含答案小学数学问答手册七简易方程.docx
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含答案小学数学问答手册七简易方程
七、简易方程
219.什么叫做代数式和代数式的值?
用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数字和表示数的字母连接起来所得的式子,叫做代数式。
特殊的,单独的一个数字或字母也可以叫做代
用数代替代数式里的变数字母.计算所得的结果,叫做这个代数式的值。
的值是289。
220.什么叫做等式?
等式有哪些性质?
表示两个数或两个代数式相等关系的式子叫做等式。
两个数或两个代数式之间用等号“=”连接起来。
例如:
27+23=50,a+b=b+a,4x+6=86。
等式的性质有以下几条:
(1)等式两边可以调换位置。
也就是说,如果a=b,那么b=a。
(2)等式两边都加上(或减去)同一个数,所得的等式仍然成立。
即如果a=b,那么a±m=b±m。
(3)等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为零),所
得的等式仍然成立。
即如果a=b,那么am=bm,a÷n=b÷n(n≠0)。
221.什么叫做方程和方程的解?
含有未知数的等式,叫做方程。
例如:
3x+4=10,7x=2.8,ax2+bx+c=0(其中a、b、c为已知数,x是未知数)等都是方程。
方程是提出一个问题:
当未知数取什么数时,等式成立。
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
例如:
x=2是方程3x+4=10的解。
x=1.7是方程4x=6.8的解。
222.什么叫做单项式和多项式?
不含加、减运算的整式,叫做单项式。
特殊的,单独一个数或一个字母
多项式。
例如:
4x+7,3x2+5,6x2+7x+2等都是多项式。
223.什么叫做同类项及合并同类项?
在多项式中,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项,叫做同类项。
例如:
5x2+3x+4x2+6中,5x2与4x2是同类项。
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。
例如:
5x2+3x+4x2+6=9x2+3x+6是合并同类项。
224.方程的基本性质有哪些?
方程的基本性质有以下两点:
(1)方程的两边都加上(或减去)同一个数或者同一个整式,所得的方程和原方程有共同的解(叫同解方程)。
(2)方程的两边都乘以(或除以)不等于零的同一个数,所得的方程和原方程是同解方程。
方程的基本性质是解方程的依据。
解方程实际上就是把一个较复杂的方程,根据方程的基本性质化成简单的同解方程的过程。
最后得到的x=a也是原方程的同解方程。
所以a就是原方程的解。
在小学里,限于学生的知识基础,解方程不是从方程的基本性质出发,而是根据学生已有的加减之间、乘除之间的逆运算关系来求解的。
经过适当的练习,再用“移加变减”与“移减变加”等通俗语言概括出移项的规律,为进一步学习数打下一点基础。
225.什么叫做有理数?
整数和分数统称有理数。
其中整数含有正整数、零及负整数;分数含有
数,且n≠0)。
正整数、正分数叫做正有理数;负整数、负分数叫做负有理数;正有理数与零叫做非负有理数;零与负有理数叫做非正有理数。
226.什么叫做相反数?
任一正数a总有一个确定的负数-a与它相对应,像这样只有符号不同的两个数,叫做相反数。
例如:
-5与5是相反数,5与-5也是相反数。
零的相反数是零。
相反数a与-a在数轴上的对应点分别在原点的两侧,并且与原点的距离相等,但方向相反。
因此,负数的相反数是正数,正数的相反数是负数,零的相反数还是零。
227.有理数大小的比较法则有哪些?
(1)正数都大于零;
(2)负数都小于零;
(3)正数大于一切负数;
(4)两个负数比较,绝对值大的反而小。
228.有理数的混合运算法则是怎样规定的?
在代数运算中,加法与减法是一级运算,乘法与除法是二级运算,乘方与开方是三级运算。
如果有理数的同级运算在一起,那么按照从左到右的顺序进行计算;如果是不同级运算在一起,那么先算较高级的运算,再算较低级的运算。
即先算乘方或开方,再算乘法或除法,后算加法或减法。
有括号时、先算小括号里面的运算,再算中括号,然后算大括号。
229.去括号与添括号的法则指的是什么?
