路灯更换策略模型.docx
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路灯更换策略模型
“大班上课、小班讨论”论文报告
2014-2015第二学期
数学建模
2016年4月9日－4月12日
题目路灯更换策略模型
专业
信算
信算
信算
信算
班级
14信算1
14信算1
14信算1
14信算1
姓名
芦新宇
岳昊垲
常巨野
王嘉琦
学号
02
05
17
23
成绩
路灯更换策略
1、问题的提出
某路政部门负责城市某条道路的路灯维护。
更换路灯时，需要专用云梯车进行线路检测和更换灯泡，向相应的管理部门提出电力使用和道路管制申请，还要向雇用的各类人员支付报酬等，这些工作需要的费用往往比灯泡本身的费用更高，灯泡坏1个换1个的办法是不可取的。
上级管理部门通过监察灯泡是否正常工作对路政部门进行管理，一旦出现1个灯泡不亮，管理部门就会按照折合计时对他们进行罚款。
根据多年的经验，他们采取整批更换的策略，即到一定的时间，所有灯泡无论好与坏全部更换。
如何确定整批更换的时间周期，要考虑每个灯泡的更换价格（包括灯泡的成本和安装时分摊到每个灯泡的费用）以及管理部门对每个不亮的灯泡制定的惩罚费用，使得单位时间内的费用最少，此时所对应的周期即为整批更换的最佳周期。
二、问题的分析
其中总费用分为两部分:
每个灯泡的更换价格（包括灯泡的成本和安装时分摊到每个灯泡的费用）以及管理部门对每个不亮的灯泡制定的惩罚费用。
根据常识,灯泡的寿命是随机的,在平均值附近有较大的波动,需要通过分析确定灯泡寿命的分布规律。
针对问题一，将总的灯泡成本和更换安装所需要的费用作为总的安装费用，再根据灯泡寿命的分布规律，列出需要承担的惩罚费用与整批更换周期的关系，从而得出总费用与整批更换周期的关系式，解出更换周期的表达式。
针对问题二，根据抽查的200个灯泡寿命，统计分析出灯泡寿命大概的分布规律，将题中所给数据：
每个灯泡的更换价格（包括灯泡的成本和安装时分摊到每个灯泡的费用）为80元，管理部门对每个不亮的灯泡制定的惩罚费用为元/小时，代入更换周期表达式，通过求导计算出日均总费用最小时，对应的整批更换周期。
针对问题三，在未坏灯泡可以回收的条件下，总费用应为：
总的安装费用（总的灯泡成本+更换安装所需要的费用）+总的惩罚费用-未坏灯泡回收收益；再次列出总费用与整批更换周期的关系式，解出更换周期的表达式，通过求导计算出日均总费用最小时，对应的整批更换周期。
三、模型的假设
1、假定没有人为的破坏灯泡的行为且灯泡均为合格的产品；
2、假设惩罚费用从灯泡坏的那一刻开始计算；
3、假设该品牌灯泡的寿命满足随机正态分布；
4、假设已坏的灯泡无任何回收价值；
5、假设外界环境因素不会改变灯泡寿命；
6、假设所给200组数据是有代表性的,可以体现一般的规律；
四、符号说明
整体更换灯泡时单位时间每个灯泡所承受的罚款费用
整体更换灯泡时所承受的罚款总费用
整体更换灯泡时灯泡的总更换费用
通过随机抽取的测试获得灯泡的期望寿命
通过随机抽取的测试获得灯泡寿命的标准差
整批更换的周期
一个周期内的总费用
平均每天的总费用
灯泡的寿命
每个未坏灯泡的回收价格
寿命t的概率密度函数即:
灯泡的个数
寿命为t的灯泡在一个周期内的总罚款函数
灯泡在一个周期后的售出价格函数
5、模型的建立
问题一：
查阅资料可知，灯泡寿命的分布为正态分布。
由此，我们先对题目所给的200个数据利用SPSS进行正态性检验。
先做出灯泡寿命的频率直方图与拟合的正态分布曲线：
根据图像可以大致看出，灯泡的寿命是正态分布的，于是有寿命t的概率密度函数为
…………………………
（1）
对于灯泡的惩罚费用有
………………………
（2）
于是，得出在周期为T的情况下，所要承受的罚款为
……………………………（3）
则需要的总费用为
………………………（4）
