整数规划讲课教案.docx
《整数规划讲课教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《整数规划讲课教案.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
整数规划讲课教案
整数规划
若某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油。
使总的钻探费用为最小。
若10个井位的代号为S1,S2．…，S10相应的钻探费用为C1,C2,…C10，并且井位选择要满足下列限制条件：
（1）在s1，s2，S4中至多只能选择两个；
（2）在S5，s6中至少选择一个；（3）在s3，s6，S7，S8中至少选择两个。
试建立这个问题的整数规划模型
解：
设xj（j=1,…,10）为钻井队在第i个井位探油
minZ=
背包问题：
一个登山队员，他需要携带的物品有：
食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。
每种物品的重量合重要性系数如表所示。
设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携带的物品。
序号
1
2
3
4
5
6
7
物品
食品
氧气
冰镐
绳索
帐篷
照相器材
通信设备
重量/Kg
5
5
2
6
12
2
4
重要性系数
20
15
18
14
8
4
10
解：
引入0—1变量xi,xi=1表示应携带物品i，,xi=0表示不应携带物品I
集合覆盖和布点问题
某市消防队布点问题。
该市共有6个区，每个区都可以建消防站，市政府希望设置的消防站最少，但必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在15min内赶到现场。
据实地测定，各区之间消防车行驶的时间见表，请制定一个布点最少的计划。
地区1
地区2
地区3
地区4
地区5
地区6
地区1
地区2
地区3
地区4
地区5
地区6
0
10
16
28
27
20
10
0
24
32
17
10
16
24
0
12
27
21
28
32
12
0
15
25
27
17
27
15
0
14
20
10
21
25
14
0
解：
引入0—1变量xi,xi=1表示在该区设消防站，,xi=0表示不设
解得：
X*=（0,1,0,1,0,0）’Z*=2
某公司现有5个项目被列入投资计划，各项目的投资额和期望的投资收益如下表所示：
项目编号
投资额（万元）
投资收益（万元）
1
2
3
4
5
210
300
100
130
260
150
210
60
80
180
该公司只有600万元资金可用于投资，由于技术上的原因，投资受到以下条件的约束：
（1）在项目1、2和3中必须有一项被选中，
（2）项目3和项目4只能选中一项，（3）项目5被选中的前提是项目1必须被选中。
试就这一问题建立运筹学研究模型。
5.2某市为方便学生上学，拟在新建的居民小区增设若干所小学。
已知备选校址代号及其能覆盖的居民小区编号如表5–2所示，问为覆盖所有小区至少应建多少所小学，要求建模并求解。
表5–12
备选校址代号
覆盖的居民小区编号
A
1，5，7
B
1，2，5
C
1，3，5
D
2，4，5
E
3，6，
F
4，6，
5.3一货船，有效载重量为24吨，可运输货物重量及运费收入如表5-13所示，现货物2、4中优先运2，货物1、5不能混装，试建立运费收入最多的运输方案。
表5-13
货物
1
2
3
4
5
6
重量（吨）
5
9
8
7
10
23
收入（万元）
1
4
4
3
5
7
5.11运筹学中著名的旅行商贩（货朗担）问题可以叙述如下：
某旅行商贩从某一城市出发，到其他几个城市推销商品，规定每个城市均需到达且只到达一次，然后回到原出发城市。
已知城市i和城市j之间的距离为dij问商贩应选择一条什么样的路线顺序旅行，使总的旅程最短。
试对此问题建立整数规划模型。
有一组物品S，共有9件，其中第i件重
，价值
，从S中取出一些物品出来装背包，使总价值最大，而不超过总重量的给定上限30kg。
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
（kg）
2
1
1
2.5
10
6
5
4
3
（元）
10
45
30
100
150
90
200
180
300
工程上马的决策问题
某部门三年内有四项工程可以考虑上马，每项工程的期望收益和年度费用（千元）如下表所示：
假定每一项已选定的工程要在三年内完成，是确定应该上马哪些工程，方能使该部门可能的期望收益最大。
工程
费用
期望收益
第1年
第2年
第3年
1
518
4710
392
8610
20
40
20
30
2
3
4
可用资金
18
22
24
