八年级数学上册小结.docx

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八年级数学上册小结

八年级数学知识点归纳

第十一章　全等三角形　小结

一、全等形

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

二、全等三角形

１、概念：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

注意：

（１）两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

（２）“能够完全重合”是指在一定的叠放下，可以完全重合，不是胡乱摆放都能重合。

２、全等三角形的符号表示、读法

△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等记作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，“≌”读作“全等于”。

注意：

（１）计两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角（若用一个字母表示一个角亦是如此）。

（２）对应角夹的边是对应边，对应边的夹角是对应角。

（３）对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系，对边是与角相对的边，对角是与边相对的角。

３、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

４、三角形全等的识别方法

（１）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”和“ＳＳＳ”。

（２）两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”和“ＳＡＳ”。

（３）两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“ＡＳＡ”。

（４）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“ＡＡＳ”。

（５）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“ＨＬ”。

注意：

ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。

５、三角形全等的证明思路

　　　　　　　　　找夹角——ＳＡＳ

（１）已知两边　　找直角——ＨＬ

　　　　　　　　　找另一边——ＳＳＳ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　找边的对角——ＡＡＳ

（２）已知一边一角　　边为角的邻边　　找夹角的另一边——ＳＡＳ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　找夹边的另一角——ＡＳＡ

　　　　　　　　　　　边为角的对边——找任意一角——ＡＡＳ

（３）已知两角　　找夹边——ＡＳＡ

　　　　　　　　　找任意一边——ＡＡＳ

６、全等变换

一个图形与另一个图形的形状一样，大小相等，只是位置不同，我们称这个图形是另一个图形的全等变换，三种基本全等变换：

（１）旋转；（２）翻折；（３）平移。

三、角平分线的性质定理及逆定理

１、性质定理：

角平分线上的点到角的两边距离相等。

注意：

（１）定理作用：

a.证明线段相等；b.为证明三角形全等准备条件。

（２）点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度。

２、逆定理：

在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上。

３、三角形的内心

利用角的平分线的性质定理可以导出：

三角形的三个内角的角平分线交于一点Ｉ，此点叫做三角形的内心，它到三边的距离相等。

说明：

（１）三角形三条角平分线交于一点，这个点到三边的距离相等。

　　（２）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这个点到三边所在的直线的距离相等。

　　（３）三角形外角角平分线的交点共有３个，所以到三角形三边所在的直线的距离相等的点共有４个。

第十二章　轴对称　小结

一、轴对称图形的概念：

如果一个图形沿着某一条直线对折，对折的两部分能完全重合，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。

这时，我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。

如：

正方形、长方形、圆形一定是轴对称图形；三角形、四边形、梯形不一定是轴对称图形；平行四边形一定不是轴对称图形。

注意：

（１）一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，如正方形有４条对称轴、长方形有２条对称轴、圆形有无数条对称轴、正三角形有３条对称轴、正n边形有n条对称轴。

（２）轴对称图形需要注意的重点：

①一个图形；

②沿一条直线折叠，对折的两部分能完全重合（即重合到自身上）。

二、轴对称的概念：

　　把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。

两个图形中经过翻折之后互相重合的点叫做对应点，也叫做对称点。

注意：

（１）两个图形成轴对称和轴对称图形的概念，前提不一样，前者是两个图形，后者是一个图形。

　　（２）成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有关。

三、轴对称的性质：

１、关于某条直线对称的图形是全等形；

２、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

３、两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；

４、如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形关于这条直线对称。

注意：

（１）全等的图形不一定是轴对称的，轴对称的图形一定是全等的。

（２）性质４的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对对称图形的主要依据。

四、轴对称作（画）图：

１、画图形的对称轴

（１）观察分析图形，找出轴对称图形的任意一组对称点；

（２）连结对称点；

（３）画出以对称点为端点的线段的垂直平分线。

２、如果一个图形关于某直线对称，那么对称点之间的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。

注意：

对于（１）来说，对称点要找准，特别是较复杂的轴对称图形，要认真地观察、分析，必要时要动手操作实践一下；对于对称轴有两条或两条以上的图形，要从各个角度找对称点，对于（２）是找一个轴对称图形的对称轴的方法。

