最佳促销模型浙江师范大学同梦杯第十一届数学建模校赛A题.docx
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最佳促销模型浙江师范大学同梦杯第十一届数学建模校赛A题
魅力数模美丽师大
浙江师范大学“同梦杯”第^一届数学建模竞
赛
自信创新合作快乐
论文题目最佳促销策略
编号19
2012年5月10日）
评分
监制：
浙江师范大学数学建模研究会（
最佳促销策略
摘要
随着中国市场经济的建立，消费已从供给约束型转向市场约束型，激烈的市场竞争也给经营者带来了极大的压力，为了赢得更多的市场份额，商家纷纷采取了各种促销手段，用以吸引顾客的青睐，从而获得较高的商业利益。
本文针对这一情况,根据顾客流量、商业规模、消费水平等影响因素对商业利润的作用情况，
研究促销手段与商业利润的关系。
本文根据顾客流量与购买者数量之间存在的正相关性，即顾客流量的增大，会直接增加商品潜在购买者数量，从而引进销售价格、销售量作为中间变量，建立随单价增涨销售量呈线性递减关系的函数模型，并运用常数变异法与换元公式将模型进一步优化，得到顾客流量与商业利润之间非线性符合函数模型，并根据模型简述商业利润所取得的极值。
在解决了顾客流量与商业利润关系的基础上，构建商业最大利润模型，在边际成本与边际产值相等的情况下可取得最大利润，并以此为基础讨论最优促销方案。
运用层次分析法构建促销效果评估模型，收集数据，确定系数，运用MATLAB软件推算促销手段的促销效果得分，筛选出得分最高的两种促销方式一一打折、返券。
通过销量、销价与成本的内在联系构建函数模型，换元求导，着重比较打折、返券这两种促销手段。
通过模型构建分析可得到当销售商品薄利时返券优于打折，此外同时运用打折与返券的组合促销模型，即可提升短期收益又具有长远发展。
针对第三个问题，本文采用MNL模型，在顾客消费额度一定的前提下，给出顾客的最佳选择。
经过模型的建立、检验及结果分析，得到顾客的最佳选择。
最后，本文根据建立的模型与结果分析，得出了经营者的最佳销售策略为产生短期效益的打折与长期效益良好的返券相结合的促销方式，从而产生可观的销售量与利润。
而顾客的最佳消费策略则为买即送的促销方式。
本文通过建立不同的数学模型，对模型结果进行评估，这对商家和顾客针对不同促销方式的最佳选择具有指导性意义。
若模型得到推广，将会进一步促进消费，带动经济的发展。
关键字：
促销策略，常数变异法，MNL模型，层次分析，最佳选择
问题重述..3
模型假设..3
符号说明..4
模型建立.….5
问题~一.….5
基于随单价增涨销售量呈线性递减关系的函数模型…………….…..5
基于随单价变动销售量呈非线性关系的函数模型……………….….6
问题二………………………………………………………….….8
最大利润模型………………………………………………….….8
促销手段评价模型………………………………………………...8
问题三……………………………………………………………14
基于MNLl勺消费者选择模型.……14
模型的估计………………………………………….……………15
模型检验………………….……………………………………...16
模型结果结果…………….……………………………………17模型结果结果分析…………….………………………………….17
问题四…………………………………………………………17
模型优缺点18
参考文献19
问题重述
随着我国经济的发展和市场经济体制的确立，供求关系发生了很大变化。
目前，我国已经结束了短缺经济，进入了买方市场，消费已从供给约束型转向市场约束型。
