数学人教版七年级下册一元一次不等式及其解集.docx

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数学人教版七年级下册一元一次不等式及其解集

第八章二元一次方程组

一、教学内容分析

本章主要内容包括：

二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，三元一次方程组解法举例，二元一次方程组的应用。

教材首先从一个篮球联赛中的问题入手，归纳出二元一次方程组及解的概念，并估算简单的二元一次方程（组）的解。

接着，以消元思想为基础，依次讨论了解二元一次方程组的常用方法——代入法和消元法。

然后，选择了三个具有一定综合性的问题：

“牛饲料问题”“种植计划问题”“成本与产出问题”，将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度。

最后，通过举例介绍了三元一次方程组的解法，使消元的思想得到了充分的体现。

二、教学目标及重难点

知识与技能 

1、了解二元一次方程组及相关概念，能设两个未知数，并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系； 

2、掌握二元一次方程组的代入法和消元法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法； 

3、了解三元一次方程组的解法； 

4、学会运用二（三）元一次方程组解决实际问题，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。

过程与方法 

1、以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关糸，设未知数，列方程，解方程和检验结果”，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型。

2、在把二元一次方程组转化为x=a,y=b的形式的过程中，体会“消元”的思想。

情感态度与价值观  

通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。

教学重点：

二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，利用二元一次方程组解决实际问题。

教学难点：

以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题。

四、课时安排

本章教学时间约8课时，具体分配如下：

8.1二元一次方程组 „„„„„„„„„„„„„„1课时 

8.2 消元——二元一次方程组的解法„„„„„„„ 4课时 

8.3再探实际问题与二元一次方程组„„„„„„„ 3课时 

*8.4三元一次方程组解法举例 „„„„„„„„„„1课时 

本章小结 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2课时

课题：

8.1二元一次方程组

[教学目标]1．了解二元一次方程及其概念。

2．会设两个未知数并列出方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系。

3．会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程、二元一次方程组的解。

4．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系——设未知数——列方程组——估算解——检验结果”的过程，体会方程组是描写现实中含有多个未知数的问题的数学模型，培养学生的建模能力。

5．通过具体情景的创设，使学生发现生活中的数学问题，培养学生乐于探究、乐于合作的学习习惯，提高数学交流和数学表达能力。

. 

[教学重点]二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义，列方程组。

[教学难点]二元一次方程的整数解，列出实际问题中的方程组。

[教具准备]多媒体

[教学过程]

[教学环节]

师生活动

设计意图

附案

1．情境引学、目标激活

1.今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足， 问鸡兔各几何？

2.老牛对小马说：

“累死我了！

我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！

” 小马对老牛说：

“你还累？

这么大的个，才比我多驮了2个．” 它们各驮了多少包裹呢？

3. 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。

某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？

鼓励学生用不同方法解决鸡免同笼问题。

由学生解法回忆一元一次方程的定义。

启发学生设出两个未知数，列出两个方程。

引出本章、本节课题。

创设情境，使学生体会生活中的数学，引出课题。

2、支架导学

（1）自主探学、尝试解决

1.【探究一】：

（1）.思考：

引入第三个问题中包含了哪些必须同时满足

的条件？

设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？

由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：

 胜的场数＋负的场数＝总场数，胜场积分＋负场积分＝总积分. 

这两个条件可以用方程x＋y＝10    ①

          2x＋y＝16    ②

 表示. 

（2）．讨论：

 这两个方程有什么特点?

与一元一次方程有什么不同?

