线性代数复习题.docx
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线性代数复习题
线性代数复习题
一•填空题
1•求下列各排列的逆序数t:
35214,t=;34251,t=;25431,t=
2•计算三阶行列式
21k
D024；当k、时，得D8
k10
5•设A、B都是三阶方阵，已知A3,B2
2A,3B,2ABo
6.已知三阶方阵
321
A213oA,R（A），一个最高阶非零子式
705
7.n元线性方程组Axb无解的充要条件是R（A），有唯一解的充要条
件是R（A），有无限多解的充要条件是R（A）
8.已知向量组A构成的矩阵为
k11
A（a「a2,a3）1k1。
当k、、时，向量组A线性无关。
11k
9.已知向量组A:
a1（1,3）T,a2（2,）T;向量b（,3）T。
当、时,
b不能由A线性表示；当时，b可由A线性表示且表示式唯一。
10•已知三阶方阵
102
A020。
208
计算：
一阶主子式=,二阶主子式=,三阶主子式=
11.
求下列各排列的逆序数t:
12.计算三阶行列式
；当
时，得D4
13.
已知三阶方阵
14.已知二阶方阵
15.
A*
a1
2B
ab
16.
已知三阶方阵
17.n元齐次线性方程组AxO有非零解的充要条件是R（A）,线性方程
组Axb有解的充要条件是R（A）,矩阵方程AXB有解的充要条件是
R（A）o
18.已知向量组A构成的矩阵为
（ai,a2,a3）
当k、、时，向量组A线性无关。
19.已知向量组A:
a1（,2）t,a2（2,1）T;向量b（1,）T。
当、时，b不能由A线性表示；
当时，b可由A线性表示且表示式唯一。
20.将向量ai化为对应的单位向量e（i1,2,3）:
a1（1,2,1）T,a2（1,1,1）T,a3（1,0,1）T;
e1,e2,03。
21.计算三阶行列式
abc
bac
baa
bca
?
cba
?
cbb
cab
acb
acc
22.已知方程组kX1X21。
系数行列式D;若方程组有唯一解,
3%2x25
则D，此时得k。
23.
已知三维向量A（1,2,3）,B（3,2,1）t。
25.设A、B都是三阶方阵,已知A1,B2
2A,2B,2AB
26.已知方程组Axb为
2x13x27
A1
；X1
X2
X]2x2
。
7
27.
已知方程组
3x1
kx2
X30
系数行列式
D
；若方程组有非零解，则
4X2
X30
。
k,
。
kx1
4X2
0
28.
已知向量组
A:
玄1
（k
1,0,0）T,a2
（0,k,1）T,
as（0,1,k）T。
矩阵
A（a1,a2,a3
）
;当k
、
时，向量组A线性相关。
29.
判断向量组
A:
a1
（0,
）T,a2（3,
）T的线性相关无关性：
当
当1,
0时，
A线性;
当0,
1时，A线性
当
当1,
1时，
A线性。
）
30.若向量6©构成向量空间V的一个规范正交基，则
ei,e2,ei,e2
31.计算三阶行列式（未写出的元素为0）
a
a
a
b
b
db
c
c
efc
32.已知方程组2X1kX22。
系数行列式D;若方程组有唯一解,
x1x23
则D，此时得k。
33.已知二阶方阵A
AB,BA,ABT
34.已知二阶方阵
A*,A
35.设A、B都是三阶方阵，已知A3,B2
2A,3B,|AB
36.已知方程组Axb为
x1x22
a1
；X1
X2
°
2x1x21
37.已知方程组
x12x2x3
0
系数行列式D
；若方程组有非零解，则
3x1kx2
0。
k
°
kx14x22x3
0
38.已知向量组
A:
a1
（k,0,1）T,a2
（0,k1,0）T,a3
（1,0,k）T°
矩阵
A（a1,a2,a3
）
;当k、
时,
向量组a线性相关。
39.判断向量组
A:
a1
（,1）T,a2
（8,）T的线性相关无关性
:
当4，
2时，
A线性
；当1,
0时，
a线性
当0,
1时，
A线性
°
40•已知向量a（1,2,3）t,b（1,2,1）T，则
a，b,a,b
41.已知行列式
42.
52
113，计算余子式：
M
134
43.已知方程组3X1kX20。
系数行列式D;若方程组有非零解,
x12x20
则D，此时得k。
44.已知二阶方阵A
at，bt，（AB）t
45.已知二阶方阵
49.判断向量组
A:
a1
（4,）T,a2
（,3）T的线性相关无关性：
当0,
0时，
A线性
:
当1，2时，A线性
当2，
6时，
A线性
。
50.设n维向量
X（X1,X
2,,Xn）T、y
（y1,y2,,yn），P为正交矩阵，则成立结论
时，向量组A线性相关。
当k
A（ai,a2,a3）
o
7
n
45.设A为n阶方阵，已知A
46.已知方程组Ax
47.已知方程组
.计算题1.已知矩阵
211
113
A210B
332
111
（1）
.求A1;
（2）.解矩阵方程XAB
2•已知矩阵
421
1
2
A311B
1
0
212
3
4
（1）.求A1；
（2）.解矩阵方程AXB。
3•已知矩阵
111
1
1
3
A210
B
4
3
2
111
1
2
5
1
（1）.求A
1
（2）.
