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数学必修1-5常用公式及结论
必修1：
一、集合1、含义与表示：
（1）集合中元素的特征：
确定性，互异性，无序性
（2）集合的分类；有限集，无限集（3）集合的表示法：
列举法，描述法，图示法
2、集合间的关系：
子集：
对任意xA，都有xB，则称A是B的子集。
记作AB真子集：
若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，记作AB集合相等：
若：
AB,BA,则AB
3.元素与集合的关系：
属于不属于：
空集：
4、集合的运算：
并集：
由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为AB
交集：
由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为AB
补集：
在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，
记为CUA
5．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2个；真子集有2–1个；非空子集有2–1个；
6.常用数集：
自然数集：
N正整数集：
N整数集：
Z有理数集：
Q实数集：
R
二、函数的奇偶性
1、定义：
奇函数<=>f（–x）=–f（x），偶函数<=>f（–x）=f（x）（注意定义域）
2、性质：
（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；
（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；
（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
二、函数的单调性
1、定义：
对于定义域为D的函数f（x），若任意的x1,x2∈D，且x1<x2
①f（x1）<f（x2）<=>f（x1）–f（x2）<0<=>f（x）是增函数
②f（x1）>f（x2）<=>f（x1）–f（x2）>0<=>f（x）是减函数
2、复合函数的单调性:
同增异减
三、二次函数y=ax2+bx+c（a0）的性质*nnn
b4acb2b4acb2
1、顶点坐标公式：
2a,4a，对称轴：
x2a，最大（小）值：
4a
2.二次函数的解析式的三种形式
（1）一般式f（x）ax2bxc（a0）;
（2）顶点式f（x）a（xh）2k（a0）;
（3）两根式f（x）a（xx1）（xx2）（a0）.
四、指数与指数函数
1、幂的运算法则：
（1）am•an=am+n，
（2）aaa
nmnmn，（3）（am）n=amn（4）（ab）n=an•bnnn11anann0m（5）n（6）a=1（a≠0）（7）an（8）aa（9）amnabba
2、根式的性质
（1
）na.
（2）当n
a；当n
|a|a,a0.
a,a0
1
4、指数函数y=ax（a>0且a≠1）的性质：
（1）定义域：
R；值域：
（0,+∞）
（2）图象过定点（0，1）
5.指数式与对数式的互化：
logaNbabN（a0,a1,N0）.
五、对数与对数函数
1对数的运算法则：
logN
（1）ab=N<=>b=logaN
（2）loga1=0（3）logaa=1（4）logaab=b（5）aa=N
（6）loga（MN）=logaM+logaN（7）loga（M）=logaM--logaNN
（8）logaNb=blogaN（9）换底公式：
logaN=
nlogbNlogba（10）推论logamb
（11）logaN=nlogab（a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0）.m1（12）常用对数：
lgN=log10N（13）自然对数：
lnA=logeAlogNa
（其中e=2.71828„）2、对数函数y=logax（a>0且a≠1）的性质：
（1）定义域：
（0,+∞）；值域：
R
（2）图象过定点（1，0）
六、幂函数y=xa的图象:
（1）根据a
例如：
y=x
y2xxy1
21x1x
七.图象平移：
若将函数yf（x）的图象右移a、上移b个单位，
得到函数yf（xa）b的图象；规律：
左加右减，上加下减
八.平均增长率的问题
2
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有yN1（p）x.九、函数的零点：
1.定义：
对于yf（x），把使f（x）0的X叫yf（x）的零点。
即yf（x）的图象与X轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理：
如果函数yf（x）在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并有f（a）f（b）0，那么yf（x）在区间a,b则重复
（2）到（4）
必修2：
一、直线与圆1、斜率的计算公式：
k=tanα=
y2y1
（α≠90°，x1≠x2）
x2x1
2、直线的方程
（1）斜截式y=kx+b,k存在；
（2）点斜式y–y0=k（x–x0），k存在；（3）两点式
yy1xx1xy
（x1x2,y1y2）；4）截距式1（a0,b0）
aby2y1x2x1
（5）一般式AxByc0（A,B不同时为0）
4、两点间距离公式：
设P1（x1,y1）、P2（x2,y2），则|P1P2|=5、点P（x0,y0）到直线l：
Ax+By+C=0的距离：
dx1x22y1y22
2
2
Ax0By0CAB
3
222
点P（x0,y0）与圆（xa）（yb）r的位置关系有三种若d
则dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆
（一）、线线平行判定定理：
1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2、垂直于同一平面的两直线平行。
3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（二）、线面平行判定定理
1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。
（三）、面面平行判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（四）、线线垂直判定定理：
若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
（五）、线面垂直判定定理
1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
（六）、面面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
4
（七）．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.
（八）．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.
（九）．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.
