1959年至历届imo试题.docx
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1959年至历届imo试题
第一届（1959年）
罗马尼亚布拉索夫（Bra?
ov,Romanisj）
21n4
1.求证14n3对每个自然数n都是最简分数。
（波兰）
2.设x2x1x'2x1A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解:
a）A2；b）A=1;c）A=2。
（罗马尼亚）
3.a、b、c都是实数，已知关于cosx的二次方程
acos2xbcosxc0
试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。
当
a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。
（匈牙利）
4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c,斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
（匈牙利）
5.在线段AB上任意选取一点M在AB的同一侧分别以外接圆的圆心分别是P、Q设这两个外接圆又交于M、
a）求证：
AFBC相交于N点；
b）求证：
不论点M如何选取，直线MN都通过定点S；
c）当M在A与B之间变动时，求线段PQ的中点的轨迹。
6.两个平面P、Q的公共边为p，A为P上给定一点，
AMMB为底作正方形AMCDMBEF这两个正方形的
（罗马尼亚）
C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。
试作
等腰梯形ABC（AB平行于CD，使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。
（捷克斯洛伐
克）
第二届（1960年）
罗马尼亚锡纳亚（Sinaia，Romania）
1.找出所有具有下列性质的三位数N：
N能被11整除且商等于N的各位数字的平方和。
（保加利亚）
2.寻找使下式成立的实数X:
（匈牙利）
4x2
2
1、12x
2x9
3.
直角三角形ABC的斜边BC的长为a,将它分成n等份（n为奇数），令a为从A点向中间的那一小段线段
所张的锐角，从A到BC边的高长为h,求证：
（罗马尼亚）
丄4nh
tann21a
4.已知从AB两点引出的高线长ha、hh以及从A引出的中线长m,求作三角形ABC（匈牙利）
5.正方体ABCD-A'BCD'（上底面ABCD下底面A'B'C'D'）。
X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一
点。
a）求XY中点的轨迹；
b）求a）中轨迹上的、并且还满足ZY=2XZ的点Z的轨迹。
（捷克斯洛伐克）
6.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。
令Vi为圆锥的体积，
V2为圆柱的体积。
a）求证：
Vi不等于Va；
b）设Vi=kVa，求k的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角。
（民主德国）
7.一个等腰梯形的两底为a、c，高为ho
a）在这个等腰梯形的对称轴上，找到所有的点P,使以P为顶点，且经过梯形腰的两个端点的角为直角；
b）计算P点到两底的距离；
c）判断在什么情况下P点确实存在。
讨论各种情况。
（保加利亚）
第三届（1961年）
匈牙利维斯普雷姆（VeszprmHungary）
1.设a,b为常数，解方程组
xyza
x2y2z2b2，并给出a和b满足什么条件时才能使x、y、z为互不相同的正数。
（匈牙利）
2
xyz
2.设a、b、c为三角形的三条边，其面积为S。
证明a2b2c24.3S并说明何时取等号。
（波兰）
3.解方程cosnxsinnx1,n是自然数。
（保加利亚）
4.设P是三角形P1P2P3内一点。
直线P1P,F2P,P3P分别与其对边相交于Q,Q,Q3。
证明数字空，迟迟，-
PQ1PQ2PQ3
至少有一个不大于2,也至少有一个不小于2。
（民主德国）
5.作三角形ABC满足AC=bAB=c且/AMB&，其中M是线段BC的中点且3<90°。
证明：
当且仅当
（捷克斯洛伐克）
btan—cb时可作出此三角形，并说明何时等号成立。
2
6.三个不共线的点A、BC在平面&的同一侧；假设平面ABC不与平面&平行。
在平面&上任取三个点A、B'、C'。
设L、MN分别为线段AA，BB，CC的中点，G为三角形LMN勺重心（不考虑使L、MN不能构成三角形的情况）。
问：
当A'、B'、C各自变化时，G的轨迹是什么？
（罗马尼亚）
第四届（1962年）
捷克斯洛伐克捷克布杰约维采（？
esk©Bud习ovice,Czechoslovakia）
1.找出具有下列各性质的最小正整数n：
a）它的最后一位数字是6;
b）如果把最后的6去掉并放在最前面，所得到的数是原来数的4倍。
（波兰）
2.试找出满足下列不等式的所有实数x:
1
.3x.x1（匈牙利）
2
3.已知正方体ABCD-A'BCD'（ABCDA'B'C'D'分别是上下底）。
一点X沿着正方形ABCD勺边界以方向ABCDA
作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。
点X、Y在同一时刻分别从
点A、B'开始运动。
求线段XY的中点的轨迹。
（捷克斯洛伐克）
4.解方程cosx+cos2x+cos3x=1。
（罗马尼亚）