为解决污水对河流的污染问题，某城市拟建污水处理站，备选的站址有A、B、C三个，其投资等技术经济参数如下表：
投资（万元）
处理能力（万吨∕年）
水处理成本（元∕万吨）
水处理指标（吨∕万吨）
污染物1
污染物2
A
500
800
500
80
60
B
400
500
800
50
40
C
300
400
1000
40
50
按环保部门的要求，每年至少要从污水中清除8万吨的污染物1和6万吨的污染物2，构建一个整数规划模型，在满足环保要求的前提下使投资和运行费用最少。
为解决污水对河流的污染问题，某城市拟建污水处理站，备选的站址有A、B、C三个，其投资等技术经济参数如下表：
投资（万元）
处理能力（万吨∕年）
水处理成本（元∕万吨）
水处理指标（吨∕万吨）
污染物1
污染物2
A
500
800
500
80
60
B
400
500
800
50
40
C
300
400
1000
40
50
按环保部门的要求，每年至少要从污水中清除8万吨的污染物1和6万吨的污染物2，构建一个整数规划模型，在满足环保要求的前提下使投资和运行费用最少。
第五章整数规划习题
5.1考虑下列数学模型
且满足约束条件
（1）或
，或
；
（2）下列各不等式至少有一个成立：
（3）
或5或10
（4）
，
其中
=
将此问题归结为混合整数规划的模型。
解：
5.2试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题
解：
令
故有
，又
，
分别与
，
等价，因此题中模型可转换为
5.3某科学实验卫星拟从下列仪器装置中选若干件装上。
有关数据资料见表5-1
表5-1
仪器装置代号
体积
重量
实验中的价值
A1
A2
A3
A4
A5
A6
v1
v2
v3
v4
v5
v6
w1
w2
w3
w4
w5
w6
c1
c2
c3
c4
c5
c6
要求：
（1）装入卫星的仪器装置总体积不超过V，总质量不超过W；
（2）A1与A3中最多安装一件；（3）A2与A4中至少安装一件；（4）A5同A6或者都安上，或者都不安。
总的目的是装上取的仪器装置使该科学卫星发挥最大的实验价值。
试建立这个问题的数学模型。
解：
5.4某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探费用最小。
若10个井位的代号为s1，s2,…s10,相应的钻探费用为c1，c2,…,c10,并且井位选择上要满足下列限制条件：
（1）或选择s1和s7，或选择钻探s8；
（2）选择了s3或s4就不能选择s5，或反过来也一样；
（3）在s5,s6,s7,s8,中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型。
解：
5.5用割平面法求解下列整数规划问题
（a）
（b）
（c）
（d）
解：
（a）不考虑整数约束，用单纯形法求解相应线性给华问题得最终单纯形表，见表5A-1。
表5A-1
x1
x2
x3
x4
x27/2
x19/2
0
1
1
0
7/22
-1/22
1/22
3/22
cj-zj
0
0
-28/11
-15/11
从表中第1行得
由此
即
将此约束加上，并用对偶单纯形法求解得表5A-2。
表5A-2
x1
x2
x3
x4
s1
x27/2
x19/2
s1-1/2
0
1
0
1
0
0
7/22
-1/22
[-7/22]
1/22
3/22
-1/22
0
0
1
cj-zj
0
0
-28/11
-15/11
0
x23
x132/7
x311/7
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1/7
1/7
1
-1/7
-22/7
cj-zj
0
0
0
-1
-8
由表5A-2的x行可写出
又得到一个新的约束
再将此约束加上，并用对偶单纯形法求解得表5A-3。
表5A-3
x1
x2
x3
x4
s1
s2
x23
x132/7
x311/7
s2-4/7
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1/7
1/7
[-1/7]
1
-1/7
-22/7
-6/7
0
0
0
1
cj-zj
0
0
0
-1
-8
0
x23
x14
x31
x44
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
-1
-4
6
0
1
1
-7
cj-zj
0
0
0
0
-2
-7
因此本题最优解为x1=4，x2=3，z=55
（b）本题最优解为x1=2，x2=1，z=13
（c）本题最优解为x1=2，x2=1，x3=6，z=26
（d）本题最优解为x1=2，x2=3，z=34
5.6分配甲、乙、丙、丁四个人去完成五项任务。
每人完成各项任务时间如表5-2所。