（十）．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；（3）利用三垂线定理或逆定理；
（十一）．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与面作PO⊥底面ABC于O，则O为△ABC的中心，PO为棱锥的高，
取AB的中点D，连结PD、CD，则PD为三棱锥的斜高，CD为△ABC的AB边上的高，且点O在CD上。
∴△POD和△POC都是直角三角形，且∠POD=∠POC=90°
（二）、正四棱锥的性质
B
E
A
2、正四棱锥的辅助线作法一般是：
作PO⊥底面ABCD于O，则O为正方形ABCD的中心，PO为棱锥的高，取AB的中点E，连结PE、OE、OA，则PE为四棱锥的斜高，点O在AC上。
∴△POE和△POA都是直角三角形，且∠POE=∠POA=90°
（三）、长方体
长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。
特殊地，若正方体的棱长为a，则这个正方体的一条对角线长为3a。
5
（四）、正方体与球
1、设正方体的棱长为a，它的外接球半径为R1，它的V球=πR3（其中R为球的半径）3、“长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是画图和读图的重要依据.
画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。
必修3:
第一章算法初步
1、算法概念：
在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
6
2、构成程序框的图形符号及其作用
4、
（1）、辗转相除法：
用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数。
（2）、更相减损术。
以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。
继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
（3）进位制①以k为基数的k进制换算为十进制：
anan1...a1a0（k）ankan1k
n
n1
a1k1a0k0
②十进制换算为k进制：
除以k取余，倒序排列
第二章统计1．总体和样本：
在统计学中,把研究对象的全体叫做总体．
把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．
为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：
研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．
2、简单随机抽样，也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点是：
每个样本单位被抽中的可能性相同。
（总体个数较少）3、简单随机抽样常用的方法：
（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；
4、系统抽样（等距抽样）：
把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
（总体个数较多）
K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）
5、分层抽样：
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类
7
，，，
型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系统抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
（总体中差异明显）6、总体分布的估计：
⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势注：
总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数重复写。
7、用样本的数字特征估计总体的数字特征（s
为标准差）
x1x2xn
（1）、平均值：
x
（2）、sn8、两个变量的线性相关
（1）、概念:
（1）回归直线方程：
yabx
（2）回归系数：
bi1
nxiyinxy
i1nxnx2i2，aybx
（3）．应用直线回归时注意：
回归分析前,最好先作出散点图；
第三章概率
一、概念1、事件：
试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；
（1）必然事件：
在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：
在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）随机事件：
在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
2、古典概型：
⑴基本事件：
一次试验中可能出现的每一个基本结果；
⑵古典概型的特点：
基本事件可列举；每个基本事件都是等可能发生
⑶概率计算公式：
一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率p（A）m4、若A∩B=ф，即不可能同时发生的两个事件，那么称事件A与事件B互斥；
5、若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，即不能同时发生且必有一个发生的两个事件，
那么称事件A与事件B互为对立事件；
二、概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P（A）≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：
P（A∪B）=P（A）+P（B）；
8
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，于是有P（A）=1—P（B）；
4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，具体包括三种不同的情形：
（1）事件A发生且事件B不发生；
（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；
（1）事件A发生B不发生；
（2）事件B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形。
必修4一、三角函数与三角恒等变换
2、同角三角函数公式sin2α+cos2α=1tantanαcotα=1
cos
3、二倍角的三角函数公式
sin2α=2sinαcosαcos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2α
tan2
2tan
2
1tan
2
4、降幂公式cos
1cos21cos22
sin22
5、升幂公式1±sin2α=（sinα±cosα）21+cos2α=2cos2α1-cos2α=2sin2α
6、两角和差的三角函数公式
sin（α±β）=sinαcosβ土cosαsinβcos（α±β）=cosαcosβ干sinαsinβ
9
tantantan1tantan
7、两角和差正切公式的变形：
tanα±tanβ=tan（α±β）（1干tanαtanβ）
1tantan45tan1tantan45tan==tan（+α）==tan（-α）1tan1tan45tan1tan1tan45tan44
8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）
asinbcosa2b2sin（其中tan
9、半角公式：
sinb）a
2coscosco222
1cossin1cos1cos1cossintan
2
10、三角函数的诱导公式“奇变偶不变，符号看象限。
”
sin（π－α）=sinα，cos（π－α）=－cosα，tan（π－α）=－tanα；sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαsin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanα
sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanα－α）=cosαcos（－α）=sinαtan（－α）=cotα222
sin（+α）=cosαcos（+α）=－sinαtan（+α）=－cotα222sin（
11.三角函数的周期公式
函数ysin（x），x∈R及函数ycos（x），x∈R（A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T2
；函数ytan（x），xk
2,kZ（A,ω,为常数，且A
≠0，ω＞0）的周期T.
