学年苏教版必修一311分数指数幂学案.docx

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学年苏教版必修一311分数指数幂学案

3．1　指数函数

3．1.1　分数指数幂

学习目标　1.理解根式的概念及分数指数幂的含义（重、难点）；2.会进行根式与分数指数幂的互化（重点）；3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质（重点）．

预习教材P59－61，完成下面问题：

知识点一　n次方根，n次根式

一般地，有：

（1）n次实数方根

定义

一般地，如果一个实数x满足xn＝a（n＞1，n∈N*），那么称x为a的n次实数方根

性质及表示

n是奇数

正数的n次实数方根是一个正数

a的n次实数方根用符号表示

负数的n次实数方根是一个负数

n是偶数

正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数

正数a的正的n次实数方根用符号表示，正数a的负的n次实数方根用符号－表示，正的n次实数方根与负的n次实数方根可以合并成±（a＞0）的形式

负数没有偶次实数方根

0的n次实数方根是0，记作＝0

（2）根式

式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．

【预习评价】

思考　若x2＝3，这样的x有________个；它们叫做3的________，表示为________．

提示　这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±.

知识点二　根式的性质

一般地，有：

（1）＝0（n∈N*，且n＞1）；

（2）（）n＝a（n∈N*，且n＞1）；

（3）＝a（n为大于1的奇数）；

（4）＝|a|＝（n为大于1的偶数）．

【预习评价】

思考　我们已经知道，若x2＝3，则x＝±，那么（）2＝________，＝________，＝________.

提示　把x＝代入方程x2＝3，有（）2＝3；

＝，代表9的正的平方根即3.

＝＝3.

知识点三　分数指数幂

（1）规定正数的正分数指数幂的意义是：

＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）．

（2）规定正数的负分数指数幂的意义是：

＝（a＞0，m，n∈N*,且n＞1）．

（3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

【预习评价】

用分数指数幂表示下列各式（式中a＞0），

（1）＝________；

（2）＝________.

解析　

（1）＝

（2）＝

答案　

知识点四　有理数指数幂的运算性质

（1）aras＝ar＋s（a＞0，r，s∈Q）；

（2）（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；

（3）（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．

【预习评价】

思考　规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？

提示　由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，运算性质也适用．

题型一　根式的意义

【例1】　求使等式＝（3－a）成立的实数a的取值范围．

解　＝

＝|a－3|，

要使|a－3|＝（3－a），

需解得a∈[－3,3]．

规律方法　对于，当n为偶数时，要注意两点：

（1）只有a≥0才有意义；

（2）只要有意义，必不为负．

【训练1】　若＝a－1，求a的取值范围．

解　∵＝|a－1|＝a－1，

∴a－1≥0，∴a≥1.即a的取值范围为[1，＋∞）．

题型二　根式的运算

【例2】　求下列各式的值．

（1）；

（2）；（3）；

（4）－，x∈（－3,3）．

解　

（1）＝－2.

（2）＝＝.

（3）＝|3－π|＝π－3.

（4）原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，

当－3＜x≤1时，原式＝1－x－（x＋3）＝－2x－2.

当1＜x＜3时，原式＝x－1－（x＋3）＝－4.

因此，原式＝

规律方法　

（1）解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．

（2）开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件进行分类讨论．

【训练2】　化简下列各式．

（1）；

（2）；（3）.

解　

（1）＝－2.

（2）＝|－10|＝10.

（3）＝|a－b|＝

题型三　根式与分数指数幂的互化

【例3】　将下列根式化成分数指数幂形式．

（1）·；　

（2）；

（3）·；　（4）（）2·.

解　

（1）·＝

（2）原式＝

（3）原式＝

（4）原式＝

规律方法　在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：

，其中字母a要使式子有意义．

【训练3】　用分数指数幂表示下列各式：

（1）·（a＜0）；

（2）（a，b＞0）；

（3）（b＜0）；

（4）（x≠0）．

解　

（1）原式＝

＝（a＜0）．

题型四　分数指数幂的运算

【例4】　

（1）计算：

（2）化简：

解　

（1）原式＝－1＋（－2）－4＋（24）－0.75＋＝0.4－1－1＋＋＋0.1＝.

（2）原式＝＝＝a0＝1.

规律方法　指数幂的一般运算步骤是：

有括号先算括号里的，无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．

【训练4】　计算或化简：

（1）－10（－2）－1＋（－）0；

（2）

解　

（1）原式＝

＝－10（＋2）＋1

＝＋10－10－20＋1＝－.

互动

探究

　题型五　给值求值问题

【探究1】　已知a＞0，b＞0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．

解　方法一　∵a＞0，b＞0，又ab＝ba，

方法二　因为ab＝ba，b＝9a，

所以a9a＝（9a）a，即（a9）a＝（9a）a，

所以a9＝9a，a8＝9，a＝.

【探究2】　已知＝3，求下列各式的值．

（1）a＋a－1；

（2）a2＋a－2；（3）

解　

（1）将a＋a－＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，

即a＋a－1＝7.

（2）对

（1）中的式子平方，

得a2＋a－2＋2＝49，

即a2＋a－2＝47.

（3）

＝a＋a－1＋1＝8.

【探究3】　已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a＞b＞0，求的值．

解　∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，

∴∵a＞b＞0，∴＞.

2＝＝＝＝，

∴＝＝.

规律方法　给值求值问题，即带有附加条件的求值问题，一般不求出单个式子或未知数的值，而是利用整体思想，将所求的式子转化为已知的式子．

课堂达标

1.＋的值是________．

解析　当a－b≥0时，原式＝a－b＋a－b＝2（a－b）；

当a－b＜0时，原式＝b－a＋a－b＝0.

答案　0或2（a－b）

2．化简（2x>1）的结果是________．

解析　∵2x>1，∴1－2x<0.

∴＝|1－2x|＝2x－1.

答案　2x－1

3．化简的结果是________．

答案　－

4．已知10m＝2,10n＝3，则103m－n＝________.

解析　103m－n＝＝＝＝.

答案　

5．将下列根式化成分数指数幂的形式．

（1）（a＞0）；

（2）（x＞0）；

（3）（b＞0）．

解　

（1）原式＝

（2）原式＝

（3）原式＝

课堂小结

1．掌握两个公式：

（1）（）n＝a（n∈N*）；

（2）n为奇数且n∈N*，＝a，n为偶数且n∈N*，＝|a|＝

2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.