由于任务数多于人数，故规定其中有一个人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项。
试确定总花费时间为最少的指派方案。
表5-2
任务
人
A
B
C
D
E
甲
乙
丙
丁
25
39
34
24
29
38
27
42
31
26
28
36
42
20
40
23
37
33
32
45
解：
加工假设的第五个人是戊，他完成各项工作时间去甲、乙、丙、丁中最小者，构造表为5A-4
表5A-4
任务
人
A
B
C
D
E
甲
乙
丙
丁
戊
25
39
34
24
24
29
38
27
42
27
31
26
28
36
26
42
20
40
23
20
37
33
32
45
32
对表5A-4再用匈牙利法求解，得最优分配方案为甲-B，乙-D和C，丙-E，丁-A，总计需要131小时。
5.7某航空公司经营A，B，C三个城市之间的航线，这些航线每天班机起飞与到达时间如表5-3所示。
表5-3
航班号
起飞城市
起飞时间
到达城市
到达时间
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
A
A
A
A
A
B
B
B
C
C
B
B
C
C
9：
00
10：
00
15：
00
20：
00
22：
00
4：
00
11：
00
15：
00
7：
00
15：
00
13：
00
18：
00
15：
00
7：
00
B
B
B
C
C
A
A
A
A
A
C
C
B
B
12：
00
13：
00
18：
00
24：
00
2：
00
7：
00
14：
00
18：
00
11：
00
19：
00
18：
00
23：
00
20：
00
12：
00
设飞机在机场停留的损失费用大致与停留时间的平方成正比，又每架飞机从降落到下班起飞至少需要2小时准备时间，试决定一个使停留费用损失为最小的飞行方案。
解：
把从某城市起飞的飞机当作要完成的任务，到达的飞机看作分配去完成任务的人。
只要飞机到达后两个小时，即可分配去完成起飞的任务。
这样可以分别对城市A，B，C各列出一个指派问题。
各指派问题效率矩阵的数字为飞机停留的损失的费用。
设飞机在机场停留一小时损失为a元，则停留2小时损失为4a元，停留3小时损失为9a，依次类推。
对A，B，C三个城市建立的指派问题得效率矩阵分别见表5A-6，表5A-7，表5A-8。
表5A-5城市A
起飞
到达
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
4a
361a
225a
484a
196a
9a
400a
256a
529a
225a
64a
625a
441a
16a
400a
169a
36a
4a
81a
625a
225a
64a
16a
121a
9a
表5A-6城市B
起飞
到达
106
107
108
111
112
101
102
103
113
114
256a
225a
100a
64a
256a
529a
484a
289a
225a
529a
9a
4a
441a
361a
9a
625a
576a
361a
289a
625a
36a
25a
576a
484a
36a
表5A-7城市C
起飞
到达
109
110
113
114
104
105
111
112
49a
25a
169a
64a
225a
169a
441a
256a
225a
169a
441a
256a
49a
25a
169a
64a
对上述指派问题用匈牙利法求解，即可得到一个使停留费用损失最小的方案。
5-8需制造2000件的某种产品，这种产品可利用A，B，C设备的任意一种加工，已知每种设备的生产准备结束费用，生产该产品时的单件成本，以及每种设备的最大加工量如表5-4所示，试对此问题建立整数规划模型并求解。
表5-4
设备
准备结束费（元）
生产成本（元/件）
最大加工数（件）
A
B
C
100
300
200
10
2
5
600
800
1200
设x为在第j台设备上生产的产品数，j=A，B，C，则问题的数学模型可表为：
最优解为x1=0，x2=800，x3=1200，z=8100
5-9运筹学中著名的旅行商贩（货郎担）问题可以叙述如下：
某旅行商贩从某一城市出发，到其它几个城市去推销商品，规定每个城市均须到达而且只到达一次，然后回到原出发城市。
已知城市i和城市j之间的距离为dij，问该商贩应选择一条什么样的路线顺序旅行，使总的旅程为最短。
试对此问题建立整数规划模型。
解：
设
由此可写出其整数规划模型为
5.10有三个不同产品要在三台机床上加工，每个产品必须首先在机床1上加工，然后依次在机床2，3上加工。
在每台机床上加工三个产品的顺序应保持一样，假定用tij表示在第j机床上加工第i个产品的时间，问应如何安排，使三个产品总的加工周期为最短。
试建立这个问题的数学模型。
解：
用xij表示第i中产品在j机床上开始加工的时刻，则问题的数学模型可表示为：
