r
脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由
v＝
GM可知其运
r
行速度比原轨道时减小．
2
Mm
v
2．当卫星的速度突然减小时，G
，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运
r
2
>m
r
动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由
v＝
GM可知
r
其运行速度比原轨道时增大．
卫星的发射和回收就是利用这一原理．
例3在完成各项任务后，“神舟十号”飞船于
2013年6月26日回归地球．如图
2所示，
飞船在返回地面时，要在
P点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，
Q为轨道Ⅱ上的一点，
M为轨
道Ⅰ上的另一点，关于“神舟十号”的运动，下列说法中正确的有
（
）
图2
A．飞船在轨道Ⅱ上经过P的速度小于经过Q的速度
B．飞船在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过M的速度
C．飞船在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．飞船在轨道Ⅱ上经过P的加速度小于在轨道Ⅰ上经过M的加速度
-4-
5．[变轨中运行参量的比较]2013年12月2日，我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发
射中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图3所示，地面发射后奔向月球，在P点从圆形
轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q为轨道Ⅱ上的近月点．下列关于“嫦娥三号”的运动，正确的说法
是（）
图3
A．发射速度一定大于7.9km/s
B．在轨道Ⅱ上从P到Q的过程中速率不断增大
C．在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过P的速度
D．在轨道Ⅱ上经过P的加速度小于在轨道Ⅰ上经过P的加速度
6．[变轨中运行参量的比较]如图4所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的长征三号丙运载火箭在
西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入
距离月球表面100km、周期为118min的工作轨道，开始对月球进行探测，则（）
图4
A．卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小
B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时的大
C．卫星在轨道Ⅲ上运行周期比在轨道Ⅰ上短
D．卫星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅰ上长
考点四宇宙速度的理解与计算
1．第一宇宙速度又叫环绕速度．
2
GMm
推导过程为：
由
mg＝
mv1
得：
＝
R
2
R
v1＝
GM
＝gR＝7.9km/s.
R
2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．
-5-
3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．
注意
（1）两种周期——自转周期和公转周期的不同．
（2）两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度．
（3）两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同．
（4）第二宇宙速度（脱离速度）：
v2＝11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
（5）第三宇宙速度（逃逸速度）：
v3＝16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．
例4“伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年，行程37亿千米，终
于到达木星周围．此后在t秒内绕木星运行N圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星
大气层烧毁．设这N圈都是绕木星在同一个圆周上运行，其运行速率为v，探测器上的照相机
正对木星拍摄整个木星时的视角为θ（如图5所示），设木星为一球体．求：
图5
（1）木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径；
（2）木星的第一宇宙速度．
7．[第一宇宙速度的理解与计算]某人在一星球表面上以速度v0竖直上抛一物体，经过时间t
后物体落回手中．已知星球半径为R，那么沿星球表面将物体抛出，要使物体不再落回星球表
面，抛射速度至少为（）
v0t2v0Rv0Rv0
A.RB.tC.tD.Rt
8．[宇宙速度的理解与计算]2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一
号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火
箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的
1，火星的半径约为地球半径的
1
9
2.下列关于
火星探测器的说法中正确的是（）
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的
2
3
考点五
双星或多星模型
-6-
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图6所示，双星系统模型
有以下特点：
图6
