六年级下册数学讲义培优专题讲练第4讲枚举法教师版.docx
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六年级下册数学讲义培优专题讲练第4讲枚举法教师版
第四讲枚举法
1.计数问题分为两个大类，一类是“计次序”的问题，一类是“不计次序”的问题。
2.枚举需要按照一定的顺序和一定的规律来进行分类，这样可以做到不重复和不遗漏。
3.枚举法的根本思想在于分类，通过分类可以将原本复杂的问题拆分成若干个比较简单的问题，然后再逐一进行分析。
分类的思想可以化繁为简，化复杂为简单。
4.可以利用“树形图”来方便的记录枚举的过程，有几类问题就分出几个分枝，逐层按照
顺序不断分叉再一一筛选，留下符合条件的，去掉不符合条件的。
注意在枚举“不计次序”的问题时，只需考虑从小到大（或从大到小）排列的分枝，而不用理会其他情况。
5.计次序：
不但要挑选出来，而且还需要排列顺序，不同的排列顺序认为是不同的情况或
方法。
这类问题通常是“排列”的题目。
6.不计次序：
只要挑选出来即可，不需要排列顺序，不同的排列顺序认为是相同的情况或方法。
这类问题通常是“选取”的题目。
1.理解“枚举法”的含义。
2.能在题目中熟练运用枚举法解题。
例1：
小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。
若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。
试判断他们两人谁获胜的可能性大。
分析与解：
将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。
用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。
出现7的情况共有6种，它们是：
1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。
出现8的情况共有5种，它们是：
2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。
所以，小明获胜的可能性大。
注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。
例2：
数一数，右图中有多少个三角形。
分析与解：
图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。
为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的……再一类一类地列举出来。
单个的三角形有6个：
1，2，3，5，6，8。
由两部分组成的三角形有4个：
（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。
由三部分组成的三角形有1个：
（5，7，8）。
由四部分组成的三角形有2个：
（1，3，4，5），（2，6，7，8）。
由八部分组成的三角形有1个：
（1，2，3，4，5，6，7，8）。
总共有6＋4＋1＋2＋1=14（个）。
对于这类图形的计数问题，分类型数是常用的方法。
例3:
在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？
分析与解：
上珠一个表示5，下珠一个表示1。
分三类枚举：
（1）两颗珠都是上珠时，可表示5005，5050，5500三个数；
（2）两颗珠都是下珠时，可表示1001，1010，1100，2000四个数；
（3）一颗上珠、一颗下珠时，可表示5001，5010，5100，1005，1050，1500，6000七个数。
一共可以表示3＋4＋7=14（个）四位数。
由例1～3看出，当可能的结果较少时，可以直接枚举，即将所有结果一一列举出来；当可能的结果较多时，就需要分类枚举，分类枚举是我们需重点学习掌握的内容。
分类一定要包括所有可能的结果，这样才能不遗漏，并且类与类之间不重叠，这样才能不重复。
例4有一只无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开成平面展开图。
那么，共有多少种不同的展开图？
分析与解：
我们将展开图按最长一行有多少个正方形（纸箱的面）来分类，可以分为三类：
最长一行有4个正方形的有2种，见图
（1）
（2）；
最长一行有3个正方形的有5种，见图（3）～（7）；
最长一行有2个正方形的有1种，见图（8）。
不同的展开图共有2＋5＋1＝8（种）。
例5：
小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。
如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？
分析与解：
本题是分步进行一项工作，每步有若干种选择，求不同安排的种数（有一步差异即为不同的安排）。
这类问题简单一些的可用乘法原理与加法原理来计算，而本题中由于限定条件较多，很难列出算式计算。
但是，我们可以根据实际的安排，对每一步可能的选择画出一个树枝状的图，非常直观地得到结果。
这样的图不妨称为“枚举树”。
由上图可知，共有6种不同的安排。
例6：
一次数学课堂练习有3道题，老师先写出一个，然后每隔5分钟又写出一个。
规定：
（1）每个学生在老师写出一个新题时，如果原有题还没有做完，那么必须立即停下来转做新题；