巨大的市场竞争带给了经营者极大的压力，为了在现在的市场得到更多的份额，商家纷纷采取了各种促销手段，用以吸引顾客的青睐，从而获得较高商业利益。
商家如果能制定出合适的促销方案，可以吸引更多的顾客光临，从而达到增加销售额，提高经济效益的目的；如果促销策略不当，可能会适得其反。
与此同时还要考虑到顾客选择商场具有一定的随机性，需要合适的模型来预期这些促销策略带给企业的效益。
1.在市场约束型的大前提下，影响商业客流的因素，并探索吸引商业客流的途径就显得日益重要，本文将通过建立数学函数模型，来解决顾客流量与商业利润的关系这一问题。
2.收集整理现有的主要商业促销手段。
本文将建立促销手段与商业规模、消费水平、宗教信仰、当地经济发展水平等因素的关系模型，在商业利益最大化的前提下，给出最佳促销手段。
3.消费者面对众多的促销手段，眼花缭乱，请建立模型，在顾客消费额度一定的前提下，给出顾客的最佳选择。
4.整合以上模型进行报告，阐明经营者的最佳促销策略和顾客的最佳消费策略。
条件假设
1.在一定的价格变动范围内，价格上升将导致商品销售量减少；价格下降将导致商品销售量增加。
2.顾客流量与购买者数量之间存在正相关性。
3.采取促销手段后，商品均能成功出售，促销效果将影响商品的销售量。
4.假设顾客所需商品为两类，一类是高消费品（如家电，家具，首饰等），另一类是低消费品（如食品，日用品等）。
5.假设商家只对高消费商品做代金券，而其余促销方式对两类商品均适用。
6.由于抽奖中奖率较低，且不能满足顾客需求，不将其列为顾客参与商业促销方式之一。
7.顾客对两类商品需求程度是一样的，且购买力与顾客的收入情况和消费情况有直接关系。
8.顾客购买商品的周期是不变的，即每隔一定时间去购物一次。
符号说明
a商品销售价格的初始值
m商品销售价格的变动值
b商品销售量的初始值
n商品销售量的变动值
k市场弹性系数
c单件商品的成本
X商品销量的最终值
y商业最终利润值
f商品价格变动与销售量变动的函数关系g与函数f互为反函数
h生产者的产值
p生产者的成本
r生产者的利润
v顾客流量
购买量与顾客流量的比例系数
促销效果
促销效果对商品销售量的影响系数
模型建立
4.1问题一分析:
随着经济的飞速发展，市场竞争也逐渐加大，经营者为了在市场上得到更多的份额，纷纷采取各种促销手段，通过增加顾客流量来提升商业利润。
根据模型假设，近似认为顾客流量与商品销售量之间存在直接联系，通过引进中间变量价格、销售量，分析顾客流量与商业利润之间的函数关系。
由于不同商品销售变动与销售价格变动的函数关系不同，因此，我们采用从特殊到一般，即从线性关系到非线性关系的方式将问题量化，并进行推导解答。
4.1.1模型I:
基于随单价增涨销售量呈线性递减关系的函数模型
顾客流量与购买者数量之间存在正相关性，顾客流量的增大，会直接增加商品潜在购买者的数量，潜在购买者数量的增加将导致销售量的增加，根据假设购买者
每人购买商品的数量为一件，不妨令顾客流量v与购买量X（即销售量）之间存在一次函数的关系，且比例系数为设价格为a时，商品的销售量为b，当商品价格变动与销售量成线性函数关系，即价格变动一个单位，销售量变动为k个单位时，即市场弹性系数为k，可得如
下销售量的图表:
表1:
价格与销售量
价格
销售量
根据商业利润（单位售价单位成本）销量将表格中的数据代入经济学方程，得设销售量整体为x，销售量x与价格变动值m的函数关系为
则mbx/k
将函数mmx代入经济学方程得到
y
整理后的方程为即当商品的价格变销售量成线性函数时，销售量与利润成二次函数关系，且函数曲线开口向下，即商业利润先随销量增加而增加，后随销售量的增加而减少，函数图像如图1所示：
图1
y|
X