去括号的法则是:
括号前面是“+”号,去括号时,括号里的各项都不变;括号前面是“-”号,去括号时,括号里的各项都变号。
例如;
5a+(4b-3a)-(2b+a)=5a+4b-3a-2b-a=a+2b。
添括号的法则是:
添括号时,括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变;括号前面是“-”号,括到括号里的各项都变号。
例如:
4a-3b-2c=4a-(3b+2c);
7a+2b-5c=7a+(2b-5c)。
230.什么叫做绝对值?
数轴上表示一个数的点离开原点的距离,叫做这个数的绝对值。
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零。
例如:
+5和-5的绝对值都是5,通常用|5|表示。
又如,一个数是a,它的绝对值表示如下:
(1)当a>0时,|a|=a;
(2)当a=0时,|a|=0;
(3)当a<0时,|a|=-a。
231.什么叫做完全平方数及完全立方数?
如果一个正数恰好是另一个有理数的平方,则这个正数叫做完全平方
都是完全平方数。
如果一个数等于另一个数的立方,则这个数叫做另一个数的完全立方数。
例如:
27是3的完全立方数,64是4的完全立方数。
232.在科学技术上常用科学记数法,你知道怎样记数吗?
把一个正数写成a×10n的形式,其中1≤a<10,n比这个正数的整数位数少1。
这种记数方法,习惯上叫做科学记数法。
例如:
这种记数方法便于记大数,易于比较大小,常用在科学技术上。
233.列方程解应用题要做好哪几步工作?
用字母代替应用题中的未知数,根据等量关系列出方程,再解所列出的方程,从而得到应用题的答案,这个过程叫做列方程解应用题。
解题时要做好以下几步工作:
(1)分析题意。
认真读题,反复审题,弄清楚应用题中哪些是已知条件,哪些是未知条件,已知条件与未知条件之间有什么等量关系;
(2)设未知数。
用字母代替应用题中的未知数;
(3)列方程,解方程。
根据所设的未知数x和题目中的已知条件,按照等量关系列出方程。
根据算术四则运算中加法与减法、乘法与除法之间的逆运算关系求出未知数x的值;
(4)检验,答题。
解方程后,应进行检查验算;针对应用题的所问作出答案。
234.列方程解应用题应进行哪些基础训练?
列方程解应用题,应进行如下一些训练:
(1)列代数式的训练。
正确、迅速地列出代数式是列方程的基础,可以用以下几种形式进行训练:
①用数学语言叙述代数式。
例如:
3x+5(一个数的3倍与5的和);
7×8-4x(7的8倍减去一个数的4倍)。
②用代数式表示数量关系。
例如:
a的6倍(6a);
90减去x的5倍(90-5x)。
③根据题意叙述代数式的意义。
例如:
“学校买来6个小足球,每个a元,又买来8个排球,每个b元。
”要求学生叙述以下各式的意义。
6a(表示6个足球的价钱),
8b(表示8个排球的价钱),
6a+8b(表示两种球的总价),等等。
反过来,老师提出问题,要求学生列出代数式。
(2)找等量关系的训练。
找出题目中的等量关系是列方程的关键。
教学时,可以让学生找出日常生活事例中的一些等量关系,使学生逐步熟悉。
例如:
小侠到商店去买笔记本,总价钱是1.6元,小侠付出2元,找回0.4元。
把这件事情列出等式。
付出的2元-笔记本总价1.6元=找回的0.4元,
笔记本总价1.6元+找回的0.4元=付出的2元,
付出的2元-找回的0.4元=笔记本总价1.6元。
(3)列方程的训练。
把列代数式的训练和找等量关系的训练结合起来进行(只要求列出方程,不必解方程)。
例1:
计划修一条水渠260米,已经修了7天,每天能修x米,还剩50米没有修。
等量关系是:
计划米数-已经修的米数=剩下的米数;
方程是:
260-7x=50
例2:
农具厂两个车间计划生产720把镰刀。
第一车间每天生产镰刀38把,第二车间每天生产镰刀42把,x天完成了任务。
等量关系是:
第一车间生产数+第二车间生产数=全部任务;
或(第一车间工作效率+第二车间工作效率)×x=全部任务。
方程是:
38x+42x=720,
或(38+42)×x=720。
235.只用一步运算解答的简易方程有哪几种?