（3）．归纳定义：

上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项指数都是1，像这样的方程叫做

二元一次方程。

（二）合作研学、重组构建

一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

教师关注学生能否把实际问题转化成数学问题，能否

找到相等关系列出方程。

教师指定一个小组，由这

个小组选一名同学展示。

针对学生列出的方程，小组讨

论方程的特点，找一个小组的

代表发言，归纳二元一次方程

的概念。

教师强调：

1.定义中未知数的项的

次数是1，而不是指两个未知数的次数都是1 

2.二元一次方程的左边

和右边都应是整式 

归纳二元一次方程组的含义。

归纳二元一次方程和二元一次方程组的解的定义。

通过自己动手练习算一算以及认真自读课本观察分析引导学生自己得出结论。

培养学生思考问题合作学习的学习习惯。

通过填表，让学生感受到满足一个二元一次方程的未知数的值有无数对，但是同时满足两个方程的解只有一对。

3、当堂检学、基础达标

根据定义判断二元一次方程。

理解二元一次方程和二元一次方程组的解的含义。

检查学生学习情况。

4、变换拓学、发散迁移

学生独立完成后小组交流.

根据反馈的信息对出现的问题有针对性地小结.

五．作业布置

[教学反思]：

课题：

8.2  消元——二元一次方程组的解法

（1）

[教学目标]1、会用代入法解二元一次方程组。

2、初步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”。

3、通过用代入法解二元一次方程组的训练及选用合理、简捷的方法解方程组，培养运算能力。

4、通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.

[教学重点]用代入法解二元一次方程组. 

[教学难点]探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.

[教具准备]多媒体

[教学过程]

[教学环节]

师生活动

设计意图

附案

一、情境引学、目标激活

老师提出问题学生思考。

复习二元一次方程及方程的解的概念

二、支架导学

（一）自主探学、尝试解决

自主探究一 

问题1：

 篮球联赛中，每场比赛都要分胜负，每队胜一场得2分，负1场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部20场比赛中得到38分，那么这个队胜负场数分别是多少？

（1）你能列一元一次方程解决这个问题吗？

（2） 在上述问题中，你可以设出两个未知数，列出二元一次方程组吗?

（3）那么怎样求解二元一次方程组呢？

与问题1中的方程相比，两者有什么关系？

例如，从未知数表示数量关系的角度或从二元一次方程组与一元一次方程的结构上观察。

学生通过对比观察体会到一元一次方程与二元一次方程组之间的联系，得出二元一次方程组中的y＝20－x。

最后由教师总结出将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法是消元思想，而根据一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程的方法是代入消元法。

（2）合作研学、重组构建

自主探究二 

问题1：

 你能把下列方程写成用含x的式子

表示y的形式吗？

（1） 2x－y＝3 

（2） 3x＋y－1＝0

问题2  

你能用代入法解决下列问题吗？

用代入法解方程组

问题3  

你能选择合适的未知数进行代换，解出下列各题吗？

教师提出问题 学生独立完成。

学生根据上节已有的经验可以通过列一元一次方程求解后，得出结论。

教师提出问题后，将学生分成小组讨论，教师深入学生的讨论中，引导学生观察

与2x＋（20－x）＝38的内在联系

教师要关注：

（1）学生的思维角度是否合理； 

（2）能否抓住问题的核心部分； （3）学生的表达能力； （4）学生对提出的数学问题产生的兴趣。

教师提出问题，学生独立完成。

 教师应重点关注：

 学生是否在理解代入消元法的基础上，会将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来。

教师展示问题，并提出问题，学生独立完成之后，互相交流。

学生展示自己的解题过程，归

纳解题步骤。

教师可以让学生互相讨论得出结果，并使学

生熟悉代入法解二元一次方程组的过程。

学生在解题步骤中，如果出现不规范或错误的地方，教师应该及时地给予指导，也可以提示学生，在解题时要灵活运用探究1里总结的解题过程来做。

让两个组的两名学生上黑板展示.