由此我们得出，在满足商品价格变动与销售量成线性函数关系时，当顾客
akckb,akckb、
v（）
销售量x为2，商业利润最大，即当顾客流量2时取得
商业利润最大值。
4.1.2模型U:
基于随单价变动销售量呈非线性关系的函数模型
同理根据顾客流量与购买者数量之间存在正相关性系数，引进销售量与价
格作为中间变量进行研究，当商品价格变动与销售量成非线性关系，即销售量变
动值n是随商品价格变动值m变化的函数时，运用“常数变易法”，设nf（m），
其中f为单值连续函数，则销售价格与销售量的对应关系如表2:
表2:
销售价格与销量
价格
a-m
…
a-2
a-1
a
a+1
a+2
…
a+m
销售量
b+f（-m）
…
b+f（-2）
b+f（-1）
b
b+f
（1）
b+f
（2）
…
b+f（m）
商业利润=（单件售价-单件成本）销售量
根据模型I得
y（amc）（bn）
（1）
将nf（m）带入
（1）式，得
设销售量为x，即xbf（m），
设g与f互为反函数，推出mg（xb），所以
将方程进行化简，可得
y（ac）xxg（xb）⑵
由于销售量与顾客流量之间满足线性关系
vx（3）将（3）式带入
（2）式中，可推导出商业利润与顾客流量所满足的函数关系。
由模型U,我们可以分析出，当商品价格与销售量呈非线性关系时，商业利润与顾客流量并不满足二次函数关系，因为g是f的反函数，商业利润与顾客流量的函数关系取决于函数g的性质，一定程度上反映为商品价格与销售量的函数关系，不同的商品具有不同的商品价格与销售量的关系。
在针对特定商品的分析时只要能够确定商品价格与销售量的函数关系，即可推到出商业利润与顾客流量的函数关系。
4.2问题二分析：
在商业利益最大化的前提下，讨论最佳的促销手段。
在研究问题前需要明确何为商业利益最大化，并在此基础上针对现有的常见促销方式建立模型，促销方式所产生的促销效果受商业规模、商品属性、经济状况等影响，对此进行分析比较，寻找最优促销手段。
421模型川：
最大利润模型商业利益最大化即指商业利润最大，根据问题一中模型可知商业利润与售价、成本以及销售量满足如下关系：
商业利润=（单件售价-单件成本）销售量由于该式的局限性，因此需对问题一中的利润模型进行优化，根据假设采取促销手段后，商品均能成功出售，可用销售量x近似等价于投入生产的量，产值
与成本是关于x的函数，分别记为h（x）与p（x），则利润r（x）为根据问题一的模型可知商业利润先随销售量增加而增加，后随销售量增加而
减小，固存在利润的极大值也是最大值，可以通过求“导数”即经济学中计算“边际”的方法计算利润的最大值，且r'（x）0，可以得到产值与成本的关系为
h'（x）p'（x）
其中h'（x）为边际产值，p'（x）为边际成本，即当达到边际产值与边际收益相等时可以实现商业最大利润。
4.2.2模型W:
促销手段评价模型
通过收集整理现有的主要商业促销手段，可以了解到目前最为通用的促销手段有：
打折、返券、抽奖与送礼。
不同的促销手段各有其优势与劣势，在满足模
型川，利润最大即h'（x）p'（x）的前提下，需要对促销手段选取合适的评价体系，寻找最合适的促销手段。
为简化模型，令h（x）销售价格销售量，其中“销售价格”与促销手段有
关，“销售量”与促销效果有关，“成本p（x）”也与促销手段有关。
为此确定促销手段对促销价格以及成本的影响，促销效果对促销量的影响，可以的到h（x）与p（x）的函数关系，从而进行比较分析。
①销售效果与销售量：
通过资料数据收集与整理，确定促销效果主要与以下几个指标有关系：
价格变动、顾客满意、市场需求、短期效益、长期效益。
运用层次分析法求解不同
的促销方案的促销效果，促销效果评估从而确定促销效果指数的表达公式