（1）各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
Gm1m2
2
Gm1m2
2
L
2
＝m1ω1r1，
L
2
＝m2ω2r2
（2）两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2
（3）两颗星的半径与它们之间的距离关系为：
r1＋r2＝L
（4）两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即m1＝r2m2r1
3
（5）双星的运动周期
T＝2π
L
Gm1＋m2
2
3
（6）双星的总质量公式
m1＋m2＝
4πL
2
TG
例5宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为
双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统
A、B绕其连线上的O
点做匀速圆周运动，如图
7所示．若AO>OB，则（）
图7
A．星球A的质量一定大于星球B的质量
B．星球A的线速度一定大于星球B的线速度
C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大
D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
（选做）9．[双星模型]（2013·山东·20）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，
分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，
两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经
过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆
周运动的周期为（）
33
nn
A.k2TB.kT
-7-
n2n
C.kTD.kT
（选做）10．[多星模型]宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，
通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，
四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于四星系统，下列
说法正确的是（）
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
a
B．四颗星的轨道半径均为2
Gm
C．四颗星表面的重力加速度均为R2
D．四颗星的周期均为2πa
2a
4＋2Gm
万有引力与航天--例题-答案
-8-
Gm地m0
2
例1解析对地球表面的一个物体
m0来说，应有
m0g＝
，所以地球质量
m地＝gR，选
R
2
2
2
3
G
Gm太m地
项A正确．对地球绕太阳运动来说，有
4π
4πL
2
2
＝m地2
L2，则m太＝
2
，B项正确．对月
L2
T2
GT2
球绕地球运动来说，能求地球的质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星的运动参量，无
法求出它的质量和密度，C、D项错误．
答案AB
变式题组
1答案
D
2π2
Mm
2
3
2
解析
由G
R＋h2＝m（R＋h）（
T）
，解得月球的质量
M＝4π（R＋h）
/GT，代入数据得：
M＝
7.4×1022kg，选项D正确．
2答案
B
解析
Mm′
2，ρ＝M
＝
M，联立解得：
ρ＝
3g，
设星球的密度为ρ，由G
2＝m′g得GM＝gR
R
V
4πR3
4GπR
3
则：
ρ
＝4，g＝6代入上式，解得：
＝g·R0，将R
ρ
g0·RR0
g0
0
ρ3
ρ＝2，选项B正确．
0
例2答案A
解析
由万有引力提供向心力得
GM
，ω＝
GM
，T＝2π
r
3
r
增函数关系，故选
A.
变式题组
3答案A
4答案BD
Mm
2
2
GM
G
＝m
v
4π
r，变形得：
a＝
，v＝
2
＝mω2r＝ma＝m2
2
r3
r
r
T
r
，只有周期T和M成减函数关系，而
a、v、ω和M成
GM
解析天体运动的基本原理为万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆周运
2
2
GMm
动，即F万＝F向＝mv
＝
4πmr
.当卫星在地表运行时，
＝mg（R为地球半径），设同步
2
F万＝
R
2
r
T
mv2
卫星离地面高度为
h，则F
＝
GMm
2＝F
＝ma
C错误，D正确．由
GMm
万
R＋h
向
向
R＋h2＝
R＋h
GM
GM
GMm
2
3GMT2
得，v＝
<
，B
正确．由
2＝
4πmR＋h
R＋h
R
R＋h
2
，得R＋h＝
2，即h＝
T
4π
3GMT
2
－R，A
错误．
4π
2
例3解析由开普勒行星运动定律可知选项A正确；飞船在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，故飞
-9-
船经过P、M两点时的速率相等，由于飞船在
P点进入轨道
Ⅱ时相对于轨道Ⅰ做向心运动，
可知飞船在轨道Ⅱ上P点速度小于轨道Ⅰ上P点速度，故选项
B正确；根据开普勒第三定律
可知，飞船在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道
Ⅰ上运动的周期，选项
C错误；根据牛顿第二
定律可知，飞船在轨道
Ⅱ上经过P的加速度与在轨道Ⅰ上经过M的加速度大小相等，选项D
错误．
答案
AB
递进题组
5答案
ABC
解析
“嫦娥三号”探测器的发射速度一定大于
7.9km/s，A正确．在轨道Ⅱ上从P到Q的
过程中速率不断增大，选项
B正确．“嫦娥三号”从轨道Ⅰ上运动到轨道Ⅱ上要减速，故在
轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过P的速度，选项C正确．在轨道Ⅱ上经过P的加
速度等于在轨道Ⅰ上经过P的加速
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