5.在圆K上有三个不同的点A、B、G试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。
（保
加利亚）
6.一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为r，求证这两个圆的圆心的距离是，R（R2r）。
（民
主德国）
7.求证：
正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这
样的球，则它必然是正四面体。
（苏联）
第五届（1963年）
波兰弗罗茨瓦夫（Wroclaw,Poland）
1.找出下列方程的所有实数根（其中p是实参数）：
■.x2p2x21x（捷克斯洛伐克）
2.给定一点A及线段BC设空间中有一点使得以该点为顶点，一边通过A点，另一边与线段BC相交的角为直
角，试求出所有满足条件的点的轨迹。
（苏联）
5.
求证cos—
7
2
cos—
7
3
cos
7
1
。
（民主德国）
2
6.
五个同学AB、C、DE参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是
ABCDE但是实际上没有一位同学
求证：
所有边长都相等。
（匈牙利）
X5
X1
X2
X3
yx1
yx2
设y是一个参数，试找出方程组
X2
X4
yx3的所有解X1,X2,X3,X4,X5。
（苏联）
X3
X
yx4
X4
X1
yx5
4.
的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，CD两位同学名次不是（1,2）、（2,3）、（3,4）、
（4,5）中的任何一种）。
还有一种猜测说结果会是DAECB勺顺序。
实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的
一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。
试讨论最后的名次如何？
（匈牙利）
第六届（1964年）
苏联莫斯科（MoscowSovietUnion）
1.a）求所有正整数n使得2n—1能被7整除；
b）求证不存在正整数n使得2n+1能被7整除。
（捷克斯洛伐克）
2.假设a、b、c是三角形的三边长，求证：
222
a（bca）b（acb）c（abc）3abc（匈牙利）
3.三角形ABC的三边长分别为a、b、c。
分别平行于三角形ABC的各边作三角形ABC内切圆的切线，每条切
线都在△ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用a、
b、c表示）。
（南斯拉夫）
4.十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。
在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论
一个话题，求证：
这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。
（匈牙利）
5.平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，
试求出所有这些垂线的交点的最大数目。
（罗马尼亚）
6.四面体ABC啲中心是D0，分别过A、BC作DD的平行线，这些线分别交平面BCDCAD、ABD于点A、B、
C,求证：
ABCD勺体积是A1B1C1D）的三分之一；再问如果D0为三角形ABC内的任意一点，结果是否仍然成立？
（波兰）
第七届（1965年）
民主德国柏林（Berlin,GermanDemocraticRepublic）
1.找出所有的x（owxW2n）使其满足2cosx.1sin2x,1sin2x,2。
（南斯拉夫）
2.如下方程组
a13x3
a〔1X[
a21x1a22x2823X3
831X1832X2833X3
其中X1、X2、X3未知。
系数满足以下条件:
a）a”、a22、a33为正数；
b）其余系数是负数；
c）在每个方程中，系数的和是正数。
证明该方程组只有唯一解X1=X2=X3=0。
（波兰）
3.给出四面体ABCD其中AB和CD长度分别为a和b。
异面直线AB和CD的距离为d,夹角为3。
四面体ABCD
被平面&分为两部分，平面&平行于AB和CDAB和CD到平面&的距离的比为k。
计算出这两部分的体积
之比。
（捷克斯洛伐克）
4.找出所有满足条件的四个实数X1、X2、X3、X4,它们中任何三个数的乘积加上第四个数的和都等于2。
（苏联）
5.给出三角形OAB其中/AOB是锐角。
M是边AB上除O外的任意一点，从M点向OA和OB作垂线，垂足为P、Q设三角形OPQ勺垂心为H。
当M在下列范围移动时，求H的轨迹。
a）边AB
b）三角形OAB^部。
（罗马尼亚）
6.在平面上给出了n个点（n》3）。
每对点都有线段相连。
令d为这些线段中最长的线段的长度。
我们定义d
就是这个点的集合的直径。
证明在给出的点的集合中长度为d的线段至多有n条。
（波兰）
第八届（1966年）
保加利亚索菲亚（Sofia,Bulgaria）
1•在一次数学竞赛中共有A、BC三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。
在所有没有答对A的学生中，
答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。
又已
知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A。
请问有多少学生只答对B?