教师关注：

（1）学生积极参与活动的态度； 

（2）学生是否能多角度地考虑问题；

开展探究性活动，充分体现学生的自主性和合作精神，激发学生乐于探索的热情。

让学生自己举例并总结重要概念。

让学生自己尝试学习，可充分发学生的积极性、主动性，

培养学生良好的学习习惯。

教师结合具体的学生活动，加以指导，通过分析，学生可以充分地了解用代入消元

法解方程组的过程。

（1）学生的交流讨论； 

（2）学生用语言表达自己的观点，发展学生

有条理思考问题的能力以及表达能力； 

（3）学生能否正确求解。

三、当堂检学、基础达标

1、将方程5x-6y=12变形：

若用y的式子表示x，则x=______，当y=-2时，x=_______； 

若用含x的式子表示y，则y=______，当x=0时，y=________ 。

2、在方程2x+6y-5=0中，当3y=-4时，2x= ____________。

3、若方程y=1-x的解也是方程3x+2y=5的解，则x=____，y=____。

练习1——4题学生在完成探究

（一）和

（二）时，自主完成.。

5题教师指定两组的两名同学到黑板展示，其他同学自主完成，老师巡视指导教师注意：

学生是否会用一个未知数来表示另一个未知数练习完成后，在小组内交流，修正答案，有板

练的小组同学进行讲解，其他组同学若有不同意见，可发表自己的见解，教师点评。

检查学生学习情况。

及时的习题练习让学生巩固新学知识，并为接下来学习新知识做了很好的铺垫作用。

四、变换拓学、发散迁移

学生自主完成.

第3题教师指定三个小组的一个同学上黑板展示（书写要规范）   教师巡视并个别指导  

完成后，小组交流。

引导学生写好计算过程。

根据反馈的信息对出现的问题有针对性地小结.

五．作业布置

[教学反思]：

课题：

8.2  消元——二元一次方程组的解法

（2）

[教学目标]1、使学生熟练地掌握用代人法解二元一次方程组。

2、使学生进一步理解代人消元法所体现出的化归意识。

3、通过探索二元一次方程组的解法的过程,•了解二元一次方程组的“消元”思想。

4、对具体实际问题的自主交流、探索,发现方程建模的过程,培养学生应用数学意识。

[教学重点]用代入法解二元一次方程组。

[教学难点]探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程（系数不为1）

[教具准备]多媒体

[教学过程]

[教学环节]

师生活动

设计意图

附案

一、情境引学、目标激活

本课是对代入消元法的巩固和深化，设置活动目的在于帮助学生迅速再现以往的知识经验，起到承上启下的作用。

提出问题学生思考激活目标。

二、支架导学

（一）自主探学、尝试解决

探究一：

   根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250 g）两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2：

