4一次方程组的应用.docx
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4一次方程组的应用
一次方程组的应用
一.本讲数学内容
列方程组解应用题
二．技能要求：
熟练掌握用二元、三元一次方程组解简单的应用题。
三．重要数学思想：
通过列方程组解应用题的训练，进一步领会方程的思想。
四．主要数学能力：
1．通过列二元或三元一次方程组解决应用问题的训练，学习把实际问题抽象成数学问题的方法，进一步培养分析问题和解次实际问题的能力。
2．通过将一些代数问题转化为方程组问题的方法的学习，培养运用转化思想去解决问题，发展思维能力。
五．列方程组解应用题的一般步骤是：
①审题：
弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么，题目中的数量关系，尤其是要弄清给出了哪些等量关系。
②设未知数：
一般有两种，设直接未知数（将题目中要求的未知数设为x,y），或间接未知数（与问题中要求的未知数相关的另一些未知数用x,y表示），看哪一种便于使用已知条件列出较简单的方程就选用哪一种。
③列方程：
根据已知条件中某些相等关系列出两个独立的二元一次方程而组成二元一次方程组。
④解这个方程组：
根据所列方程组的特点，选择适当的方法求得方程组的解。
⑤检验并作答：
根据应用题中，所设未知数的实际意义判断方程组的解是否符合题意，最后写出答案。
六.例题解析
第一阶梯
[例1]有10分和20分的两种邮票共16枚,总计价值2.50元,问10分和20分的邮票各多少枚？
提示：
通过情景1和2,我们可以很容易地就解决了这个问题.在情景3中的共有两个等量关系有：
10分的张数＋20分的张数＝16张;
10分×10分的张数＋20分×20分的张数＝250分.
参考答案：
解：
设10分的邮票有x枚,20分的邮票有y枚,根据题意,得
由②得：
x+2y=25.（3）
（3）－
（1）得：
y=9:
把y=9代入
（1）,得
所以：
答：
10分的邮票有7枚,20分邮票有9枚.
说明：
通过这3个情景的探索和解决,我们可以体会到学习用二元一次方程组解决问题的某些特征.首先,我们要找出题中的等量关系；
弄清问题中的等量关系之后,再根据实际需要设出未知数,列出方程组；然后求解出这个方程组,得出方程组的解；最后再找出实际问题的答案.
通过这个问题的解决,你是否有了一些关于用二元一次方程组解决问题的印象呢？
如果你认为你已经具有了这方面的能力,请思考下边的情景探索单元2.
[例2]运输一批共360吨的货物,需用6节火车皮和15辆汽车.每辆汽车和每节火车各运多少吨货物？
请用二元一次方程来表达这个数量关系.
提示：
①在这一个情景中,要求我们解决汽车与火车的平均运输能力问题,涉及到两个未知数,因此,我们可以用一个未知数x来表示平均每辆火车的运输的吨数,用另外一个未知数y来表示平均每辆汽车的运输的吨数.
②15×平均每辆汽车运输量＝汽车的总共的运输量.
6×平均每辆火车运输量＝火车的总共的运输量.
③等量关系为：
6×每节火车运输量＋15×每辆汽车运输量＝360吨.
参考答案：
设平均每节火车装x吨,平均每辆汽车装y吨.根据题意得：
6x+15y=360
说明：
对于这样的问题情景,我们在日常的生活中是随时可以遇到的.这种问题,我们总是可以把它用二元一次方程组来表示出来.与单元一中的情景1类似,我们只要搞清了情景中的各种数量关系,那么,解决这类问题就是一件十分容易的事了.通过此问题的解决,则否你认为你自己也能解决这样的问题了呢？
[例3]快车与慢车相距150千米,两车同时出发,相向而行,快车与慢车1.5小时相遇,用二元一次方程表示出题中所反映出的数量关系.
提示：
①在这个问题中,要我们求快车与慢车的速度,一共是要解决两个问题.因此我们可以利用二元一次方程来解决.同时,这是一个同时出发,同向而行的相遇问题.
②在行程问题中有一个很重要的数量关系：
路程＝速度×时间.
③这个问题中所反映的运动如下图所示：
④通过对这个图的分析,我们可以发现有如下的数量关系；
快车行走的路程＋慢车行走的路程＝150千米.
⑤如果说我们设快车速度为x千米／小时,慢车速度为y千米／小时,那么快车行走的路程是1.5x千米,
慢车行走的路程是1.5y千米.
参考答案：
设快车行走的速度是x千米／小时,慢车的速度是y千米／小时,由题意可得：
1.5x+1.5y=150.