目标层0
在建立了层次结构以后，上下层元素间的隶属关系就确定了，命名第一层元素0为目标层，它所支配的下一层的元素C为准则层C1,C2,…，Cn,我们的目标是按照他们对于0的重要性赋予权重。
当C1,C2,…，Cn对于0的重要性可以直接定量表示时，他们的权重值也可以直接确定。
层层次分析法所用的到处权重的方法就是两两比较的方法。
确定针对目标层0,两个元素Ci与Cj
哪个元素的量重要程度按照表1的比例标度对重要程度赋值。
收集“促销效果”与“价格变动”、“顾客满意”、“市场需求”、“短期效益”、“长期效益”的关系，再运用G：
Cjaj的公式便可写出一个
AG）66,aij0,aji丄的矩阵A，且此矩阵为准则层C对目标层0
aij
运用Matlab软件对矩阵A求最大特征值5
并且运用的方法定义一致性指标，且此时n=5,得到CI0
当去最大特征值时候可取的，特征向量为：
=（0.5203,0.3468,0.5203,0.2601,0.5203）
同理，可分别写出方案层对准则层的矩阵，计算出各自特征向量，见表3:
表3:
权重向量表
\\准则
价格变动
顾客满意
市场需求
短期效益
长期效益
方案\
2
3
4
5
打折0.63250.41910.60920.48550.6576
返券
0.63250.83810.60920.48550.3288
0.31620.27940.30460.66620.1644
0.31620.20950.40610.29130.6576
抽奖
送礼
根据方案层对准则的权重向量与准则层对目标层的权重向量，可以计算得到方案
层对目标层的权重向量，将其记为向量，则其计算公式如下：
由于向量为方案层对目标层的权重向量，向量中每一个元素分别为每种促销方案所对应的促销效果指数，将向量称为促销效果指数向量。
由假设，采取促销手段后，促销效果将影响销售量的增加，比例系数则销售量增加函数，则
不同的商品具有不同的影响系数，可根据某种特定商品的销售量的增加数据拟合出特定的的数值。
根据促销效果指数数值上可以发现“打折促销”的促销效果最佳为1.2598,“抽奖促销”的效果最差为0.6787。
且从权重向量可以发现
“打折促销”的短期效果最大，但长期效果不佳。
“返券促销”的长期效果明显
优于“打折促销”。
且“打折促销”与“返券促销”的促销效果的相差不大，因而不能完全确定，两者的作用效果，且两者在短期与长期两种促销效果上各具优势，我们认为单纯从利润最大前提下比较促销效果时，应当将两种促销手段相结
合可以达到最佳，即采用“打折促销”与“返券促销”两种共同使用的组合销售方式是最有的促销方式。
②促销手段与销售价格、成本
不同的促销手段对应着不同的价格变化幅度，根据促销效果指数以及不同的促销各自特征可以得到不同促销手段与销售价格的关系，
打折促销：
价格与销售量满足问题一中的单件价格与销量的关系ambkm，
可以计算得最佳的打折后的单件价位为：
a。
促销成本与促销
k
前相同，单件成本仍为c。
返券促销：
返券促销中，所返给顾客的代金券可以认为具有一定的成本，但销售
商品的价格不变，仍为初始的价格，举销售价格仍为a，但促销成本有所变化，为控制变量的数目，不妨讨论所返给顾客的代金券面值在与打折促销所减少的价格相同，但代金券的面值等于商品的价格，不
等于成本，但成本与价格之间存在一个转化关系为-。
从而可以得到
a
单件成本变为：
c
ka
抽奖促销：
抽奖促销，虽然不同顾客的中奖概率并不相同，但当参与抽奖的顾客
基数的增加，中奖呈现一定的统计规律，且抽奖促销不改变商品的销
售价格，但会增加出售该商品的成本。
同样为讨论中控制变量，不妨
令平均中奖的面值与打折中所降价的金额数量相等，同样将面值转化