5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？

师生总结归纳、反思 

（2）找出两个等量关系。

（3）审、设、列、解、检、答．） 

问题1：

此方程与我们前面遇到的二元一次方程组有什么区别？

（两个方程里的两个未知数系数的绝对值均不为1）

  问题2：

能用代入法来解吗？

  问题3：

选择哪个方程进行变形？

消去哪个未知数？

 思考：

（1）如何用代入法处理两个未知数系数的绝对值均不

为1的二元一次方程组？

（2）列二元一次方程组解应用题的关键是什么？

（3）列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为

_____、______、_______、_______、________、________.

 解：

设这些消毒液应分装x大瓶和y小瓶，则

解题过程见教材97页至98页 

（2）合作研学、重组构建

探究二：

用代入法解下列方程组．

 能力提升：

解后思考：

（2）题的解法计算量较大，容易出错．是否还有更好的解答方法呢？

（3）那么怎样求解二元一次方程组呢？

与问题1中的方程相比，两者有什么关系？

学生思考并回答。

学生独立分析，列出方程组，全班交流．

教师应关注学生的活动过程。

在师生对话交流中，完成本题的板书示范．

两名学生演示，老师巡视，着重讲评第

（2）小题．

教师点拨分析：

 通过自主探究后发现

学生先独立探索再组内交流，教师巡视指导。

学生思考，小组讨论，个别回答。

问题是知识能力生长点，通过富有实际意义的问题，激发学生原有认知，促使学生主动地进行探索和思考，让他们体会数学的韵味。

开展探究性活动，充分体现学生的自主性和合作精神，激发学生乐于探索的热情。

让学生自己尝试学习，可充分发学生的积极性、主动性，

培养学生良好的学习习惯。

三、当堂检学、基础达标

A组：

B组：

安排分层次练习，学生先尝试完成B组练习，如果有困难，那么可以先完成A组练习后再做B组练习， 让学生根据自身的需要自由选择不同的题目，在自我挑战中获得成就感。

教师根据实际情况，对不同的学生进行有针对性的指导，使不同的学生都有发展． 

这符合新课标的新理念：

不同的人在数学上都能获得不同的发展。

教师巡视指导完成后小组内交流，完善答案。

小组同学讲解，学生讲解完成后教师要进行点评。

检查学生学习情况。

四、变换拓学、发散迁移

学生独立完成后小组交流。

根据反馈的信息对出现的问题有针对性地小结.

五．作业布置

[教学反思]：

课题：

8.2  消元——二元一次方程组的解法（3）

[教学目标]1、理解加减消元法的含义。

2、掌握用加减法解二元一次方程组。

3.使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法。

4.体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心。

[教学重点]用“加减法“解二元一次方程组 。

[教学难点]用“加减法“解二元一次方程组 。

[教具准备]多媒体

[教学过程]

[教学环节]

师生活动

设计意图

附案

一、情境引学、目标激活

回顾：

1、用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？

2、用代入法解下列方程组：

教师提出问题，学生思考、分析，尝试回答。

由练习导入新课

二、支架导学

（一）自主探学、尝试解决

自主探究一：

解方程组

有没有更简洁的解法呢？

教师可做以下启发：

问题1.观察上述方程组，未知数y的系数有什么特点？

（相等） 

问题2.除了代入消元，你还有别的办法消去x吗？

（两个方程的两边分别对应相减，就可消去x，得到一个一元一次方程．）

解法一由①得

代人方程②，消去x. 

解法二①得2y=－1－3y,代入方：

把2x看作一个整体，由程②，消去2x. 

（二）合作研学、重组构建

启发：

问题1.观察上述方程组，未知数x的系数有什么特

点？

（互为相反数） 

问题2.除了代人消元，你还有别的办法消去x吗？

自主探究三：

变式二：

观察：

本例可以用加减消元法来做吗？

 启发引导：

问题1.这两个方程直接相加减能消去未知数吗？

为什么？

问题2.怎样使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？

自主探究四

想一想：

本例题可以用加减消元法来做吗？

分析得出解题方法：

    解法1：

通过由①×3，②×2，使关于x的系数绝对

值相等，从而可用加减法解得． 

    解法2：

通过由①×5，②×3，使关于y的系数绝对

值相等，从而可用加减法解得。

由学生结合问题自主探究，并给出不同的解法。

 、

肯定两解法正确，并由学生比较两种方法的优劣．解法二整体代入更简便，准确率更高．

给学生充足的时间和空间，理解和感知加减消元法，通过讨论、交流，提出问题。

让小组讨论交流，自主解决  

变式的意义在于从“减“的情形自然地过渡到”加“的情形，浑然一体 

教师明确加减消元法的含义  

启发学生仔细观察方程组的结构特点，发现x的系数成整数倍数关系． 

因此：

②×2，得4x－10y=14③ ， 由①－③即可消去x，从而使问题得解． （追问：

③－①可以吗？

怎样更好？

） 

  让学生独立

思考，怎样变形才能使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？

类比代入消元法学习加减消元法，感悟类比学习方法。

培养学生思考问题合作学习的学习习惯。

加强学生的计算能力。

渗透化归思想。

通过对比，使学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元． 

三、当堂检学、基础达标

让各组同学自主完成1、2两

题，完成后交流。

教师巡视指导。

1、x的系数相同，y的系数互

为相反数，加减法 

2、a=1 

第3题让两个小组的两名同

学上黑板展示，其他同学自主完

成，然后交流，教师针对出现的

问题简评。

体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心。

检查学生学习情况。

四、变换拓学、发散迁移

用加减法解方程组：

综合运用二元一次方程加减法解题，根据反馈的信息对出现的问题有针对性地小结。

培养思维的严谨性、深刻性。

培养学生计算能力。

五．作业布置

[教学反思]：

课题：

8.2  消元——二元一次方程组的解法（4）

[教学目标]11、熟练掌握加减消元法； 

2、能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组.