说明：
对于这类行程问题,我们必须首先画出行程问题的行走路线图,同时,对于行程问题中的相遇问题来说,我们一般都是采用分路程之和等于总路程的长度.
第二阶梯
[例1]1997年,某省的文物馆举行文物展览,当天来参观的人非常多,在晚上清理时,发现丢失了一批珍贵的古代铜钱,公安局接到报警后,要求管理员提供丢失的铜钱的详细情况.管理员只记得丢失的铜钱总数是32枚,面值是5元和2元,原价总共是100元.请你帮助管理员推算出丢失的铜钱的各种面值的枚数的详细情况.
根据这个问题的材料,我们可以把这个实际问题转化成如下的一个数学问题：
问题：
有5元和2元的两种钱币共32枚,总计价值100元,问5元和2元的钱币多少枚？
提示：
①在这个问题要求我们解决面值为5元和2元的两种铜钱的枚数,共有两个未知数,因此,我们可以考虑用二元一次方程组来解决.
②题中的铜钱的总面值,即是面值为5元铜币的总钱数加上面值为2元的铜钱的总钱数,一共是100元.
③面值为5元的铜钱的总钱数＝5元×面值为5元的铜币的个数;面值为2元的铜钱的总钱数＝2元×面值为2元的铜币的个数.
④由此我们可以看出,只要我们知道了面值为5元的铜钱的枚数与面值为2地的铜钱的枚数,那么,这个问题中所有的量我们都可以用它们表示出来.因此我们可以直接设两种铜钱的枚数为未知数.
⑤题中的等量关系有：
5元的枚数＋2元的枚数＝32枚;
5元×元的枚数＋2×2元的枚数＝100元。
如果我们设面值为5元的铜钱有X枚,面值为2元的铜钱有y枚,那么根据这两个等量关系,我就可以列出一个二元一次方程组出来,然后,求解这个方程组,我就可以达到目的.
参考答案：
解：
设面值为5元的铜钱有x枚,面值为2元的铜钱有y枚,根据题意,得
答：
面值为5元的铜钱有12枚,面值为2元的铜钱有20枚.
说明：
通过这一个问题的解决,就可以体会到我们学习二元一次方程组的作用.要解决这样的问题,首先,我们要把这个问题转化成一个比较明确的数学问题,然后我们主要是找出题中的等量关系；分析完之后,我们再根据实际问题设出未知数,列出方程组；列出方程组之后,再求解这个方程组,就可以得出方程的解.
[例2]某县在一次人口普查中了解到，该县现有人口12万，按照科学计算，预计一年后城镇人口将增加.8%，农村人口将增加1.1%，这样全县人口将增加到12.12万，求该县现有的城镇人口与农村人口。
提示：
从题目中，我们可以看到：
这个题目稍显复杂，就是因为这要求两个未知数，即现在的城镇人口与农村人口，而这两个量间有什么样的关系呢？
不难分析到：
现有的城镇人口+现有的农村人口=12万，但在这样一个等式中，同时存在两个未知的量，并能求出唯一确定的解，那么你还要依赖题中其它的条件。
按照：
全县人口=城镇人口+农村人口。
这样一种关系，一年后的全县人口=一年后的城镇人口+一年后的农村人口，其关系式中的"一年后的城镇人口"与"一年后的农村人口"，都可以利用未知量"现有的城镇人口"与"现有的农村人口"表示出来，这样我们就能得到两个关于这两个未知量的相等关系，那么只要将它们联立，组成方程组，就可以求解了。
参考答案：
解：
设现有的城镇人口为x万，农村人口为y万，根据题意，得方程组
由
（2）得x+0.8%x+y+1.1%y=12.12
整理，得0.8%+1.1%=12.12-（xy）--------------------------（3）
将
（1）代入（3），得
0.8%x+1.1%y=12.12-12
0.8%x+1.1%y=0.12---------------------------------------（4）v
（4）-
（1）×0.8，得
0.3y=2.4
y=8
把y=8代入
（1），得x=4。
答案：
现有的城镇人口为4.3万，农村人口为8万。
说明：
本题也可以用一元一次方程来求解，比如：
设现有城镇人口为x万，则现有农村人口为12-x万根据题间，可以列出一元一次方程：
x（1+0.8%）+（12-x）（1+1.1%）=12.12
只要认真求解，仍然可以计算出x=4、12-x=8，那么，现在你就应该有这样一个思想：
能用一元一次方程求解的问题，一般情况下都能用算式求解：
能用二元一次方程组求解的问题，一般情况下也可以用一元一次方程求解，只不过计算起来稍显复杂，因此建议你当求两个未知量时，能用二元一次方程组求解，尽量要用方程组，不但训练你的动手解方程组能力，而且会培养你的观察、分析与审题能力。