5.11某电子系统由三种元件组成，为使系统正常运转，每个元件都必须工作良好。
如一个或多个元件安装几个备用件将提高系统的可靠性。
已知系统运转可靠性为各元件可靠性的乘积，而每一元件的可靠性则是备用件数量的函数，具体数值见表5-5。
表5-5
备用件数
元件可靠性
1
2
3
0
1
2
3
4
5
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.6
0.75
0.95
1.0
1.0
1.0
0.7
0.9
1.0
1.0
1.0
1.0
又三种元件分别的价格和重量如表5-6所示。
已知全部备用件的费用预算限制为150元，重量限制为20千克，问每个元件各安装多少备用件（每个元件备用件不得超过5个），是系统可靠性为最大。
试列出这个问题的整数规划模型。
表5-6
元件
每件价格（元）
重量（千克/件）
1
2
3
20
30
40
2
4
6
解：
用x,x,x分别表示1，2，3三个元件安装的备用件数量。
根据题中条件及费用、重量的限制，元件1的备件最多安装5个，元件2备件最多5个，元件3的备件最多安装3个。
故问题的数学模型可表示为：
5.12用你认为合适的方法求解下述问题：
解：
将问题改写为
求解得x1=0,x2=0,x3=10,y=1,z=50
5.13下述线性规划问题
说明能否用先求解相应的线性规划问题然后凑整的办法来求得该整数规划的一个可行解。
解：
当不考虑整数约束，求解相应线性规划得最优解为x1=10/3,x2=x3=0。
用凑整法时令x1=3,x2=x3=0,其中第2个约束无法满足，故不可行。
5.14某市为方便学生上学，拟在新建的居民小区增设若干所小学。
已知备选校址代号及其能覆盖的居民小区编号如表5-7所示，问为覆盖所有小区至少应建多少所小学，要求建模并求解。
表5-7
备选校址代号
覆盖的居民小区编号
A
B
C
D
E
F
1,5,7
1,2,5
1,3,5
2,4,5
3,6
4,6
解：
令
答案为在A，D，E三个备选校址建校。
5.15已知下列五名运动员各种姿势的游泳成绩（各为50米）如表5-8所示，试问如何从中选拔一个参加200米混合泳的接力队，使语气比赛成绩为最好。
表5-8单位：
秒
赵
钱
张
王
周
仰泳
蛙泳
蝶泳
自由泳
37.7
43.4
33.3
29.2
32.9
33.1
28.5
26.4
33.8
42.2
38.9
29.6
37.0
34.7
30.4
28.5
35.4
41.8
33.6
31.1
解：
由下列运动员组成混合接力队：
张游仰泳，王游蛙泳，钱游蝶泳，赵游自由泳，预期总成绩为126.2秒。
5-16用匈牙利法求解下述指派问题，已知效率矩阵分别如下：
（a）
（b）
解：
（a）最优指派方案为x13=x22=x34=x41=1,最优值为48；
（b）最优指派方案为x15=x23=x32=x44=x51=1；最优值为21
5-17从甲、乙、丙、丁、戊五人中挑选四人去完成四项工作。
已知每人完成各项工作的时间如表5-9所示。
规定每项工作只能由一个人去单独完成，每个人最多承担一项任务。
又假定对甲必须保证分配一项任务，丁因某种原因决定不同意承担第4项任务。
在满足上述条件下，如何分配工作，使完成四项工作总的花费时间为最少。
表5-9
人
工作
甲
乙
丙
丁
戊
1
2
3
4
10
5
15
20
2
10
5
15
3
15
14
13
15
2
7
6
9
4
15
8
解：
先增加一种假想工作5，再据题中给的条件列出表5A-9
表5A-8
人
工作
甲
乙
丙
丁
戊
1
2
3
4
5
10
5
15
20
∞
2
10
5
15
0
3
15
14
13
0
15
2
7
∞
0
9
4
15
8
0
对表5A-9用匈牙利法求解得最优分配方案为：
甲-2，乙-3，丙-1，戊-4，对丁不分配工作。
5-18设有m个某种物资的生产点，其中第i个点（i=1，…，m）的产量为ai。
该种物资销往n个需求点，其中第j个需求点所需量为bj（j=1，…，n）。
已知
。
已知。
又知从各生产点往需求点发运时，均需经过p个中间编组站之一转运，若启用第k个中间编组站，不管转运量多少，均发生固定费用f，而第k个中间编组站转运最大容量限制为qk（k=1，…，p）。
用cik和ckj分别表示从i到k和从k到j的单位物资的运输费用，试确定一个使总费用为最小的该种物资的调运方案。
解：
设
则问题的数学模型可表述为：
某单位5个备选投资项目，其所需投资额度和预期收益如表：
项目
所需投资额（万元）
期望收益（万元）
A
6
10
B
4
8
C
2
7
D
4
6
E
5
9
1、.A、C、E之间必须选择一个，却仅需选择一项。
2、B、D之间需选择，也仅需选择一项。
3、C和D密切相关，C的实施必须以D的实施为前提
该单位有15万元现金，问如何投资使收益最大。
升级会员 