3.通过分析实际问题中的数量关系，用方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性。

4.消元、化未知为已知的转化思想，养成学生的合作互助意识和表达能力。

[教学重点]能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组 

[教学难点]能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组 

[教具准备]多媒体

[教学过程]

[教学环节]

师生活动

设计意图

附案

1、情境引学、目标激活

教师提出问题，

1题学生交流后回答 

2题让两名同学上黑板展示（一人用一种方法） 教师点评

学生思考、分析，尝试回答.

让学生亲自试用两种方法解题，让学生直观感受两种方法的不同之处和实质。

二、支架导学

（一）自主探学、尝试解决

（2）合作研学、重组构建

自主探究二：

阅读应用题后思考：

2台大收割机和5台小收割机均工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作5小时共收割小麦8公顷。

1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？

问题一：

题目中存在的等量关系：

         _________________________ 

________________________ 

问题二：

若设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，那么2台 大收割机和5台小收割机均工作1小时共收割小麦______________公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作1小时共收割小麦________________公顷。

问题三：

根据题目中的等量关系，可列方程组为：

         ___________________________ 

问题四：

解上面的方程组，解为______________

让各组同学互相合作、交流、探讨，找出题目中的等量关系。

进一步列方程组并解之。

教师巡视指导，对个别同学加以点拨。

学生完成后，由一名组长进行讲解，其他小组如有不同意见，待其完成后再发表意见。

教师根据学生的讲解适当进行点评。

提醒学生要把x,y的值代入所列方程组检验

最后让学生结合课本明确具体解题过程。

学生合作交流、探讨，并求解方程组。

让一名同学上黑板展示，并讲解该题的解题过程。

教师分析指导，总结归纳：

当方程组中任意一个未知数的系数绝对值不是1，且不成倍数时，一般经过变形利用加减法会使解法更简单。

学生计算，并观察，以小组为单位进行讨论，教师参与到学生的讨论

中去，让学生尝试总结，教师完善。

让各组同学互相合作、交流、探讨，找出题目中的等量关系。

进一步列方程组并解之。

教师巡视指导，对个别同学加以点拨。

学生完成后，由一名组长进行讲解，其他小组如有不同意见，待其完成后再发表意见。

教师根据学生的讲解适当进行点评。

提醒学生要把x,y的值代入所列方程组检验 

最后让学生结合课本明确具体解题过程。

培养分析、观察、对比、归纳的能力。

培养学生思考问题合作学习的学习习惯。

消元、化未知为已知的转化思想，养成学生的合作互助意识和表达能力。

三、当堂检学、基础达标

学生活动：

注意书写的规范性。

让各组同学自主完成，教师巡

视指导 

组内交流，互相取长补短。

各组

长安排组内同学展示，师生共同评价。

要求各组同学自主完成并选

一名同学上黑板展示。

   教师进行巡视并作个别指

导，提醒学生注意，在解方程组时，要先把每个方程通过去分母

整理成一般的二元一次方程，再选择合适的方法去解。

检查学生学习情况。

学生独立完成，有不会的同学可以和周围同学交流，培养合作交流能力。

4、变换拓学、发散迁移

学生独立完成后小组交流.

根据反馈的信息对出现的问题有针对性地小结.

5．作业布置

[教学反思]：

课题：

8.3 实际问题与二元一次方程组

（1）

——和差倍分问题

[教学目标]1、经历和体验列方程组解决实际问题的过程； 

2