为商家的成本，可以的到出售单件商品的成本变为：
c-
ka
送礼促销：
送礼促销的方式，是消费者在购买商品时，商家以赠送一定的物品，
进而促销，不妨令商家所赠送的物品所具有与打折促销所具有相同的
市场面值，且令此赠送的物品具有与所销售的商品相同的成本与价格的转化比率为-，可以将其归类于单件商品的成本变为:
a
综上，四种促销方式的各项指数的表达可归类如表4所示：
表4:
促销方式的各项指数
''方式指数
促销效果指
数
销售量
销售价（单
件）
销售成本（单
件）
打折
返券
抽奖
送礼
其中b、a分别为是促销前销售量、促销前销售单价。
根据层次分析法所建立
的“促销效果模型”可以发现“打折促销”与“返券促销”的促销效果明显优于“抽奖促销”与“送礼促销”，因而在此模型中着重比较在商业利润达到最大值是“打折促销”与“返券促销”这两种促销方式。
在“打折促销”的情况下，利润的表达式为：
在“返券促销”的情况下，利润的表达式为：
比较“打折促销”与“返券促销”的大小，令m（b）r（b）D（b）
由促销效果模型可知，在正常条件下“打折促销”与“返券促销”相差不大，为研究何时两种促销方式所产生的效果有明显的不同，即求m（b）的极值问题，转
化为数学的计算方法，便是对函数m（b）求导，即求其边际
根据促销效果层次分析模型可知1，2的数值较为接近，即当成本与售价相
差不大的时候，“打折促销”与“返券促销”所带来的商业收益差距较大。
将此模型联系生活实际，此模型解释了经济学中的一个现象：
即当即所销售的商品利润较薄时，“返券促销”比“打折促销”更能为商家带来经济利润。
反之，当商品利润较丰厚是，“返券促销”与“打折促销”所给商家带来的收益将相似，两种促销手段对商家而言产生的效果相似。
综上，商品较为薄利时，选择“返券促销”使得促销效果最优；商品利润较
为丰厚时，同时使用“返券促销”与“打折促销”组合促销模式，不仅能拉动市场需求、提高顾客满意度，还能在不失长期利益的前提下确保短期利益的最大化。
4.3问题三分析
顾客根据自身的实际需要进行选择性购物，既有物质方面的要求，又不会只注重于此，在满足顾客要求的前提下，若有省钱的策略，肯定会选择最能省钱的方式。
在问题二中，我们收集整理出现有的主要商业促销手段（打折，送礼，返券，抽奖），打折即降价促销，送礼即赠品促销，返券即为代金券。
由于赠送的物品并不一定是顾客想拥有的，而代金券限制了顾客的消费自由，因此这两种促销方式换算成金钱要相应的打折扣。
由于中奖率较低，且不能满足顾客需求，因此我们不做考虑。
很多顾客参与促销活动的前提是物品要达到顾客的要求，即刺激顾客消费的潜在冲击（服务态度，品牌效应等），当然不同的人群对各种促销方式的精神需求不同，因此各种促销方式产生的效果也不同。
假设这种刺激消费的潜在值为k，k与个人收入水平成指数关系。
4.3.1模型V:
基于MNLI勺消费者选择模型
MNL莫型：
麦克法登（McFadden在理论上证明了消费者从由多个不同的商品所构成的选择集、中选择一个商品的概率可以用封闭的数学表达式来表达，这
为MNL莫型的广泛应用奠定了基础。
MNL莫型是当代营销研究中应用最多的统计模型。
下面我们将根据本研究的需要，借鉴MNL莫型来进行评估。
顾客在选择购买某一类别的商品时通常要面对多个不同的商品，这些商品构
成一个选择集，通常用C表示。
在选择集中的每一个商品对他来说都会有一定的效用。
消费者只会购买选择集中效用对他最大的那一个商品。
假设我们用n来表示顾客，n=1,…,N;选择集中一共有J个商品。
我们把消费者n从商品j所获得的效用表示为Uj,j=1,…,J。
商品i被选中所必须满足的条件是：