（苏联）
2.令a、b、c为三角形的三边，其对角分别为a、卩、丫。
证明如果abtan—（atanbtan），那么
2
三角形是等腰三角形。
（匈牙利）
3.
（保加利
求证：
从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其它点到各顶点的距离之和。
4.求证：
对于任一自然数
n,以及任一实数x
（t=O,l，…，n；k为整数），都有
亚）
11
sin2xsin4x
5.解方程组：
ai
a3
X3
a?
a3
X3
a3
a?
x?
a4
a?
x?
i
i
i
i
da?
x?
a?
aiXi
aiXi
印aiXi
—cotxcot2nx（南斯拉夫）sin2x
aix4
a?
%
*4X3
其中ai、a?
、a3、a4是四个不同的实数。
（捷克斯洛伐克）6.已知三角形ABCKL、M分别是BCCAAB的内点。
求证三角形AMLBKMCLK之中至少有一个三角形的
面积不大于三角形ABC的四分之一。
（波兰）
第九届（1967年）
南斯拉夫采蒂涅（Centinje,Yugoslavia）
1.在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=1,/BADA,且三角形ABD是锐角三角形。
求证：
当且仅当
acosA3sinA时，以ABC、D为圆心，半径为1的四个圆能覆盖这个平行四边形。
（捷克斯洛伐克）
1
2.求证：
只有一条边大于1的四面体体积不大于-。
（波兰）
8
3•令k,mn为自然数且满足m+k+1是一个大于n+1的质数，Cs=s（s+1）。
求证：
（Cm1Ck）（Cm2Ck）...（cmnq）能被乘积CiC?
…6整除。
（英国）
4.三角形ABC和ABC是锐角三角形。
考虑所有与三角形AiBiC相似且外接于三角形ABC0的所有三角形ABC
（即BC边包含Ao,CA边包含Bo,AB边包含C0），试构造出满足此条件的面积最大的三角形ABC（意大利）
5.考虑数列｛Cn｝，其中
Ciai
a?
?
?
?
Cai
a?
.
a8
n
n
n
Ciai
a?
.
a$
其中ai、a?
、…、as是不全为零的实数。
如果数列｛Cn｝中有无穷多项等于0，试求所有使Cn=0的自然数n。
（苏联）
6.在一次运动会中，连续n天内（n>1）—共颁发了m块奖牌。
在第一天，颁发了一块奖牌以及剩下ml个中
11
的丄；在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的-；依此类推。
在最后一天即第n天，剩下的n块奖牌全部颁发完
77
毕。
问该运动会共进行了几天，一共颁发了多少块奖牌？
（匈牙利）
第十届（1968年）
苏联莫斯科（MoscowSovietUnion）
1.求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另一个角的两倍。
（罗马尼亚）
2.试找出所有自然数n,其各位数的乘积等于n2-10n-22。
（捷克斯洛伐克）
3.考虑以下方程组
2
ax〔
2
ax?