３、画某点关于某直线的对称点的方法

（１）过已知点作已知直线的（对称轴）的垂线，标出垂足；

（２）在这条直线的另一侧从垂足出发截取相等的线段，那个截点就是这点关于该直线的对称点。

４、画已知图形关于某直线的对称图形

（１）画出图形的某些点关于这条直线的对称点；

（２）把这些对称点顺次连结起来，就形成了一个符合条件的对称图形。

注意：

“某些点”是指能确定图形形状和大小及位置的关键点。

如果是多边形，“某些点”就是指所有的顶点；如果是线段，“某些点”就是指线段的两个端点；如果是直角，“某些点”就是指角的顶点与角两边上每一边一个任意点，其余类推。

五、轴对称和轴对称图形之间的区别与联系：

轴对称

轴对称图形

区别

①指两个图形而言；

②指两个图形的一种形状与位置关系。

①对一个图形而言；

②指一个图形的特殊形状。

联系

①都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；

②把两个成轴对称的图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分关于这条直线成轴对称。

六、轴对称几何图形的对称轴：

名称

是否是轴对称图形

对称轴有几条

对称轴的位置

线段

是

２条

垂直平分线或线段所在的直线

角

是

１条

角平分线所在的直线

长方形

是

２条

对边中线所在的直线

正方形

是

４条

对边中线所在的直线和对角线所在的直线

圆

是

无数条

直径所在的直线

平行四边形

不是

０条

七、轴对称变换的概念：

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。

八、轴对称变换的有关知识点：

规律：

对称轴方向、位置发生变化，得到的图形的方向、位置也发生变化；

性质：

１、由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大

小完全相同；

　　２、新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；

　　３、连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分；

　　４、成轴对称的两个图形中的任何一个可以看做由另一个图形经过轴对称变换后得到的；

　　５、一个轴对称图形也可以看做以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的。

九、线段垂直平分线的概念：

１、垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线；

２、线段的垂直平分线可以看做和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

十、线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等。

注意：

１、“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是：

证明两条线段相等；

２、若ＣＤ垂直平分线段ＡＢ，可得到：

①△ＡＢＣ是等腰三角形；

②ＣＯ是△ＡＢＣ底边ＡＢ上的高和中线，也是顶角∠ＢＣＡ的平分线；

③不仅ＡＣ＝ＣＢ，取ＣＤ上任意一点Ｐ都有ＰＡ＝ＰＢ。

十一、线段垂直平分线的性质定理的逆定理：

和线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

注意：

（１）“和线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

”的作用是：

判定一点在线段的垂直平分线上；

（２）等腰三角形的顶点在底边的垂直平分线上；

（３）如果两点到一条线段的两个端点的距离相等，那么，这两点所在直线是该线段的垂直平分线。

十二、三角形三边垂直平分线的性质：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等。

注意：

（１）“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等。

”的作用是：

证明线段相等；

（２）三角形两边的垂直平分线的交点必在第三边的垂直平分线上；

（３）证明三线共点，可先找到两直线交点，再证明第三条直线也过这一点即可；

（４）锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三边垂直平分线的交点恰是斜

边中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部；

（５）此定理给出了作一个点到三个不共线的点距离相等的作图方法，只需顺次连结这三点组成一个三角形，作这个三角形的两边的垂直平分线，交点即为所求

十三、等腰三角形的概念、性质、判定：

1、概念：

有两边相等的三角形叫做等腰三角形，在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角，顶角是直角的等腰三角形叫做直角等腰三角形，

三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、性质：

（１）等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在直

线是对称轴；

（２）等腰三角形的两底角相等（简写为“等边对等角”）；

（３）等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）。

（４）等腰三角形的两边相等，即两腰相等。

3、判定：

（１）有两边相等的三角形叫做等腰三角形；

　　（２）如果一个三角形有两个角相等，那么，这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

注意：

（１）等腰三角形的判定和性质的关系：

等腰三角形的定义既体现了等腰三角形的性质，也可以作为

判定，等腰三角形的性质定理“等边对等角”和等腰三角形的判定定理“等角对等边”互为逆

定理；

（２）“等角对等边”在同一三角形内证两条边相等的应用极为广泛，往往通过计算三角形各角的度

数得角相等，则可得边相等；

（３）底角为顶角２倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形。

十四、等边三角形的定义、性质、判定：

1、定义：

三条边相等的三角形叫做等边三角形。

注意：

（１）由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形，也就是说等腰三角形包括等边三角形，因而等边三角形具有等腰三角形的一切性质；

（２）等边三角形有三条对称轴，故三边上均有“三线合一”的性质，其三条中线交于一点，称其为“中心”。

2、性质：

等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于６０°，每一个外角都等于１２０°。

3、判定：

（１）三条边都相等的三角形是等边三角形；

　　（２）三个角都相等的三角形是等边三角形；

　　（３）有一个内角是６０°的等腰三角形是等边三