Ui>Uj，其中j是指不包括商品i在内的选择集中的全部其它商品。
对于消费者n商品j的效用的系统部分通常用Vnj表示。
还有一部分效用是研究人员观察不到的，也就是说UjMVnj，我们将这种效用称为随机部分，用&nj表示。
这样就把全面效用分解成了两部分，如下方程所示：
在选择集C中，消费者n购买商品i的概率可以表示为：
将公式
（1）代入公式
（2），整理得到：
对于效用的随机部分&ni做出如下两个假设：
（1）£ni是独立分布的随机变量；
（2）该概率变量服从双重幂函数概率分布，如下所示：
综合公式
（1）至（4），我们可以把消费者n选择商品i的概率表示为如下的简单公式
上式中，分子是商品i决定部分效用的幂函数，分母是选择集中所有商品决定部分效用幂函数的和。
效用的随机部分已不复存在，这大大地简化了选择概率的计算过程。
如上所述，效用的决定部分是由可观察到的商品的有关变量、消费者的有关变量以及其它变量共同决定的。
假设有K个可观察变量共同决定效用的决定部分。
一般地，我们用线性方程来表示这些变量与效用之间的关系，如下所示：
上式中，aj是每一种促销方式的固有效用，即为顾客的精神满足值k。
xnjk
是可观察到的每一种促销方式都有的共同变量。
在这里，共同是指每一种促销方式都有这个变量，但并不表示它们的值相等。
bk是第k个共同变量所对应的参数或权数。
每一个变量都有一个参数与之相对应。
将公式（6）代入公式（5），我们得到如下的公式：
在上面的公式中，xnjk是已知的观察值，aj和bk是未知的参数，需要估计。
我们也不知道选择概率Pni，但是我们知道消费者从选择集中购买了哪一个商品。
我们用ynj来表示消费者n选择的结果。
如果消费者n选择了商品j，则ynj=1;否则，ynj—0°
4.3.2模型的估计
消费者n从J个商品构成的选择集中每购买一次商品，统计似然的计算公式则为：
对于全部N个消费者而言，似然的计算公式则为：
根据统计学的最大似然法，我们可以通过对公式（9）的似然值最大化从而求得模型参数（aj和bk）的解。
由于对数似然值将原来相乘的关系转变成了相加的关系，简化了计算过程，因此不直接采用最大化似然值本身°自然对数似然值的计算公式为：
将公式（7）代入到公式（10），并通过对LL进行最大化，我们便可以求得参数aj和bk的解°在本研究中，我们是通过矩阵语言程序Matlab来实现上面的模型估计过程的°
4.3.3模型检验：
由于没有关于这三种销售促销方式的相关数据，因此，我们根据搜集来的大量资料和文献，参考相关文章，对模型进行检验，进而更科学地进行分析比较哪种种促销方式是顾客的最佳选择。
为便于描述，我们用A表示高消费品，用B表示低消费品。
商家米取三种不同的销售促销方式，包括折价、买送券、买送礼（同类商品，免费礼品等）。
下面，我们对销售促销变量及其它相关变量的界定及编码（均采用0,1编码）进行说明。
销售促销变量：
（1）折价：
在短时间内对商品进行降价促销。
1表示有折价，0表示没有。
（2）买送券：
随所选购商品的价值按一定比例进行返券。
1表示有买送券，
0表示没有。
（3）买即送：
随所购商品免费赠送一定数量的同类商品。
1表示有买即送，
0表示没有。
模型拟合检验
我们采用似然比率指标P2作为检验指标，它相当于回归分析中的氏，反映出模型中自变量对消费者购买商品概率的解释力。
其计算公式如下：
其中，LL1在给定模型参数时的对数似然值，LL0是当模型参数都为0时的似然值。
卩2的值在0和1之间；值越大，模型中的变量的解释力就越大。
表5给出了LL1,LL0和
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