bx1cx2bx2cx3
ax21
2
aXn
bxn1cxn
bxncx1
其中X1、X2、…、xn是未知数，a、b、c为实数并且0。
令△=（b-1）2-4ac。
证明对这个方程组
a）△<0,无解；
b）△=0,有且只有一个解；
c）△>0,有一个以上的解。
（保加利亚）
4.求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。
（波兰）
5.设f是定义域和值域都为实数集的函数并且对于任一实数x和任一正数a,等式
12
f（xa）f（x）|f（x）都成立。
a）证明函数f是周期函数（比如，存在一个正数b使得对于所有x满足f（x+b）=f（x））。
6.对于任一自然数n,试求和
n2kn1n2k02k124
n2k
（［x］表示不大于x的最大整数）
（英国）
b）当a=1时，给出一个非常值函数的例子。
（民主德国）
第^一届（1969年）
罗马尼亚布加勒斯特（Bucharest,Romanisj）
1.证明对任意正整数a和任一正整数n都满足：
数字z=n4+a不是质数。
（民主德国）
2.令a1,比，…
•,an为实数常数，
X为实数变量，且
y（x）cos（a1
、八cos（a2x）
X）
cos（a3x）
n^。
右f（X1）=f（X2）=0，证明对于一些整数m有
2
22
2
X2-X1=nn。
（匈牙利）
3.对每一个k:
=1,2,3,4,5,
试找出a>0应满足的充要条件，使得存在一个四面体，其中k个边长均为a,
其余6-k个边的长度均为1。
（波兰）
4.
以AB为直径作半圆丫。
C是丫上不同于A和B的一个点，D是C到AB的垂线的垂足。
我们作三个圆丫1、
5.
2
（X1X2）（y1y2）（Z1Z2）
1
2
X1y1Z1
2，并给出等号成立的条件。
X2『2Z2
（苏联）
CD的两边。
证明丫1、Y2、Y3还有一条公切线。
（荷兰）
中的四个。
（蒙古）
第十二届（1970年）
匈牙利凯斯特海伊（Keszthely,Hungary）
1.M是三角形ABC勺边AB上的任何一点，r、m「2分别是三角形ABCAMCBMC勺内切圆的半径，q是AB外旁切圆的半径（即与AB边相切，与CACB的延长线上相切的圆），类似的，q1、q2分别是ACBC外旁切圆的圆心。
求证：
-1?
-T2—。
（波兰）
q1q2q
2.已知a、b、n是大于1的整数，且a、b是两个计数系统的底。
A-1和A是a进制数，B-1和B是b进制数；它们的联系如下：
AXnXn1…Xo,An1Xn1Xn2…Xo,
BnXnXn1…Xo,Bn1Xn1Xn2…Xo,
Xn0,Xn10
AB
证明：
当且仅当a>b时有4口。
（罗马尼亚）
AnBn
3.实数ao,ai，…，an,…满足条件：
仁a°wai并数字bi,b,…，bn,…被定义为
bn0（14）—L。
k1akak
a）求证对于所有n都有Owbnv2。
b）设c满足0wcv2，证明对于足够大的n存在满足上面要求的ao,ai,…能使b>c。
（瑞典）
4.试找出所有的正整数n使得集合｛n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5｝可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。
（捷克斯洛伐克）
2
5.在四面体ABC［中,/BDC是直角。
假设点D到平面ABC的垂线的垂足日是厶ABC的垂心。
求证：
（AE+BGCA
w6（aD+bD+cD），并指出在什么情况下等号成立。
（保加利亚）
6.一个平面上有100个点，任意三点都不共线。
求证由这些点为顶点的三角形中至多有70%是锐角三角形。
（苏
联）
第十三届（1971年）
捷克斯洛伐克日利纳（？
ilina,Czechoslovakia）
1.证明下面的说法在n=3或n=5时是正确的，而在其它大于2的自然数n是错误的：
如果a1,a2,…，an为任意实数，那么
（a1-a2）（a1-a3）...（a1-an）+（a2-a"（a2-a3）...（a2-an）+...+（an-a"（an-a2）...（an-an-1）》0。
（匈牙利）
2.一个有9个顶点A,Az,-,A的凸多面体P，若将顶点A移至A时则R平移为P（i=2,3，…，9）,求证
在P,F2，…，P9中至少有两个多面体有一个公共内点。
（苏联）
3.求证：
一个由形式2k-3（k=2,3，…）组成的整数的集合包含一个每个元素两两互质的无限子集合。
（波兰）
4.四面体ABCD勺所有面都是锐角三角形。
我们定义形如XYZTX勺所有闭合多边形路径如下：
X是AB边上不同
于A和B的一点；类似地，Y,乙T分别是边BCCDDA勺内点。
求证：
a）如果/DAB/BC审/CDA£ABC那么在所有闭合路径之中，没有最小长度。
b）如果/DAB/BCD/CDA/ABC那么将有无数条最短路径，它们的长度都是2ACsin—，其中
2
a=/BAC-/CAD/DAB（荷兰）
5.证明对于任一自然数m都存在一个在同一平面上的有限点集S,满足下列条件：
对于S中的每个点A,恰
好有m个在S中的点到A点的距离为单位长。
（保加利亚）
6.