(1)求未知的加数:
解法是从和中减去已知的加数。
例1:
解方程x+38=90解:
90是两个数的和,38是已知加数。
所以
x+38=90
x=90-38
x=52
(2)求未知的被减数:
解法是把差加上已知的减数。
例2:
解方程x-62=27
解:
27是差,62是减数。
所以
x-62=27
x=27+62
x=89
(3)求未知的减数:
解法是从被减数中减去差。
例3:
解方程76-x=19
解:
76是被减数,19是差。
所以
76-x=19
x=76-19
x=57
(4)求未知的因数:
解法是把积除以已知的因数。
例4解方程5x=240
解:
240是积,5是已知的因数。
所以
5x=240
x=240÷5
x=48
(51)求未知的被除数。
解法是把商乘以除数。
例5:
解方程x÷18=34
解:
34是商,18是除数。
所以
x÷18=34
x=34×18
x=612
(6)求未知的除数。
解法是把被除数除以商。
例6:
解方程1247÷x=43
解:
1247是被除数,43是商。
所以
1247÷x=43
x=1247÷43
x=29
236.需要用两、三步运算解答的简易方程有哪几种?
(1)先把积看成一个数进行运算。
例1:
解方程3x+24=87
解:
3x+24=87(先把3x看成一个加数)
3x=87-24
3x=63
x=21
例2:
解方程100-5x=35
解:
100-5x=35(先把5x看成一个减数)
5x=100-35
5x=65
x=13
例3:
解方程7x÷14=9
解:
7x÷14=9(先把7x看成是一个被除数)
7x=9×14
7x=126
x=18
例4:
解方程16x-7×4=148解:
16x-7×4=148
16x-28=148(先把16x看成是一个被减数)
16x=148+28
16x=176
x=11
(2)合并同类项。
例5:
解方程7.5x+2.5x=64
解:
7.5x+2.5x=64(先计算7.5x+2.5x)
10x=64
x=6.4
例6:
解方程28x-13x=240
解:
28x-13x=240(先计算28x-13x)
15x=240
x=16
(3)去括号或者把括号里的数看成一个数。
例7:
解方程16(7+x)=192
解法一:
16(7+x)=192(去括号)
16×7+16x=192(把16x看成一个数)
16x=192-112
16x=80
x=5
解法二:
16(7+x)=192(把7+x看成一个因数)
7+x=192÷16
7+x=12
x=12-7
x=5
237.用方程解应用题时,怎样找等量关系?
在解应用题时,常常先找出应用题中数量间的相等关系,也就是通常所说的“等量关系”,然后列方程求解。
下面举例说明。
(1)只含有三个数量的简单应用题的等量关系和方程。
只含有三个数量的简单应用题,已知两个数量,求第三个数量。
这类应用题的等量关系比较明显,容易找出。
根据三个量间的等量关系,往往可以列出三个等式。
在这三个等式里,可选择一个等式作为解答该题的方程,习惯上把未知的数量放在等号的左边,用字母x表示。
例1:
黄豆和绿豆共重90千克,其中黄豆65千克,绿豆的重量是多个千克?
分析:
根据这道题里的三个量,可以列出下面三个等式:
①共重90千克-黄豆65千克=绿豆重量;
②绿豆重量+黄豆65千克=共重90千克;
③共重90千克-绿豆重量=黄豆65千克。
如果把未知量用x表示,并且把它放在等号的左边,可列出方程:
x+65=90或者90-x=65
由于题目中说的是“黄豆和绿豆共重90千克”,所以列出的方程以“x+65=90”为好。
例2:
小侠身高158厘米,比小勇高13厘米。
小勇的身高是多少厘米?