二、平面向量
（一）、向量的有关概念
1、向量的模计算公式：
（1）向量法：
|
|=；
22
（2）坐标法：
设=（x，y），则||=xy2、单位向量的计算公式：
xy
（1）与向量=（x，y）同向的单位向量是,22x2y2xy；
10
（2）与向量a=（x，y）反向的单位向量是xy
22,；xyx2y2
3、平行向量规定：
零向量与任一向量平行。
设=（x1，y1），=（x2，y2），λ为实数向量法：
∥（≠）<=>=λ坐标法：
∥（≠）<=>xx
1y2–x2y1=0<=>1x2
yy（y1≠0，y2≠0）
12
4、垂直向量规定：
零向量与任一向量垂直。
设=（x1，y1），=（x2，y2）向量法：
⊥<=>²=0坐标法：
⊥<=>x1x2+y1y2=0
5.平面两点间的距离公式
d
A,B=|AB|
（x1,y1），B（x2,y2））.
（二）、向量的加法
（1）向量法：
三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形法则（起点相同连对角）
（2）坐标法：
设=（x1，y1），=（x2，y2），则+=（x1+x2，y1+y2）
（三）、向量的减法
（1）向量法：
三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量）
（2）坐标法：
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a-b=（x1-x2，y1-y2）
（3）、重要结论：
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
（四）、两个向量的夹角计算公式：
（1）向量法：
cos=
（2）坐标法：
设=（x1，y1），=（x2，y2），则cos=x1x2y1y2
x2y222
11x2y2
（五）、平面向量的数量积计算公式：
（1）向量法：
a²b=|a||b|cos
（2）坐标法：
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a²b=x1x2+y1y2
（3）a²b的几何意义：
数量积a²b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
（六）.1、实数与向量的积的运算律：
设λ、μ为实数，那么
（1）结合律：
λ（μa）=（λμ）a;
（2）第一分配律：
（λ+μ）a=λa+μa;
（3）第二分配律：
λ（a+b）=λa+λb.
2.向量的数量积的运算律：
（1）a²b=b²a（交换律）;
（2）（a）²b=（a²b）=a²b=a²（b）;（3）（a+b）²c=a²c+b²c.11
3.平面向量基本定理：
如果e1、e2是同一平面标是G（x1x2x3y1y2y3,）33
必修5一、解三角形：
ΔABC的六个元素A,B,C,a,b,c满足下列关系：
1、角的关系：
A+B+C=π，
特殊地，若ΔABC的三分体型a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
（2）余弦定理：
a2=b2+c2–2bc•cosA,b2=a2+c2–2ac•cosB,
c2=a2+b2–2ab•cosC
b2c2a2a2c2b2a2b2c2
cosA,cosB,cosC2bc2ac2ab
5、面积公式：
S=1111ah=absinC=bcsinA=acsinB2222
二、数列
（一）、等差数列{an}
1、通项公式：
an=a1+（n–1）d，推广：
an=am+（n–m）d（m,n∈N）
2、前n项和公式：
Sn=na1+n（a1an）1n（n–1）d=22
3、等差数列的主要性质
①若m+n=2p，则am+an=2ap（等差中项）（m,n∈N）
②若m+n=p+q，则am+an=ap+aq（m,n,p,q∈N）
③Sn,S2n--Sn,S3n–S2n组成等差数列，公差为nd。
（二）、等比数列{an}1、通项公式：
an=a1qn–1，推广：
an=amqn–m（m,n∈N）
2、等比数列的前n项和公式：
a1（1qn）a1anq当q≠1时，Sn==，当q=1时，Sn=na11q1q
3、等比数列的主要性质
①若m+n=2p，则ap2=am•an（等比中项）（m,n∈N）
②若m+n=p+q，则am•an=ap•aq（m,n,p,q∈N）
③Sn,S2n--Sn,S3n–S2n组成等比数列，公比为qn。
（三）、一般数列{an}的通项公式：
记Sn=a+a+„+a，则恒有12n
12
n1S1anSnSn1n2,nN
三、不等式
（一）、均值定理及其变式
（1）a,b∈R,a2+b2≥2ab
ab
（2）a,b∈R,a+b≥2ab（3）a,b∈R,ab≤2++2
ab（4）112ab2a2b2，以上当且仅当a=b时取“=”号。
2
（二）.一元二次不等式ax2bxc0（或0）（a0,b24ac0），如果a与ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.简言之：
同号两根之外，异号两根之间.设x1x2
（xx1）（xx2）0x1xx2；（xx1）（xx2）0xx1,或xx2
（三）.含有绝对值的不等式：
当a>0时，有
xax2aaxa.xax2a2xa或xa.2
（四）.指数不等式与对数不等式
（1）当a1时,af（x）ag（x）f（x）g（x）;
f（x）0logaf（x
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