（2）做完一道题时，如果老师没有写出新题，那么就转做前面相邻未解出的题。
解完各题的不同顺序共有多少种可能？
分析与解：
与例5类似，也是分步完成一项工作，每步有若干种可能，因此可以通过画枚举树的方法来求解。
但必须考虑到所有可能的情形。
由上图可知，共有5种不同的顺序。
说明：
必须正确理解图示顺序的实际过程。
如左上图的下一个过程，表示在第一个5分钟内做完了第1题，在第二个5分钟内没做完第2题，这时老师写出第3题，只好转做第3题，做完后再转做第2题。
例7：
是否存在自然数n，使得n2＋n＋2能被3整除？
分析与解：
枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题讨论的对象是所有自然数，自然数有无限多个，那么能否用枚举法呢？
我们将自然数按照除以3的余数分类，有整除、余1和余2三类，这样只要按类一一枚举就可以了。
当n能被3整除时，因为n2，n都能被3整除，所以（n2＋n＋2）÷3余2；
当n除以3余1时，因为n2，n除以3都余1，所以（n2＋n＋2）÷3余1；
当n除以3余2时，因为n2÷3余1，n÷3余2，所以（n2＋n＋2）÷3余2。
因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数n，（n2＋n＋2）都不能被3整除。
A
1.A、B、C、D、E、F六支球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、1场，由此可知，还没有与B队比赛的球队是（）
A.C队B.D队C.E队D.F队
答案：
C
由于是单循环赛，所以每个队至多赛5场。
A队已经完成了5场，则每个队均与A队比赛过。
E队仅赛一场（即与A赛过），所以E队没有与B队赛过。
2．写自然数1、2、3、…、1000，一共写了＿＿个0（）
A.90B.171C.189D.192
答案：
D
分类如下：
仅各位是0的数共含90个0，仅十位是0的数共含81个0，个位、十位同时是0的共含18个0，个、十、百位同时是0的（仅1000）共含3个0，所以一共有90+81+18+3=192个0
3.已知x，y都有整数，且xy=6，那么适合等式的解共有＿＿8＿＿组
答案：
8
4.将6拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？
答案：
10种。
解：
6=1＋5=2＋4=3＋3=1＋1＋4=1＋2＋3=2+2+2=1+1+1+3
＝1+1+2+2＝1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。
5.小明有10块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
答案：
9种。
解：
一天吃完有1种：
（10）；两天吃完有5种：
（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3）；三天吃完有3种：
（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3）。
共1+5+3=9（种）。
B
6.用五个1×2的小矩形纸片覆盖右图的2×5的大矩形，共有多少种不同盖法？
答案：
8种。
解：
如下图所示，只有1个小矩形竖放的有3种，有3个小矩形竖放的有4种，5个小矩形都竖放的有1种。
共3＋4＋1=8（种）。
7.15个球分成数量不同的四堆，数量最多的一堆至少有多少个球？
答案：
6个。
解：
15个球分成数量不同的四堆的所有分法有下面6种：
（1，2，3，9），（1，2，4，8，）（1，2，5，7），（1，3，4，7），（1，3，5，6），（2，3，4，6）。
可以看出，分成的四堆中最多的那一堆至少有6个球。
8.数数右图中共有多少个三角形？
答案：
10个。
提示：
由一块、两块、三块、四块组成的三角形依次有4，3，2，1个，共有4＋3＋2＋1＝10（个）。
9.甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。
已知甲胜了第一盘，并最终获胜。
问：
各盘的胜负情况有多少种可能？
答案：
6种。
提示：
将各盘获胜者写出来，可画出枚举树如下：
10.经理有4封信先后交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的信，比如打完第3封信时第4封信还未到，此时如果第2封信还未打完，那么就应先打第2封信而不能打第1封信。
打字员打完这4封信的先后顺序有多少种可能？
答案：
14种。
提示：
按四封信的完成顺序可画出枚举树如下：
C
11.从1～50这50个自然数中选取两个数字，使它们的和大于50，共有多少种不同的取法？
答案；取法有很多，找到规律使数法简单且不重复不遗漏是解题的关键
解若两数中较大的是50，则另一个可以取1,2,3，…，49，共49种取法；
若两数中较大的是49，则另一个可以取1,2,3，…，48，共47种取法；
若两数中较大的是48，则另一个可以取1,2,3，…，47，共45种取法；
……
若两数中较大的是26，则另一个只能取25，共1种取法。
因此共有1+3+5+…+47+49=625种取法。
说明在运用枚举法时，一定要找出问题的本质，按照一定的规律去设计枚举的形式。
12.从1～50这50个自然数中选取两个数字，使它们的和不大于50，共有多少种不同的取法
答案；600种。
取法共有2+4+6+……+46+48=600.
