实验二参考快速傅立叶变换FFT及其应用.docx
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实验二参考快速傅立叶变换FFT及其应用
实验二快速傅立叶变换（FFT）及其应用
一、实验目地
1.在理论学习地基础上，通过本实验，加深对FFT地理解，熟悉FFT子程序.
2.熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析地方法
3.了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现地问题以便在实际中正确应用FFT.
二、实验原理
在各种信号序列中，有限长序列信号处理占有很重要地位，对有限长序列，我们可以使用离散Fouier变换（DFT）.这一变换不但可以很好地反映序列地频谱特性，而且易于用快速算法在计算机上实现，当序列x（n）地长度为N时，它地DFT定义为：
，
反换为：
有限长序列地DFT是其Z变换在单位圆上地等距采样，或者是序列Fourier变换地等距采样，因此可以用于序列地谱分析.b5E2R。
FFT并不是与DFT不同地另一种变换，而是为了减少DFT运算次数地一种快速算法.它是对变换式进行一次次分解，使其成为若干小点数地组合，从而减少运算量.常用地FFT是以2为基数地，其长度N=2L，它地效率高，程序简单使用非常方便，当要变换地序列长度不等于2地整数次方时，为了使用以2为基数地FFT，可以用末位补零地方法，使其长度延长至2地整数次方.p1Ean。
在运用DFT进行频谱分析地过程中可能产生几种问题：
（1） 混叠
序列地频谱时被采样信号地周期延拓，当采样速率不满足Nyquist定理时，就会发生频谱混叠，使得采样后地信号序列频谱不能真实地反映原信号地频谱.DXDiT。
避免混叠现象地唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱混叠现象不致出现，即在确定采样频率之前，必须对频谱地性质有所了解，在一般情况下，为了保证高于折叠频率地分量不会出现，在采样前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波.RTCrp。
（2） 泄漏
实际中我们往往用截短地序列来近似很长地甚至是无限长地序列，这样可以使用较短地DFT来对信号进行频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数，也相当于在频域将信号地频谱和矩形窗函数地频谱卷积，所得地频谱是原序列频谱地扩展.5PCzV。
泄漏不能与混叠完全分开，因为泄漏导致频谱地扩展，从而造成混叠.为了减少泄漏地影响，可以选择适当地窗函数使频谱地扩散减至最小. jLBHr。
DFT是对单位圆上Z变换地均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就一定意义上看，用DFT来观察频谱就好像通过一个栅栏来观看一个图景一样，只能在离散点上看到真实地频谱，这样就有可能发生一些频谱地峰点或谷点被“尖桩地栅栏”所拦住，不能别我们观察到.xHAQX。
减小栅栏效应地一个方法就是借助于在原序列地末端填补一些零值，从而变动DFT地点数，这一方法实际上是人为地改变了对真实频谱采样地点数和位置，相当于搬动了每一根“尖桩栅栏”地位置，从而使得频谱地峰点或谷点暴露出来.LDAYt。
用FFT可以实现两个序列地圆周卷积.在一定地条件下，可以使圆周卷积等于线性卷积.一般情况，设两个序列地长度分别为N1和N2，要使圆周卷积等于线性卷积地充要条件是FFT地长度Zzz6Z。
N≥N1＋N2
对于长度不足N地两个序列，分别将他们补零延长到N.
当两个序列中有一个序列比较长地时候，我们可以采用分段卷积地方法.有两种方法：
重叠相加法.将长序列分成与短序列相仿地片段，分别用FFT对它们作线性卷积，再将分段卷积各段重叠地部分相加构成总地卷积输出.dvzfv。
重叠保留法.这种方法在长序列分段时，段与段之间保留有互相重叠地部分，在构成总地卷积输出时只需将各段线性卷积部分直接连接起来，省掉了输出段地直接相加.rqyn1。
（3）栅栏效应
DFT是对单位圆上z变换地均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，从某种意义上讲，用DFT来观察频谱就如同通过一个栅栏来观看景象一样，只能在离散点上看到真实地频谱，这样一些频谱地峰点或谷点就可能被"尖桩地栅栏"挡住，也就是正好落在两个离散采样点之间，不能被观察到.Emxvx。
减小栅栏效应地一个方法是在原序列地末端填补一些零值，从而变动DFT地点数，这一方法实际上是人为地改变了对真实频谱采样地点数和位置，相当于搬动了"尖桩栅栏"地位置，从而使得频谱地峰点或谷点暴露出来.SixE2。
（4）DFT地分辨率
填补零值可以改变对DTFT地采样密度，人们常常有一种误解，认为补零可以提高DFT地频率分辨率，事实上，DFT地频率分辨率通常规定为
，这里地N是指信号
地有效长度，而不是补零地长度.不同长度地
，其DTFT地结果是不同地;而相同长度地
尽管补零地长度不同其DTFT地结果应是相同地，它们地DFT只是反映了对相同地DTFT采用了不同地采样密度.6ewMy。
总结一下:
要提高DFT分辨率只有增加信号
地截取长度N.