解矩阵方程
XA
B。
6
7
0
32
1
4•已知矩阵A
0
2
4
B31
5
6
2
0
32
3
（1）.求A1
1;
7
（2）.
解矩阵方程
XA
B。
1
1
1
2
5.已知矩阵A
2
1
3
B1
3
2
5
0
（1）.求A
1.
⑵
.解矩阵方程AX
B。
6.设有向量组A:
:
a1
（1,
1,2,4）T,a2（0,3,1,2）t
a3（1,1,2,0）T,a4（2,1,5,6）
要求：
（1）.找出A的一个最大无关组Ao;
（2）.写出A的秩Ra;
（3）.其余向量用Ao线性表示。
7•设有向量组A:
ai（1,1,3,1）T,a2（1,1,1,3）丁@（5,2,8,9）T且（1,3,1,7）T
要求：
（1）.找出A的一个最大无关组Ao；
（2）.写出A的秩Ra；
（3）.其余向量用Ao线性表示。
8•设有向量组A：
ai（1,1,2,3）02（1,1,1,1）T,as（1,3,3,5）04（4,2,5,6）T。
要求：
（1）.找出A的一个最大无关组Ao；
（2）.写出A的秩Ra；
（3）.其余向量用Ao线性表示。
9.设有向量组A：
a1（1,1,0,1）T,a2（1,2,1,3）丁忌（0,1,1,2）04（0,1,1,1）T。
要求：
（1）.找出A的一个最大无关组Ao;
（2）.写出A的秩Ra;
（3）.其余向量用Ao线性表示。
10.设有向量组Ay（1,1,1,1）T,a2（3,1,1,3）T,a3（2,0,1,1）T冋（1,1,0,2）T。
要求：
（1）.找出A的一个最大无关组A。
;
（2）.写出A的秩Ra；
（3）.其余向量用A。
线性表示。
11.已知非齐次线性方程组
x1x2
（1）.写出增广矩阵;
（2）.求出系数矩阵与增广矩阵的秩；
（3）.求出方程组的一个解；
（4）.写出对应的齐次方程组的基础解系;
（5）.写出方程组的通解。
12.已知非齐次线性方程组
x-i5x22x33x411
5x13x26x3x41
2x14x22x3x46
（1）.写出增广矩阵；
（2）.求出系数矩阵与增广矩阵的秩;
（3）.求出方程组的一个解；
（4）.写出对应的齐次方程组的基础解系;
（5）.写出方程组的通解。
13.已知非齐次线性方程组
2x-\
X3
X4
3x12x2
X3
3x4
Xi4x23x35x4
（1）.写出增广矩阵；
（2）.求出系数矩阵与增广矩阵的秩;
（3）.求出方程组的一个解；
（4）.写出对应的齐次方程组的基础解系;
（5）.写出方程组的通解。
14.已知非齐次线性方程组
x-ix22x46
4x1
X2
3x3
X4
3x-|
X2
3x3
（1）.写出增广矩阵；
（2）.求出系数矩阵与增广矩阵的秩；
（3）.求出方程组的一个解；
（4）.写出对应的齐次方程组的基础解系;
（5）.写出方程组的通解。
15.已知非齐次线性方程组
2x1
X2
X3
X4
1
%
X2
X3
X4
2
4x1
X2
X3
X4
5
（1）.写出增广矩阵；
（2）.求出系数矩阵与增广矩阵的秩；
（3）.求出方程组的一个解；
（4）.写出对应的齐次方程组的基础解系;
（5）.写出方程组的通解。
200
16.已知矩阵A032。
求关于A的:
023
（1）.特征多项式；
（2）.特征值；
（3）.对应特征值的基础解系；（4）.全部特征向量表示式。
111
17.已知矩阵A111。
求关于A的：
111
（1）.特征多项式；
（2）.特征值；
（3）.对应特征值的基础解系；（4）.全部特征向量表示式。
131
18.已知矩阵A011。
求关于A的：
002
（1）.特征多项式；
（2）.特征值；
（3）.对应特征值的基础解系；（4）.全部特征向量表示式。
123
19.已知矩阵A213。
求关于A的：
336
（1）.特征多项式；
（2）.特征值；
（3）.对应特征值的基础解系；（4）.全部特征向量表示式。
210
20.已知矩阵A120。
求关于A的：
002
（1）.特征多项式；
（2）.特征值；
（3）.对应特征值的基础解系；（4）.全部特征向量表示式
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