特别是从题目中找出与所求知量有关的相等关系，是解应用题的关键，希望你能慢慢去摸索。
[例3]某工厂用浓度为30%的酒精与浓度为60%的酒精混合，制成了浓度为50%的酒精30千克，试问前两种酒精各使用了多少？
提示：
1.此题中叙述了这样一件事：
用一定量的浓度为30%的酒精和一定量的浓度为60%酒精混合成一种浓度为50%的酒精30千克，问要得到这30千克浓度为50%的酒精，需用浓度30%和60%的酒精各多少千克？
解决这一问题关键是要从问题中找出--混合前后哪些量改变了？
哪些量没变？
2.如果设两种酒精分别用了X千克，Y千克，则各量之间存在如下关系：
浓度为30%的酒精
浓度为60%的酒精
混合后浓度为50%的酒精
溶液
X
Y
30
浓度
30%
60%
50%
溶质（纯酒精）
X·30%
Y·60%
30·50%
由表中数据，我们可以清晰看出各基本量间的关系。
3.分析题意，从题目中找出两个相等式：
（1）两种溶液（酒精）的质量之和为30，即X+Y=30
（2）两种溶液中纯酒精之和等于混合后的溶液中的纯酒精数，即X·30%+Y·60%=30·50%
4.根据所得到的相等关系，我们就可以列方程组、解应用题了。
参考答案：
解：
设浓度为30%的酒精为X千克，浓度为60%的酒精为Y千克，根据题意得：
（2）×100，得30X+60Y=30×50
化简，得3X-6Y=150
（3）
（1）×3，得：
3Y=60
Y=20
将Y=20代0代入
（1），得：
X=10
所以，得
答：
需用浓度30%的酒精10千克，浓度60%的酒精20千克。
说明：
这道题是一个稍有难度的应用题，在研究关于浓度问题或与浓度相关的实际问题时，重要的是要审清题意，能够从题目中找出一个溶液变化前后始终没有发生变化的量，以该量在变化前后始终相等作为相等关系，根据浓度问题中的基本数量关系，即可列方程组求解。
第三阶梯
[例1]一只轮船顺流航行，每小时行20km；逆流航行，每小时行16km；求轮船在静水中的速度与水速。
提示：
你有没有这样的生活体验：
当你在齐腰深的河水中行走时，逆着水流走，感觉非常吃力，而且速度很慢，可当你顺流行走时，感觉又轻松、速度又快，那么你有没有想过，这是什么原因呢？
其实，道理很简单：
顺流时，你移动的速度是你本身的速度加上水推着你时水的速度；当然速度要比你本身速度快，而逆流时，你需要克服掉水的阻力，才能前进，也就是你移动的速度是你本身的速度减去水流的速度；船也同理；即在这里存在这样两个重要的关系式：
船顺流时航速=船在静水的速度+水速
船逆流时航速=船在静水的速度-水速
其中，船的静水速度，即指水不动时，船本身的速度。
参考答案：
解：
设轮船在静水中的速度是X千米每小时，水流速度为Y千米每小时，根据题意，可得：
解该方程组，
（1）+
（2），得：
2X=36 X=18
把X=18代入
（1），得：
即方程组解为
Y=2
答：
船在静水中速度为18千米每小时，水流速度为2千米每小时。
说明：
解答此类问题的关键就是要知道，航行问题中有这样一个基本关系：
船顺流时航速=船在静水的速度+水速
船逆流时航速=船在静水的速度-水速
而这里船的静水速度与水速正是本题目中所求，而列二元一次方程组求解，只需利用这两个相等关系分别列出两个方程即可；另外，在上面关系式的4个量中，只要知道其中任意两个，即可求出另外两个。
[例2]在等式y=ax2+bx+c，当x=1时，y=6；当x=2时，y=21；当x=-1时，y=0；求abc的值。
提示：
这是一个利用待定系数法求解的题目，其中ax2+bx+c是一个二次三项式，且a≠0，题中给出了自变量x的三个值1、2、-1，及和它们分别对应的y的值：
6、21、0；要求根据这样的条件，确定三个系数ab c的值。
这里可以看出：
每一个x的值，对应一个y的值，因此有三个条件；而待定的系数也有三个，可以列出一个三元一次方程组，以abc为三个未知数，通过求解该三元一次方程组，得出abc的值。
参考答案：
解：
根据题意，得：
（1）+（3），得：
2a+2c=6
即：
a+c=3…………………………（4）
（2）+2（3），得：
6a+3c=21
即：
2a+c=7…………（5）
（5）-（4），得a=-4
把a=-4代入（4），得：
c=-1