三、实验用到序列
a）高斯序列
b）衰减正弦序列
c）三角波序列
d）反三角波序列
四、实验内容
Matlab编程实现FFT实践及频谱分析．
1.用Matlab产生正弦波,矩形波,以及白噪声信号，并显示各自时域波形图
2．进行FFT变换，显示各自频谱图，其中采样率，频率、数据长度自选
3．做出上述三种信号地均方根图谱,功率图谱,以及对数均方根图谱
4．用IFFT傅立叶反变换恢复信号，并显示恢复地正弦信号时域波形图
源程序
%***************1.正弦波****************%
fs=100;%设定采样频率
N=128;
n=0:
N-1;
t=n/fs;
f0=10;%设定正弦信号频率
%生成正弦信号
x=sin（2*pi*f0*t）;
figure
（1）;
subplot（231）;
plot（t,x）;%作正弦信号地时域波形
xlabel（'t'）;
ylabel（'y'）;
title（'正弦信号y=2*pi*10t时域波形'）;
grid;
%进行FFT变换并做频谱图
y=fft（x,N）;%进行fft变换
mag=abs（y）;%求幅值
f=（0:
length（y）-1）'*fs/length（y）;%进行对应地频率转换
figure
（1）;
subplot（232）;
plot（f,mag）;%做频谱图
axis（[0,100,0,80]）;
xlabel（'频率（Hz）'）;
ylabel（'幅值'）;
title（'正弦信号y=2*pi*10t幅频谱图N=128'）;
grid;
%求均方根谱
sq=abs（y）;
figure
（1）;
subplot（233）;
plot（f,sq）;
xlabel（'频率（Hz）'）;
ylabel（'均方根谱'）;
title（'正弦信号y=2*pi*10t均方根谱'）;
grid;
%求功率谱
power=sq.^2;
figure
（1）;
subplot（234）;
plot（f,power）;
xlabel（'频率（Hz）'）;
ylabel（'功率谱'）;
title（'正弦信号y=2*pi*10t功率谱'）;
grid;
%求对数谱
ln=log（sq）;
figure
（1）;
subplot（235）;
plot（f,ln）;
xlabel（'频率（Hz）'）;
ylabel（'对数谱'）;
title（'正弦信号y=2*pi*10t对数谱'）;
grid;
%用IFFT恢复原始信号
xifft=ifft（y）;
magx=real（xifft）;
ti=[0:
length（xifft）-1]/fs;
figure
（1）;
subplot（236）;
plot（ti,magx）;
xlabel（'t'）;
ylabel（'y'）;
title（'通过IFFT转换地正弦信号波形'）;
grid;
%****************2.矩形波****************%
fs=10;%设定采样频率
t=-5:
0.1:
5;
x=rectpuls（t,2）;
x=x（1:
99）;
figure
（2）;
subplot（231）;
plot（t（1:
99）,x）;%作矩形波地时域波形
xlabel（'t'）;
ylabel（'y'）;
title（'矩形波时域波形'）;
grid;
%进行FFT变换并做频谱图
y=fft（x）;%进行fft变换
mag=abs（y）;%求幅值
f=（0:
length（y）-1）'*fs/length（y）;%进行对应地频率转换
figure
（2）;
subplot（232）;
plot（f,mag）;%做频谱图
xlabel（'频率（Hz）'）;
ylabel（'幅值'）;
title（'矩形波幅频谱图'）;
grid;
%求均方根谱
sq=abs（y）;
figure
（2）;
subplot（233）;
plot（f,sq）;
xlabel（'频率（Hz）'）;
ylabel（'均方根谱'）;
title（'矩形波均方根谱'）;
grid;
%求功率谱
power=sq.^2;
figure
（2）;
subplot（234）;
plot（f,power）;
xlabel（'频率（Hz）'）;
ylabel（'功率谱'）;
title（'矩形波功率谱'）;
grid;
%求对数谱
ln=log（sq）;
figure
（2）;
subplot（235）;
plot（f,ln）;
xlabel（'频率（Hz）'）;
ylabel（'对数谱'）;
title（'矩形波对数谱'）;
grid;
%用IFFT恢复原始信号
xifft=ifft（y）;
magx=real（xifft）;
ti=[0:
length（xifft）-1]/fs;
figure
（2）;
subplot（236）;
plot（ti,magx）;
xlabel（'t'）;
ylabel（'y'）;
title（'通过IFFT转换地矩形波波形'）;
grid;
%****************3.白噪声****************%
fs=10;%设定采样频率
t=-5:
0.1:
5;
x=zeros（1,100）;
x（50）=100000;
figure（3）;
subplot（231）;
plot（t（1:
100）,x）;%作白噪声地时域波形
xlabel（'t'）;
ylabel（'y'）;
title（'白噪声时域波形'）;
grid;
%进行FFT变换并做频谱图
y=fft（x）;%进行fft变换
mag=abs（y）;%求幅值
f=（0:
length（y）-1）'*fs/length（y）;%进行对应地频率转换
figure（3）;
subplot（232）;
plot（f,mag）;%做频谱图
xlabel（'频率（Hz）'）;
ylabel（'幅值'）;
title（'白噪声幅频谱图'）;
grid;
%求均方根谱
sq=abs（y）;
figure（3）;
subplot（233）;
plot（f,sq）;
xlabel（'频率（Hz）'）;
ylabel（'均方根谱'）;
title（'白噪声均方根谱'）;
grid;
%求功率谱
power=sq.^2;
figure（3）;
subplot（234）;
plot（f,power）;
xlabel（'频率（Hz）'）;
ylabel（'功率谱'）;
title（'白噪声功率谱'）;
grid;
%求对数谱
ln=log（sq）;
figure（3）;
subplot（235）;
plot（f,ln）;
xlabel（'频率（Hz）'）;
ylabel（'对数谱'）;
title（'白噪声对数谱'）;
grid;
%用IFFT恢复原始信号
xifft=ifft（y）;
magx=real（xifft）;
ti=[0:
length（xifft）-1]/fs;
figure（3）;
subplot（236）;
plot（ti,magx）;
xlabel（'t'）;
ylabel（'y'）;
title（'通过IFFT转换地白噪声波形'）;
grid;
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