为寻求最佳的更换周期,我们将单位时间内支出的费用最小作为评价的标准,即:
单位时间内的费用越小该整体更换周期越优，单位时间内支出的费用可表示为
…………………………………（5）
当
最小时，有
…………………………………（6）
化简后可得
…………………………………（7）
其中
模型分析：
有积分的性质可以知道积分表示的是图形的面积,而且被积函数是大于零的,T为积分上限,所以T越大,积分值越高,即:
T与总更换费用和总惩罚费用的比值成正比关系,当更换的费用越少,惩罚的费用越高时,更换的周期应该是越小的,这与实际情况是完全吻合的。
6、模型的求解
问题二：
根据问题二所给的条件，每个灯泡的更换价格（包括灯泡的成本和安装时分摊到每个灯泡的费用）为80元，管理部门对每个不亮的灯泡制定的惩罚费用为元/小时可知
则有
代入（7）式则有
………………………………（8）
编写MATLAB代码，并求解可得近似解为T=4314（h）
结论：
整体更换周期为4314小时，即每过4314小时进行一次灯泡的全部更换的条件下，路政部门平均每天所花的费用最少。
问题三：
根据题意可在问题二的模型基础上再考虑未坏灯泡的回收
灯泡的回收价格函数为
……………………………（9）
则考虑未坏灯泡的回收，需要总费用变为
……………………（10）
为寻求最佳的更换周期,我们同样将单位时间内支出的费用最小作为评价的标准,将（10）式代入（5）（6）两式后可得
…………………………（11）
同样根据问题三所给的条件，该品牌每个未坏灯泡的回收价格为5元，并结合问题二已知条件，有
代入（11）式，并编写代码，用MATLAB近似求解得T=3932（h）
结论：
在未坏灯泡可以回收的情况下，整体更换周期为3932小时，即每过3932小时进行一次灯泡的全部更换的条件下，路政部门平均每天所花的费用最少。
7、模型的检验
根据所求得的更换周期的表达式，T与总更换费用和总惩罚费用的比值成正比关系,当更换的费用越少,惩罚的费用越高时,更换的周期应该是越小的,这与实际情况是完全吻合的。
另外，当未坏的灯泡可以回收时，所对应的最佳整体更换周期缩短，这与实际情况也是非常吻合的。
8、模型的评价
优点：
1、模型层层深入，不断实际化，具体化，与生活中实际情况较为接近，具有很好的实用价值；
2、模型利用MATLAB求解，减少了很大的计算量和出错的可能。
缺点：
1、模型中将灯泡的寿命看做正态分布，具有一定的误差，对结果周期的大小有一定的影响；
2、模型没有将人为因素和意外情况考虑在内，在特殊情况发生时，模型就不在适用了。
9、模型的推广
该模型适用的对象与我们的生活密切相关，除了灯泡的更换之外，比如学校机房的电脑更换，餐厅桌椅的更换等等都能用此模型来研究更换的周期，其最佳整体更换周期对学校、餐厅等具有重要意义。
10、参考文献
[1]茆诗松，概率论与数理统计教程第二版，高等教育出版社，2011
[2]姜启源，数学建模，高等教育出版社，2003
[3]华东师范大学数学系，数学分析（下），高等教育出版社，2010
附录
第二问MATLAB代码
symsx
T=3700;
while
（1）
f=normpdf（x,,*x;%在t出返回正态分布函数值
V=int（f,x,0,T）;%在[0,t]作积分
if（double（V）>=4000）
break;
end
T=T+1;
End
第三问MATLAB代码
symsx
T=3700;
while
（1）
f1=normpdf（x,,*x*;%惩罚费用
f2=normpdf（x,,*5;%回收费用
a=int（f1,x,0,T）;
b=int（f2,x,0,T）;
c=5*s*normpdf（s,,;
d=double（a-b+c）;
if（d>=80）
break;
end
T=T+1;
end
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