把a=-4，c=-1代入
（1），得：
b=3
于是得方程组的解为
答：
abc的值分别为4、3、-1。
说明：
到现在为止，你对于方程组的求解应该已不成问题，关键是如何将一些实际问题转化为方程组，得以解决。
就本题来看，在等式y=ax2+bx+c中，既然将abc分别看作关于xy的方程的系数，那么，题中给出的每一对xy的值，实际就是这个方程的一组解，因此一定满足这个方程，使等式成立。
这样，如将三组xy的值都代入原等式，就得到三个不同的abc的方程，联立起来，即得到一个三元一次方程组。
解该方程组，即可求得abc的值。
另外，当你对方程组的求解已非常熟练之后，解应用题中的求解方程组的过程就可省略。
如由
解方程组，得
这样也可以。
[例3]一个三位数，个位上的数字是十位上数字的2倍，十位上的数字比百位上的数字少7，如果把百位上的数字与个位上的数字交换，那么，所得的新的三位数比原来的三位数的
少33，求原来的三位数。
提示：
你还记得：
如何将一个数，利用它的每个数位上的数字的和表示出来吗？
比如，222怎么样表示？
如果你记得的话，应该这样：
222=2×100+2×10+2，所以在这道题中，如欲求原三位数，根据题目中所给的数量关系，只需设出该三位数每个数位上的数，那么，根据：
个位上的数字是十位上数字的2倍，能列出一个等式；根据：
十位上的数字比百位上的数字少7，又能列出一个等式；再根据"如果把百位上的数字与个位上的数字交换，那么，所得的新的三位数比原来的三位数的
少33，又可以得到一个等式。
其中，你一定要理解"数位"与"数字"的关系。
参考答案：
解：
设该三位数个位上数字为a，十位上数字为b，百位上数字为c，根据题意，
得：
由（3）整理，得：
199a+10b-98c=-66---------------------（4）
解方程组：
得：
所以，原来的三位数为924。
说明：
1、这道题，看上去比较复杂；其实，只要你抓住这样一个关键；任何一个数，都是由不同数位上的数字组成的，都能用数位上的数字表示出来，就能将这样一个三位数的问题转化为关于三个未知数的问题。
2、这道题，因为数位的数字间存在明显的数量关系，因此，完全可以列二元一次方程组求解；即：
"设十位上的数字为X，则个位上的数字为2X，设百位上的数字为Y，根据题意，即可列得二元一次方程组：
仍可求得原三位数为924。
3、注意题中这句话：
"把百位上的数字与个位上的数字交换"，你应深刻理解，例举如下：
原数234
432（新数）
注意：
其中十位上的数字没有发生变化，而整个三位数，变成了新的三位数。
七、典型例题分析
例1.甲、乙两人从相距36千米的两地同时相向出发，经过4小时30分钟相遇，如果乙先走2小时，然后甲再出发，这样甲经过3小时40分钟与乙相遇，求甲、乙两人的速度。
分析：
此题是行程问题中的相遇问题。
题中有两个未知量：
甲、乙两人的速度。
有两个等量关系：
（1）甲、乙二人4
小时所走的路程=36千米；
（2）甲3
小时所走的路程+乙（2+3
）小时走的路程=36千米。
解：
设甲、乙二人的速度分别为x千米/时，y千米/时。
根据题意，得
整理此方程组，得
解这个方程组，得
。
答：
甲、乙二人的速度分别为4
千米/时和3
千米/时。
例2．A、B两地相距3.3千米，分上坡、平路、下坡三段，小张自A地去B地，上坡时速度为3千米/时，平路为4千米/时，下坡为5千米/时，共用51分钟；反回时共用53.4分钟，问从A地到B地的上坡、平路、下坡的路程各是多少？
分析：
题中有三个未知量：
上坡、平路、下坡的路程，有三个等量关系：
（1）上坡+平路+下坡=3.3；
（2）去时：
上坡时间+平路时间+下坡时间=
；
（3）返回时：
上坡时间+平路时间+下坡时间=
。
设A到B时上坡、平路、下坡的路程为x千米、y千米、z千米。
去时：
上坡时间为
小时，平路为
小时，下坡为
小时；返回时：
上坡时间为
小时，平路为
小时，下坡为
小时，由上面的等量关系可列方程组。
解：
设从A地到B地的上坡、平路、下坡的路程分别为x千米，y千米，z千米。
根据题意，得
整理此方程组，得
解得
答：
从A地到B地的上坡、平路、下坡的路程分别为1.2千米、0.6千米、1.5千米。
说明：
列方程组解应用题时，设未知数要恰当，设几个未知数就要找几个等量关系。
