC＝∠ADC＝∠ADP＋∠CDP＝90°.

∴∠APB＝360°－∠APC－∠BPC＝135°.

∴α＝135°，β＝90°.

25.【类比探究】

如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝

，求∠APB的度数．

解：

【问题解决】选择思路一，

将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，

∴∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝2，AP′＝CP＝3.

∴∠BPP′＝45°，根据勾股定理，得PP′＝

BP＝2

.

∵AP2＋PP′2＝1＋8＝9，AP′2＝32＝9，

∴AP2＋PP′2＝AP′2.

∴△APP′是直角三角形，且∠APP′＝90°.

∴∠APB＝∠APP′＋∠BPP′＝90°＋45°＝135°.

【类比探究】将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，

∴∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝1，AP′＝CP＝

.

∴∠BPP′＝45°，PP′＝

BP＝

.

∵AP2＋PP′2＝9＋2＝11，

AP′2＝（

）2＝11.

∴AP2＋PP′2＝AP′2.

∴△APP′是直角三角形，且∠APP′＝90°.

∴∠APB＝∠APP′－∠BPP′＝90°－45°＝45°.