分析:
根据这道题里的三个量,可以列出下面三个等式:
①小侠身高158厘米-13厘米=小勇身高;
②小侠身高158厘米-小勇身高=13厘米;
③小勇身高+13厘米=小侠身高158厘米。
如果把未知量用x表示,按照题目里所说的“小侠的身高是158厘米,比小勇高13厘米”,可列出方程:
158-x=13或者x+13=158
例3:
一辆卡车每小时行驶45千米,几小时可以行驶270千米?
分析:
根据速度、时间与路程三个量之间常用的数量关系,可以写出下面三个等式:
①每小时45千米×小时数=路程270千米;
②路程270千米÷每小时45千米=小时数;
③路程270千米÷小时数=每小时45千米。
如果设x小时走完全程,根据题意可以列出方程:
45x=270或者270÷x=45
例4:
一个长方形的面积是2800平方厘米,它的长是70厘米,宽是多少厘米?
分析:
有关计算面积、体积的题目的等量关系,就是面积、体积的计算公式。
这道题是长方形面积,根据长方形的面积计算公式,可以写出下面三个等式:
①长×宽=长方形面积;
②长方形面积÷长=宽;
③长方形面积÷宽=长。
如果设长方形的宽为x厘米,根据题意可列出方程:
70x=2800
总之,在找等量关系和列方程时,主要是以应用题的数量关系为基础,根据四则运算的意义列成等式。
但是,方程解法与算术解法在解题思路上是不同的。
算术解法,为了求出未知数,需要把已知数集中起来加以分析,找出未知数与已知数之间的关系,利用已知数与运算符号组成算式,通过计算求出未知数。
而列方程解应用题呢,可以用字母表示未知数,例如x、y等,让未知数x和已知数处于同样地位,按照题目中三个数量的等量关系直接参加列式运算。
有些在算术中需要“逆解”的题目,用方程解法往往比较容易。
(2)含有三个以上数量的应用题的等量关系和方程。
遇到含有三个以上数量的应用题,要认真审查题意,弄清题目所说的是怎么一回事,才能分析出已知数量同未知数量间的关系,列出方程。
例1:
地球绕太阳一周要用365天,比水星绕太阳一周用的时间的4倍多13天。
水星绕太阳一周要用多少天?
分析:
由于列方程解应用题可以让未知数(x)和已知数处于同样地位,直接参加列式运算,我们可以把题目中叙述的条件适当变换一下说法。
这道题可以说成:
水星绕太阳一周所需时间(x)的4倍再加13天就等于365天。
这样,可列出下面的方程:
4x+13=365
这道题也可以说成:
365天减去水星绕太阳一周所需时间(x)的4倍等于13天。
这样,可列出下面的方程:
365-4x=13
这道题还可以说成:
365天减去3天与水星绕太阳一周所需时间(x)的4倍相等。
我们把未知数(x)写在等号左边,可列得方程:
4x=365-13
以上举出的三个不同形式的方程,都是解答这道应用题的方程,在解答这道题时,用哪一个都可以。
例2:
学校买来5个篮球和7个排球共用去355元,已知每个篮球的价钱是36元,求每个排球的价钱是多少元?
分析:
这道题,如果按照算术方法去解,是“逆解”的题目;如果利用方程方法去解,根据题目里的已知条件,就比较容易找出等量关系。
已知每个篮球的价钱是36元,如果设每个排球的价钱为x元,那么可列出方程:
7x+36×5=355
例3:
柳长堤小学五、六年级同学今年共植树150棵,六年级植的棵数是五年级的2倍。
两个年级各植了多少棵?
分析:
这道题是常见的一种典型应用题,通常叫“和倍问题”。
如果用算术方法解,是有规律的。
即:
两个数的和÷(倍数+1)=作为1倍的数
但是,用方程方法解,可以按照题目里叙述已知条件的顺序直接写出等量关系。
为了计算方便,我们常常把“可以作为1份(1倍)”的数设为x,在这道题里,设五年级植树棵数为x棵,那么六年级植树棵数为2x棵。
列出方程为:
x+2x=150
例4:
A、B两镇之间的公路长216千米,甲、乙两汽车同时从两镇相对开出,3小时后相遇。
甲汽车每小时行38千米,乙汽车每小时行多少千米?