一般情况下，题目问什么，就设什么，即采用直接设法。
例3．“严肃”中学初三·一班计划用勤工俭学收入的66元钱，同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲、乙、丙三种纪念品，奖励参加校“艺术节”活动的同学，已知购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件，而购买甲种纪念品的件数不少于10件，且购买甲种纪念品的费用不超过总费用一半。
若购买的甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，问可有几种购买方案，每种方案中购买的甲、乙、丙三种纪念品各多少件？
解：
设购买的甲、乙、丙三种纪念品的件数分别为x件，y件，z件。
根据题意，得
，
∴
，
∵x≥10且3x≤
∴10≤x≤11。
又∵x为整数，∴x=10或x=11。
当x=10时,y=10+2=12,z=62-5×10=12；
当x=11时，y=11+2=13,z=62-5×11=7。
∴可有两种购买方案。
答：
可有两种购买方案。
第一种方案：
购买甲种纪念品10件、乙种12件、丙种12件；第二种方案；购买甲种纪念品11件、乙种13件、丙种7件。
例4．某车间有工人30人，生产甲、乙、丙三种零件，每人每小时能生产零件甲30个，或零件乙25个，或零件丙20个，现用零件甲3个，零件乙5个，零件丙4个装配成某种机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件刚好配套？
分析：
题中有三个未知量——生产甲零件的人数，生产乙零件的人数，生产丙零件的人数。
有两个相等关系：
（1）生产甲零件的人数+生产乙零件的人数+生产丙零件的人数=30；
（2）每小时生产的甲零件个数：
乙零件个数：
丙零件个数=3：
5：
4。
设生产零件甲、零件乙、零件丙的人数为x人，y人，z人，所以每小时生产零件甲30x个、零件乙25y个、零件丙20z个，可由上面的等量关系列成方程组。
解：
设生产零件甲的有x人，零件乙有y人，零件丙有z人，根据题意，得
设30x=3k,25y=5k,20z=4k。
∴x=
k,y=
k,z=
k,代入
（1）得
k+
k+
k=30。
∴k=60。
∴x=6,y=12,z=12。
答：
生产零件甲的有6人，生产零件乙的有12人，生产零件丙的有12人。
例5.某纸品厂加工甲、乙二种无盖的长方体小盒如图
（1），利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等，如图
（2）。
现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲、乙两种小盒各多少个？
解:
法
（一）
设可以制作甲种小盒x个，乙种小盒y个
根据题意列出方程组
解得：
答：
可以制作甲种小盒30个，乙种小盒60个。
解：
法
（二）
设制作甲种小盒用去x张正方形硬纸片，制作乙种小盒用去y张正方形硬纸片，那么可制作甲种小盒x个，乙种小盒
y
根据题意列出方程组：
解得：
答：
可以制作甲种小盒30个，乙种小盒60个。
测试
选择题
1．解方程组
如果要使运算简便，消元的方法应选（）。
A、先消去x B、先消去y C、先消去z D、以上说法都不对
2．甲乙粮仓共存粮食95吨，若运出甲仓的
，运出乙仓的0.4，则乙仓的余粮是甲仓余粮的2倍，问甲、乙二仓原各存粮多少吨（）。
A、甲45吨，乙50吨 B、甲50吨，乙45吨
C、甲40吨，乙55吨 D、以上答案都不对
3．某校初三年级有两个班，中考数学成绩优秀者共有65人；全年级的优秀率为65%，其中一班的优秀率为56%，二班的优秀率为68%；若设一、二班的人数各为x人和y人，则可得方程组为（）。
A、
B、
C、
D、
4．某校初一年级学生到礼堂开会，若每条长凳坐5人，则少10条长凳，若每条长凳坐6人，则又多余两条长凳。
若设学生人数为x，长凳数为y，由题意得方程组（ ）。
A、
B、
C、
D、
5．如果二元一次方程组
的解满足方程7x-5y=8,那么，m的值是（）。
A、
B、-1 C、-2 D、
答案：
1
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