aj=0,那么第i行的元素
令A=（aij）（i,j=1,2，…，n）为一个元素都是非负整数的方阵。
假设有一个元素
2
和第j列的元素的和不小于n。
求证：
这个方阵的所有元素的和不小于—。
（瑞典）
2
第十四届（1972年）
波兰托伦（Torun,Poland）
1.有十个互不相同的二位数，求证必可从中选出两个不相交的子集，使得这两个子集中的元素之和相等。
（苏
联）
2•设n》4,求证每一个圆内接四边形都可以分割成n个圆内接四边形。
（荷兰）
3•设mn为任意非负整数。
求证：
（2m）.（2n）.是整数。
（0!
=1）（英国）m!
n!
（mn）!
4.找出下述方程组的解（X1,X2,X3,
X4,X5）,其中X1,X2,X3,X4,X5是正实数。
22
（X1X3X5XX2X3X5）0
（x；X4XJ（X；X4X1）0
（X3X5X2）（X：
X5X2）0（荷兰）
22
（X4X1X3）（X5X1X3）0
22
（X5X2X4XX1X2X4）0
6.令f和g为定义域和值域都为实数集的函数，并对于所有的x和y都满足等式f（xy）f（xy）2f（x）g（y）。
求证：
如果f（x）不恒为0,对于所有x都有f（x）1，那么对于所有y
都有g（y）1。
（保加利亚）
7.给出四个不同的平行平面，证明存在一个正四面体，它的顶点分别在这四个平面上。
（英国）
第十五届（1973年）
苏联莫斯科（MoscowSovietUnion）
murunrunr
1•点O在直线g上；0R,0F2,...,0Fn是单位向量，而R,F2,…，R都与g在同一平面且都在g的一侧。
证
明当n为奇数时,
uuuruuuruur
OROP2...OPn
uuuu
uuuu
1。
这里OM代表向量OM的长度。
（捷克斯洛伐克）
2.判断是否存在不在同一平面内的有限点集M对于M内的任何两个点A和B,都可以在M中找到任何两个点
CD使得AB和CD平行但不重合。
（波兰）
3.找出所有实数a和b使得方程x4ax3bx2ax10至少有一个实根。
对于所有这样的对（a，b），找
r2.2
出ab的最小值。
（瑞典）
4.一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷，他的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三
5.
角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径？
（南斯拉夫）
6.设a1,a2,…，an是n个正数，q是0到1之间的一个给定的实数。
找到
n个数b,b2,…，bn使之满足:
b）对于k=1,2,..
.,n-1都有q
bk
1
；
q
c）b-ib2...
bn,q⑻a2..
1q
.an）。
（瑞典）
第十六届
民主德国
埃尔福特（
（1974年）
Erfurt,DRGermany
这三个数p、q、r满足0扑克牌被洗过并
1.三个玩家玩游戏。
在三张扑克牌上分别写上一个正整数,
求证：
存在一个实数k对于G内的所有f都有f（k）=k。
（波兰）
a）对于k=1,2,...,n都有ak随机分配给每个玩家。
每个玩家各自记下并公布自己拥有的牌的点数。
然后再次洗牌；计数依旧保留。
该过程
（洗牌、发牌、记数）进行过至少两轮。
最后一轮之后，A一共有20点，B有10点，C有9点。
在最后一轮B
获得了r点。
问在第一轮谁获得了q点？
（美国）
C
2.在三角形ABC中,证明AB边上存在点D使得CD是AD和DB的几何平均数的充要条件是sinAsinBsin2上。
2
（芬兰）
3.求证：
数字2n123k
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