13.求证：
若整数n不是5的倍数，则n2也不是5的倍数。
答案；不是5的倍数的数可以除以5的余数分为4类，按4类来讨论。
证明：
不是5的倍数的数可以除以5的余数分为4类，设为5k+1、5k+2、5k+3、5k+4（k为整数），
1n=5k+1时，n2=5（5k2+2k）+1，不是5的倍数；
2n=5k+2时，n2=5（5k2+4k）+4，不是5的倍数；
3n=5k+3时，n2=5（5k2+6k+1）+4，不是5的倍数；
4n=5k+4时，n2=5（5k2+8k+3）+1，不是5的倍数。
∴若整数n不是5的倍数，则n2不是5的倍数。
说明本题体现了在枚举法里常见的思路：
分类考查，要注意分类的科学性。
14.除以4余1的两位数共有几个？
答案；22个
令这样的数为4k+1（k为整数），只要令其值在10到99之间就可以了。
则k=3,4,5…23,24。
共22个。
15.今有一角币1张、贰角币1张、伍角币1张、一元币4张、五元币2张。
这些纸币任意付款，可以付出多少种不同数额的款？
答案；本题如直接枚举，情况复杂，很难求出正确答案。
我们可以先考虑付款的数额范围，在此范围内，再考虑那些不能构成的付款数额，将其剔除。
由题意，付款的最小数额为1角，最大数额为14.8元。
其间1角的整数倍共有148种款额。
另一方面，4角、9角，这两种数额是这些钱币无法付出的，所以1.4元、1.9元、2.4元、2.9元、3.4元、3.9元、…、14.4元，这些数额也无法付出。
上述这些付不出的数额共29种，应剔除。
所以能付出的数额应是148-29=119（种）。
说明本题采用逆向思维，把本来比较复杂的正面枚举改为较简单的反面枚举。
这是我们做题时的常见的策略。
1.由若干个小正方体堆成大正方体,其表面涂成红色,在所有小正方体中,三面被涂红的有a个,两面被涂红的有b个,一面被涂红的有c个。
那么啊a，b，c三个数中（）
A.a最大B.b最大C.c最大D.哪个最大与小正方体的个数有关
答案：
D
2.10块蛋糕分给甲、乙两人，每人至少1块，求一共有多少种不同的分法？
9种
答案：
同第2题类似共8种。
3.10块蛋糕分成两堆，求一共有多少种不同的分法？
5
答案：
1+9，2+8，3+7，4+6四种
4.1，2，3，4四个数字组成一个没有重复数字的四位数abcd，若ac，c5
答案：
1324，1423，2314，2413，3412
5.把4位数x先四舍五入到十位，所得之数再四舍五入到百位，所得之数再四舍五入到千位，恰好得到2000，则x的最小值和最大值是多少？
答案；最小值是1445，最大值是2444.可以倒过来想，要是x最小，千位必为1，百位为4，十位为4，各位最小为5即可。
同理可以退出最大值。
1.从1，2，3，4四个数中选取3个数组成一个没有重复数字的3位数，求一共有多少种方法？
24
答案：
123，124，134，…….共有24种选2人去种树，把硬币分成两堆硬币，从1—9中挑选2数字和小于9
2.有甲、乙、丙三个工厂一共要定300份报纸，每个工厂最少定99份，最多定101份，求一共有多少种订报纸的方法？
7
答案：
（1）99；100；101；共六种；
（2）100；100；100共一种。
合计7种。
3.从1，2，3，4四个数中选取3个不同的数字组成一组，求一共有多少种方法？
4
答案：
4种。
4.将300拆成三个整数的和，并且每个整数不小于99，不大于101，求一共有多少种方法？
2
答案：
和例题2向类似，所以一共有2种方法。
5.从1—8中取出3个不同的数字使得3个数字的和等于11，一共有多少种取法？
5
答案：
11=8+2+1=7+3+1=6+4+1=6+3+2=5+4+2共5种。
6.一共有6件相同的礼物分给甲、乙、丙、丁四个小朋友，每个人至少分一件，求一共有多少种分法？
10
答案：
6=1+1+1+3=1+1+2+2
四个人分到的数不一样结果也有所不同。
合计：
10种
7.一共有6件相同的礼物分成4份，求一共有多少种分法？
2
答案：
6=1+1+1+3=1+1+2+2共两种
8.妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，一共有多少种不同的吃法？
8
答案：
8种
9.妈妈买来7个鸡蛋，将它们分成若干份，一共有多少种不同的分法？
15
答案：
将7拆分为几个整数和的形式
7=1+1+1+1+1+1+1=1+1+1+1+1+2
=1+1+1+1+3
=1+1+1+2+2
=1+1+5
=1+1+2+3
=1+3+3
10.从两个1，两个2，1个3中选出3个数字组成3位数，那么一共可以组成多少个不同的3位数？
18
答案：
树型图分析，
百位为1，共7种。
百位为2，共7种。
百位为3，共4种。
合计：
18种
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