分析:
甲、乙两辆汽车同时从两镇相对开出,3小时后相遇,这就说明了:
甲汽车3小时行的路程+乙汽车3小时行的路程=两镇之间的公路长。
设乙汽车每小时行x千米,可列出方程:
38×3+3x=216
这道题还可以按照下面的等量关系列出方程,即:
两镇之间的公路长-乙汽车3小时行的路程=甲汽车3小时行的路程。
可列出方程:
216-3x=38×3
甲、乙两汽车同时开出,相向而行,那么,每小时两辆汽车共走的路程是甲、乙两汽车速度之和。
这样,又可以写出一种等量关系,即:
甲、乙两汽车速度之和×时间=两镇之间的公路长。
可列出方程:
(38+x)×3=216
238.你会用方程解法解应用题吗?
举出几例,试用方程解答。
例1:
四、五年级的学生种向日葵,五年级种的棵数是四年级种的棵数的3倍。
又知五年级比四年级多种了90棵。
两个年级各种了多少棵?
解:
设四年级种了x棵,那么五年级种了3x棵。
根据题意列出方程,得:
3x-x=90
2x=90
x=45(四年级种的棵数)
3x=3×45=135(五年级种的棵数)
答:
四年级种了45棵,五年级种了135棵。
例2:
李师傅计划加工150个零件,加工了8小时以后,还剩22个没有加工。
求李师傅每小时加工多少个零件?
解:
设每小时加工x个零件。
根据题意列出方程,得:
150-8x=22
8x=150-22
8x=128
x=16
答:
李师傅每小时加工16个零件。
这道题还可以列出其他形式的方程。
如:
8小时加工的零件数加上没有加工的22件,等于原计划加工的150个零件。
即8x+22=150。
或者,原计划加工的150个零件减去没有加工的22个,就是8小时加工的零件数。
即8x=152-22。
例3:
甲、乙、丙三个数的和是960,甲数是乙数的2倍,乙数是丙数的3倍。
甲、乙、丙三个数各是多少?
解:
设丙数为x,那么乙数为3x,甲数为6x。
根据题意列出方程,得:
x+3x+6x=960
10x=960
x=96(丙数)
3x=3×96=288(乙数)
6x=6×96=576(甲数)
答:
甲数是575,乙数是288,丙数是96。
例4:
有一块梯形地,面积是79.2平方米,它的高是7.2米、上底是9.6米,下底是多少米?
解:
因为,梯形面积=(上底+下底)×高÷2,设下底为x米,根据梯形面积公式,列出方程,得:
(9.6+x)×7.2÷2=79.2
(9.6+x)×7.2=79.2×2
9.6+x=158.4÷7
x=22-9.6
x=12.4
答:
下底是12.4米。
例5:
学校计划修整操场,原计划每天修整96平方米,50天可以修完。
实际上每天比原计划多修24平方米,照这样计算,可以提前几天修完?
解:
设实际用x天修完,根据题意列出方程,得:
(96+24)x=96×50
120x=4800
x=40
50-40=10(天)
答:
可以提前10天修完。
在解答这道题时,设x表示实际用的天数,而没有按照题目的“问题”设x表示提前的天数。
为什么没有设“x”表示提前的天数呢?
如果这样设x的话,那么“实际用的天数”就得用(50-x)来表示。
这样,所列方程将是如下形式:
(96+24)×(50-x)=96×50
解这个方程,比解例题所列的方程麻烦得多。
因此,解题时要认真审查题意,弄清数量之间的关系,考虑好怎样设x,可以使所列的方程简便些。
通常把例5设x的方法叫做“间接设元”。
而例1到例4,是根据题目的“问题”设x的,也就是说,要求的是什么,就把所求的未知数设为“x”,通常把这种设x的方法叫做“直接设元”。